Страница 16 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

45. Что называют пропорцией? Приведите пример, назовите крайние и средние члены пропорции. Сформулируйте основное свойство пропорции.

Что называют пропорцией?

Пропорцией называют равенство двух отношений. Если даны четыре числа $a, b, c, d$, не равные нулю, и отношение $a$ к $b$ равно отношению $c$ к $d$, то равенство $a : b = c : d$ или $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ является пропорцией. Это равенство читается как "a относится к b так же, как c относится к d".

Ответ: Пропорция – это равенство двух отношений.

Приведите пример, назовите крайние и средние члены пропорции.

Рассмотрим пример пропорции: $12 : 4 = 15 : 5$. В этой пропорции оба отношения равны 3, поэтому равенство является верным.

В пропорции $a : b = c : d$ числа $a$ и $d$ называют крайними членами, а числа $b$ и $c$ – средними членами.

В нашем примере $12 : 4 = 15 : 5$:

Крайние члены — это числа 12 и 5.
Средние члены — это числа 4 и 15.

Ответ: Пример пропорции: $12 : 4 = 15 : 5$. Крайние члены: 12 и 5. Средние члены: 4 и 15.

Сформулируйте основное свойство пропорции.

Основное свойство пропорции гласит, что в верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов.

Для пропорции $a : b = c : d$ основное свойство записывается в виде формулы: $a \cdot d = b \cdot c$.

Это свойство позволяет проверять, является ли пропорция верной, а также находить неизвестный член пропорции. Проверим наш пример $12 : 4 = 15 : 5$ с помощью основного свойства:

Произведение крайних членов: $12 \cdot 5 = 60$.
Произведение средних членов: $4 \cdot 15 = 60$.

Поскольку $60 = 60$, пропорция верна.

Ответ: Основное свойство пропорции: произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов. Для пропорции $a : b = c : d$ это свойство выражается формулой $a \cdot d = b \cdot c$.

46. Запишите в виде пропорции:

а) 2 относится к 3, как 10 относится к 15;

б) $ \frac{1}{3} $ относится к 6, как 1 относится к 18;

в) 3 во столько же раз больше 2, во сколько раз 6 больше 4;

г) 7 больше $ 3\frac{1}{2} $ во столько же раз, во сколько раз 9 больше $ \frac{9}{2} $.

а) Фраза «2 относится к 3» означает отношение $2:3$. Фраза «10 относится к 15» означает отношение $10:15$. Пропорция — это равенство двух отношений. Записываем равенство этих отношений. Чтобы убедиться в верности пропорции, можно упростить второе отношение: $10:15$, разделив оба числа на 5, получим $2:3$. Таким образом, равенство $2:3 = 2:3$ истинно.
Ответ: $2 : 3 = 10 : 15$.

б) Фраза «$\frac{1}{3}$ относится к 6» означает отношение $\frac{1}{3} : 6$. Фраза «1 относится к 18» означает отношение $1 : 18$. Записываем пропорцию как равенство этих двух отношений. Проверим равенство. Значение первого отношения: $\frac{1}{3} \div 6 = \frac{1}{3 \times 6} = \frac{1}{18}$. Значение второго отношения: $1 \div 18 = \frac{1}{18}$. Отношения равны.
Ответ: $\frac{1}{3} : 6 = 1 : 18$.

в) Выражение «3 во столько же раз больше 2» описывает отношение числа 3 к числу 2, то есть $3:2$. Выражение «во сколько раз 6 больше 4» описывает отношение числа 6 к числу 4, то есть $6:4$. Так как эти отношения по условию равны, мы можем составить пропорцию. Проверим: значение отношения $3:2$ равно $1.5$. Значение отношения $6:4$ также равно $\frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1.5$. Равенство верно.
Ответ: $3 : 2 = 6 : 4$.

г) Выражение «7 больше $3 \frac{1}{2}$ во столько же раз» описывает отношение числа 7 к числу $3 \frac{1}{2}$, то есть $7 : 3 \frac{1}{2}$. Выражение «во сколько раз 9 больше $\frac{9}{2}$» описывает отношение числа 9 к числу $\frac{9}{2}$, то есть $9 : \frac{9}{2}$. Приравнивая эти отношения, получаем пропорцию. Для проверки преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $3 \frac{1}{2} = \frac{7}{2}$. Первое отношение: $7 : \frac{7}{2} = 7 \times \frac{2}{7} = 2$. Второе отношение: $9 : \frac{9}{2} = 9 \times \frac{2}{9} = 2$. Так как $2=2$, равенство верно.
Ответ: $7 : 3 \frac{1}{2} = 9 : \frac{9}{2}$.

47. Можно ли составить пропорцию из отношений:

а) $6:3$ и $24:12$;

б) $1:5$ и $17:85$;

в) $2:5$ и $10:4$;

г) $20:8$ и $35:14$?

Чтобы определить, можно ли составить пропорцию из двух отношений, необходимо проверить, равны ли значения этих отношений. Если отношения равны, то из них можно составить пропорцию.

Вычислим значение первого отношения: $6 : 3 = \frac{6}{3} = 2$.

Вычислим значение второго отношения: $24 : 12 = \frac{24}{12} = 2$.

Так как $2 = 2$, значения отношений равны. Следовательно, из данных отношений можно составить пропорцию.

Ответ: да.

Вычислим значение первого отношения: $1 : 5 = \frac{1}{5}$.

Вычислим значение второго отношения, сократив дробь: $17 : 85 = \frac{17}{85} = \frac{17 \div 17}{85 \div 17} = \frac{1}{5}$.

Так как $\frac{1}{5} = \frac{1}{5}$, значения отношений равны. Следовательно, из данных отношений можно составить пропорцию.

Ответ: да.

Вычислим значение первого отношения: $2 : 5 = \frac{2}{5} = 0,4$.

Вычислим значение второго отношения: $10 : 4 = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} = 2,5$.

Так как $0,4 \neq 2,5$, значения отношений не равны. Следовательно, из данных отношений нельзя составить пропорцию.

Ответ: нет.

Упростим каждое отношение, чтобы сравнить их значения.

Первое отношение: $20 : 8 = \frac{20}{8} = \frac{20 \div 4}{8 \div 4} = \frac{5}{2}$.

Второе отношение: $35 : 14 = \frac{35}{14} = \frac{35 \div 7}{14 \div 7} = \frac{5}{2}$.

Так как $\frac{5}{2} = \frac{5}{2}$, значения отношений равны. Следовательно, из данных отношений можно составить пропорцию.

Ответ: да.

Верно ли равенство (48–50):

48. а) $\frac{3}{4} = \frac{15}{20}$;

б) $7 : 5 = \frac{77}{55}$;

в) $\frac{12}{18} = 14 : 21?$

Чтобы определить, верны ли равенства, нужно проверить, равны ли значения выражений в левой и правой частях каждого из них. Равенство двух отношений называется пропорцией. Проверить верность пропорции можно несколькими способами: привести дроби к простейшему виду, привести их к общему знаменателю или использовать основное свойство пропорции (перекрестное умножение).

а) $\frac{3}{4} = \frac{15}{20}$

Способ 1: Сокращение дроби.
Сократим дробь в правой части равенства. Наибольший общий делитель для числителя 15 и знаменателя 20 равен 5.

$\frac{15}{20} = \frac{15 \div 5}{20 \div 5} = \frac{3}{4}$

После сокращения мы получаем тождество $\frac{3}{4} = \frac{3}{4}$, следовательно, исходное равенство верно.

Способ 2: Перекрестное умножение.
Согласно основному свойству пропорции, произведение крайних членов равно произведению средних. Для равенства $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ это означает $a \times d = b \times c$.

Проверим это для нашего случая: $3 \times 20$ и $4 \times 15$.

$3 \times 20 = 60$

$4 \times 15 = 60$

Так как $60 = 60$, равенство является верным.

Ответ: да, равенство верно.

б) $7 : 5 = \frac{77}{55}$

Запишем отношение $7 : 5$ в виде дроби $\frac{7}{5}$. Тогда равенство примет вид: $\frac{7}{5} = \frac{77}{55}$.

Способ 1: Сокращение дроби.
Сократим дробь в правой части. Наибольший общий делитель для 77 и 55 равен 11.

$\frac{77}{55} = \frac{77 \div 11}{55 \div 11} = \frac{7}{5}$

Мы получили тождество $\frac{7}{5} = \frac{7}{5}$, значит, равенство верно.

Способ 2: Перекрестное умножение.

Проверим равенство $7 \times 55 = 5 \times 77$.

$7 \times 55 = 385$

$5 \times 77 = 385$

Так как $385 = 385$, равенство верно.

Ответ: да, равенство верно.

в) $\frac{12}{18} = 14 : 21$

Запишем отношение $14 : 21$ в виде дроби $\frac{14}{21}$. Равенство примет вид: $\frac{12}{18} = \frac{14}{21}$.

Способ 1: Сокращение обеих дробей.
Приведем обе дроби к их несократимому виду.

Для левой части ($\frac{12}{18}$), наибольший общий делитель равен 6:

$\frac{12}{18} = \frac{12 \div 6}{18 \div 6} = \frac{2}{3}$

Для правой части ($\frac{14}{21}$), наибольший общий делитель равен 7:

$\frac{14}{21} = \frac{14 \div 7}{21 \div 7} = \frac{2}{3}$

Так как обе дроби равны $\frac{2}{3}$, исходное равенство верно.

Способ 2: Перекрестное умножение.

Проверим равенство $12 \times 21 = 18 \times 14$.

$12 \times 21 = 252$

$18 \times 14 = 252$

Так как $252 = 252$, равенство верно.

Ответ: да, равенство верно.

49. а) $\frac{2}{3} : \frac{4}{5} = 10 : 12;$

в) $\frac{4}{11} : \frac{5}{6} = 48 : 110;$

б) $\frac{3}{7} : \frac{4}{9} = 27 : 28;$

г) $\frac{1}{2} : \frac{2}{3} = 4 : 3? $

а) Для проверки верности равенства $ \frac{2}{3} \div \frac{4}{5} = 10 : 12 $, необходимо вычислить значение левой части и сравнить его с правой. Выполним деление дробей в левой части. Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

$ \frac{2}{3} \div \frac{4}{5} = \frac{2}{3} \times \frac{5}{4} = \frac{2 \times 5}{3 \times 4} = \frac{10}{12} $

Правая часть равенства представляет собой отношение $10 : 12$, которое можно записать в виде дроби $ \frac{10}{12} $. Так как левая часть ($ \frac{10}{12} $) равна правой ($ \frac{10}{12} $), равенство является верным.

Ответ: равенство верно.

б) Проверим верность равенства $ \frac{3}{7} \div \frac{4}{9} = 27 : 28 $. Для этого выполним деление дробей в левой части. Деление дробей заменяется умножением на обратную дробь:

$ \frac{3}{7} \div \frac{4}{9} = \frac{3}{7} \times \frac{9}{4} = \frac{3 \times 9}{7 \times 4} = \frac{27}{28} $

Правая часть равенства — это отношение $27 : 28$, которое также можно представить в виде дроби $ \frac{27}{28} $. Поскольку обе части равенства равны $ \frac{27}{28} $, утверждение верно.

Ответ: равенство верно.

в) Чтобы проверить, верно ли равенство $ \frac{4}{11} \div \frac{5}{6} = 48 : 110 $, вычислим значение левой части. Выполним деление дробей:

$ \frac{4}{11} \div \frac{5}{6} = \frac{4}{11} \times \frac{6}{5} = \frac{4 \times 6}{11 \times 5} = \frac{24}{55} $

Теперь рассмотрим правую часть. Отношение $48 : 110$ можно записать в виде дроби и сократить ее, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 2:

$ 48 : 110 = \frac{48}{110} = \frac{48 \div 2}{110 \div 2} = \frac{24}{55} $

Так как левая и правая части равны $ \frac{24}{55} $, равенство верно.

Ответ: равенство верно.

г) Проверим, верно ли равенство $ \frac{1}{2} \div \frac{2}{3} = 4 : 3 $. Для этого найдем значение выражения в левой части:

$ \frac{1}{2} \div \frac{2}{3} = \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{1 \times 3}{2 \times 2} = \frac{3}{4} $

Правая часть представляет собой отношение $4 : 3$, которое можно записать как дробь $ \frac{4}{3} $. Теперь сравним полученные значения левой и правой частей:

$ \frac{3}{4} \ne \frac{4}{3} $

Поскольку левая часть не равна правой, данное равенство неверно.

Ответ: равенство неверно.

50. а) $\frac{1}{7} : \frac{3}{4} = \frac{1}{14} : \frac{3}{8}$;

б) $\frac{2}{3} : \frac{4}{5} = \frac{1}{3} : \frac{2}{5}$;

в) $1\frac{1}{2} : 5 = 3 : 10$;

г) $1\frac{4}{5} : 2 = 10 : 9? $

а)

Чтобы проверить, является ли равенство $\frac{1}{7} : \frac{3}{4} = \frac{1}{14} : \frac{3}{8}$ верным, необходимо вычислить значения отношений с обеих сторон и сравнить их.

Вычислим значение левой части равенства:

$\frac{1}{7} : \frac{3}{4} = \frac{1}{7} \times \frac{4}{3} = \frac{1 \times 4}{7 \times 3} = \frac{4}{21}$

Вычислим значение правой части равенства:

$\frac{1}{14} : \frac{3}{8} = \frac{1}{14} \times \frac{8}{3} = \frac{8}{42} = \frac{8 \div 2}{42 \div 2} = \frac{4}{21}$

Так как левая и правая части равны ($\frac{4}{21} = \frac{4}{21}$), данное равенство является верным.

Ответ: да, равенство верное.

б)

Проверим, верно ли равенство $\frac{2}{3} : \frac{4}{5} = \frac{1}{3} : \frac{2}{5}$.

Вычислим значение левой части:

$\frac{2}{3} : \frac{4}{5} = \frac{2}{3} \times \frac{5}{4} = \frac{2 \times 5}{3 \times 4} = \frac{10}{12} = \frac{10 \div 2}{12 \div 2} = \frac{5}{6}$

Вычислим значение правой части:

$\frac{1}{3} : \frac{2}{5} = \frac{1}{3} \times \frac{5}{2} = \frac{1 \times 5}{3 \times 2} = \frac{5}{6}$

Поскольку левая и правая части равны ($\frac{5}{6} = \frac{5}{6}$), равенство является верным.

Ответ: да, равенство верное.

в)

Проверим, верно ли равенство $1\frac{1}{2} : 5 = 3 : 10$.

Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$1\frac{1}{2} = \frac{1 \times 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$

Теперь вычислим значение левой части равенства, подставив неправильную дробь:

$\frac{3}{2} : 5 = \frac{3}{2} : \frac{5}{1} = \frac{3}{2} \times \frac{1}{5} = \frac{3}{10}$

Значение правой части равенства:

$3 : 10 = \frac{3}{10}$

Так как обе части равны ($\frac{3}{10} = \frac{3}{10}$), равенство является верным.

Ответ: да, равенство верное.

г)

Проверим, верно ли равенство $1\frac{4}{5} : 2 = 10 : 9$.

Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$1\frac{4}{5} = \frac{1 \times 5 + 4}{5} = \frac{9}{5}$

Вычислим значение левой части, используя полученную дробь:

$\frac{9}{5} : 2 = \frac{9}{5} : \frac{2}{1} = \frac{9}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{9}{10}$

Значение правой части:

$10 : 9 = \frac{10}{9}$

Сравним полученные результаты: $\frac{9}{10}$ и $\frac{10}{9}$.

$\frac{9}{10} = 0.9$, а $\frac{10}{9} = 1\frac{1}{9}$. Очевидно, что эти значения не равны.

Так как $\frac{9}{10} \neq \frac{10}{9}$, данное равенство является неверным.

Ответ: нет, равенство неверное.