Страница 14 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

41. Скорость велосипедиста в 5 раз больше скорости пешехода. Однажды они отправились одновременно навстречу друг другу из пунктов, расстояние между которыми 30 км. Какой путь проедет велосипедист до встречи с пешеходом?

Обозначим скорость пешехода как $v$, а пройденный им путь до встречи как $S_п$. Тогда скорость велосипедиста будет $5v$, а его путь до встречи — $S_в$.

Поскольку они отправились в путь одновременно и двигались до момента встречи, время в пути у них одинаковое. Обозначим это время как $t$.

Расстояние, которое прошел пешеход, можно выразить формулой: $S_п = v \cdot t$.
Расстояние, которое проехал велосипедист: $S_в = 5v \cdot t$.

Сравнивая формулы путей, можно увидеть, что за одно и то же время велосипедист проезжает расстояние в 5 раз большее, чем проходит пешеход: $S_в = 5 \cdot S_п$.

Вместе они преодолели всё расстояние между пунктами, равное 30 км. Следовательно, сумма их путей равна 30 км:

$S_п + S_в = 30$

Теперь мы можем подставить выражение $S_в = 5 \cdot S_п$ в это уравнение:

$S_п + 5S_п = 30$

$6S_п = 30$

$S_п = \frac{30}{6} = 5$ км.

Мы нашли путь, пройденный пешеходом. Теперь вычислим путь, который проехал велосипедист до встречи с ним:

$S_в = 5 \cdot S_п = 5 \cdot 5 = 25$ км.

Ответ: велосипедист проедет до встречи с пешеходом 25 км.

42. Мотоциклист может проехать расстояние между пунктами за 2 ч, а велосипедист — за 6 ч. Однажды они одновременно отправились навстречу друг другу из этих пунктов. Сколько километров проехал каждый до встречи, если расстояние между пунктами 60 км? Решите задачу двумя способами.

Первый способ

1. Найдем скорость мотоциклиста. Поскольку он проезжает расстояние в 60 км за 2 часа, его скорость $v_м$ составляет:

$v_м = S / t_м = 60 \text{ км} / 2 \text{ ч} = 30 \text{ км/ч}$

2. Найдем скорость велосипедиста. Он проезжает то же расстояние за 6 часов, поэтому его скорость $v_в$ равна:

$v_в = S / t_в = 60 \text{ км} / 6 \text{ ч} = 10 \text{ км/ч}$

3. Так как они движутся навстречу друг другу, их общая скорость сближения $v_{сбл}$ равна сумме их скоростей:

$v_{сбл} = v_м + v_в = 30 \text{ км/ч} + 10 \text{ км/ч} = 40 \text{ км/ч}$

4. Теперь найдем время $t_{встр}$, через которое они встретятся. Для этого разделим общее расстояние на скорость сближения:

$t_{встр} = S / v_{сбл} = 60 \text{ км} / 40 \text{ км/ч} = 1.5 \text{ ч}$

5. Зная время до встречи, можно рассчитать расстояние, которое проехал каждый из них. Расстояние, которое проехал мотоциклист ($S_м$):

$S_м = v_м \times t_{встр} = 30 \text{ км/ч} \times 1.5 \text{ ч} = 45 \text{ км}$

Расстояние, которое проехал велосипедист ($S_в$):

$S_в = v_в \times t_{встр} = 10 \text{ км/ч} \times 1.5 \text{ ч} = 15 \text{ км}$

Ответ: мотоциклист проехал 45 км, а велосипедист — 15 км.

Второй способ

1. Мотоциклист проезжает все расстояние за 2 часа, а велосипедист — за 6 часов. Сравним время, которое они тратят на один и тот же путь: $6 \text{ ч} / 2 \text{ ч} = 3$. Это означает, что скорость мотоциклиста в 3 раза больше скорости велосипедиста.

2. Поскольку они выехали одновременно и двигались до встречи одинаковое количество времени, то и расстояние, которое проехал мотоциклист, будет в 3 раза больше расстояния, которое проехал велосипедист.

3. Пусть расстояние, которое проехал велосипедист, равно $x$ км. Тогда мотоциклист проехал $3x$ км.

4. Сумма расстояний, которые они проехали до встречи, равна общему расстоянию между пунктами, то есть 60 км. Составим и решим уравнение:

$x + 3x = 60$

$4x = 60$

$x = 60 / 4$

$x = 15$

Таким образом, велосипедист проехал 15 км.

5. Теперь найдем расстояние, которое проехал мотоциклист:

$3x = 3 \times 15 = 45 \text{ км}$

Ответ: мотоциклист проехал 45 км, а велосипедист — 15 км.

43. Над выполнением задания 3 дня работала первая бригада из 5 плотников и 4 дня вторая бригада из 6 плотников. За работу заплатили 39 000 р. Какую сумму получит первая бригада, если все плотники работали с одинаковой производительностью?

Чтобы найти, какую сумму получит первая бригада, нужно сначала определить общий объем работы в человеко-днях и стоимость одного человеко-дня. Предполагается, что оплата распределяется пропорционально выполненной работе, а так как производительность у всех плотников одинаковая, то работа измеряется количеством отработанных человеко-дней.

1. Вычислим количество человеко-дней, отработанных первой бригадой.
Первая бригада из 5 плотников работала 3 дня. Их общий вклад в работу составляет:
$5 \text{ плотников} \times 3 \text{ дня} = 15 \text{ человеко-дней}$

2. Вычислим количество человеко-дней, отработанных второй бригадой.
Вторая бригада из 6 плотников работала 4 дня. Их общий вклад в работу составляет:
$6 \text{ плотников} \times 4 \text{ дня} = 24 \text{ человеко-дня}$

3. Найдем общее количество отработанных человеко-дней.
Сложим человеко-дни обеих бригад, чтобы найти общий объем работы:
$15 + 24 = 39 \text{ человеко-дней}$

4. Рассчитаем стоимость одного человеко-дня.
Общая оплата за работу составила 39 000 рублей. Разделим эту сумму на общее количество человеко-дней:
$\frac{39000 \text{ р.}}{39 \text{ человеко-дней}} = 1000 \text{ р. за один человеко-день}$

5. Определим сумму, которую получит первая бригада.
Умножим количество человеко-дней первой бригады на стоимость одного человеко-дня:
$15 \text{ человеко-дней} \times 1000 \text{ р./человеко-день} = 15000 \text{ р.}$

Ответ: первая бригада получит 15 000 р.

44. Из «Арифметики» А. П. Киселёва.

а) Разделить 84 на три части пропорционально числам 7, 5 и 2.

б) Разделить 125 на такие 4 части, чтобы первая часть относилась ко второй как $2 : 3$, вторая к третьей как $3 : 5$, а третья к четвёртой как $5 : 6$.

в) Разделить 125 на такие части, чтобы первая часть относилась ко второй как $2 : 3$, вторая к третьей как $4 : 5$, а третья к четвёртой как $6 : 11$.

г) Три купца составили товарищество для ведения некоторого торгового дела. Первый купец внёс для этой цели 15 000 р., второй — 10 000 р., третий — 12 500 р. По окончании торгового дела они получили общей прибыли 7500 р. Спрашивается, сколько из этой прибыли придётся получить каждому купцу.

д) На железной дороге работало 3 артели; в первой было 27 рабочих, во второй — 32, в третьей — 15; первая работала 20 дней, вторая — 18, третья — 16; все три артели получили за работу 4068 р. Сколько придётся получить каждой артели?

а)

Чтобы разделить число 84 на три части, пропорциональные числам 7, 5 и 2, нужно сначала найти сумму этих чисел (долей).

Сумма долей: $7 + 5 + 2 = 14$.

Теперь найдём, сколько приходится на одну долю. Для этого разделим общее число 84 на сумму долей:

$84 / 14 = 6$.

Теперь умножим значение одной доли на каждое из пропорциональных чисел, чтобы найти каждую из трёх частей:

• Первая часть: $7 \times 6 = 42$
• Вторая часть: $5 \times 6 = 30$
• Третья часть: $2 \times 6 = 12$

Проверка: $42 + 30 + 12 = 84$.

Ответ: 42, 30 и 12.

б)

Нужно разделить 125 на 4 части. Обозначим их как $x_1, x_2, x_3, x_4$. Из условия имеем следующие отношения:

$x_1 : x_2 = 2 : 3$
$x_2 : x_3 = 3 : 5$
$x_3 : x_4 = 5 : 6$

Так как общие члены в отношениях уже равны (вторая часть в первом и втором отношении равна 3, а третья часть во втором и третьем отношении равна 5), мы можем составить общую пропорцию:

$x_1 : x_2 : x_3 : x_4 = 2 : 3 : 5 : 6$

Сумма долей: $2 + 3 + 5 + 6 = 16$.

Найдём значение одной доли, разделив 125 на 16:

$125 / 16 = 7.8125$.

Теперь найдём каждую часть:

• Первая часть: $2 \times 7.8125 = 15.625$
• Вторая часть: $3 \times 7.8125 = 23.4375$
• Третья часть: $5 \times 7.8125 = 39.0625$
• Четвёртая часть: $6 \times 7.8125 = 46.875$

Проверка: $15.625 + 23.4375 + 39.0625 + 46.875 = 125$.

Ответ: 15,625; 23,4375; 39,0625; 46,875.

в)

Обозначим части как $x_1, x_2, x_3, x_4$. Даны отношения:

$x_1 : x_2 = 2 : 3$
$x_2 : x_3 = 4 : 5$
$x_3 : x_4 = 6 : 11$

Чтобы найти общую пропорцию, нужно привести отношения к общим членам.

1. Совместим первые два отношения $x_1 : x_2 = 2 : 3$ и $x_2 : x_3 = 4 : 5$. Общий член $x_2$ представлен числами 3 и 4. Наименьшее общее кратное для 3 и 4 равно 12. Домножим первое отношение на 4, а второе на 3:

$x_1 : x_2 = (2 \times 4) : (3 \times 4) = 8 : 12$
$x_2 : x_3 = (4 \times 3) : (5 \times 3) = 12 : 15$

Теперь имеем $x_1 : x_2 : x_3 = 8 : 12 : 15$.

2. Теперь совместим полученное отношение с третьим: $x_1 : x_2 : x_3 = 8 : 12 : 15$ и $x_3 : x_4 = 6 : 11$. Общий член $x_3$ представлен числами 15 и 6. Наименьшее общее кратное для 15 и 6 равно 30. Домножим первое отношение на 2, а второе на 5:

$x_1 : x_2 : x_3 = (8 \times 2) : (12 \times 2) : (15 \times 2) = 16 : 24 : 30$
$x_3 : x_4 = (6 \times 5) : (11 \times 5) = 30 : 55$

Итоговая общая пропорция: $x_1 : x_2 : x_3 : x_4 = 16 : 24 : 30 : 55$.

Сумма долей: $16 + 24 + 30 + 55 = 125$.

Значение одной доли: $125 / 125 = 1$.

Следовательно, части равны самим долям: 16, 24, 30 и 55.

Проверка: $16 + 24 + 30 + 55 = 125$.

Ответ: 16, 24, 30 и 55.

г)

Прибыль в 7500 р. нужно разделить между тремя купцами пропорционально их вкладам: 15 000 р., 10 000 р. и 12 500 р.

Составим отношение вкладов: $15000 : 10000 : 12500$.

Для удобства упростим это отношение, разделив все его члены на их наибольший общий делитель. Сначала разделим на 100: $150 : 100 : 125$. Теперь разделим на 25:

$150 / 25 = 6$
$100 / 25 = 4$
$125 / 25 = 5$

Упрощенное отношение вкладов: $6 : 4 : 5$.

Сумма долей: $6 + 4 + 5 = 15$.

Найдём, какая часть прибыли приходится на одну долю:

$7500 / 15 = 500$ р.

Теперь рассчитаем прибыль каждого купца:

• Прибыль первого купца: $6 \times 500 = 3000$ р.
• Прибыль второго купца: $4 \times 500 = 2000$ р.
• Прибыль третьего купца: $5 \times 500 = 2500$ р.

Проверка: $3000 + 2000 + 2500 = 7500$ р.

Ответ: первый купец получит 3000 р., второй — 2000 р., третий — 2500 р.

д)

Общую плату 4068 р. нужно разделить между тремя артелями пропорционально объёму выполненной ими работы. Объём работы можно измерить в человеко-днях (произведение числа рабочих на количество дней работы).

Рассчитаем количество человеко-дней для каждой артели:

• Первая артель: $27 \text{ рабочих} \times 20 \text{ дней} = 540$ человеко-дней
• Вторая артель: $32 \text{ рабочих} \times 18 \text{ дней} = 576$ человеко-дней
• Третья артель: $15 \text{ рабочих} \times 16 \text{ дней} = 240$ человеко-дней

Теперь нужно разделить общую плату 4068 р. пропорционально числам 540, 576 и 240.

Найдём общее количество человеко-дней (общую сумму долей):

$540 + 576 + 240 = 1356$ человеко-дней.

Определим стоимость одного человеко-дня:

$4068 / 1356 = 3$ р. за один человеко-день.

Теперь рассчитаем, сколько получит каждая артель:

• Первая артель: $540 \times 3 = 1620$ р.
• Вторая артель: $576 \times 3 = 1728$ р.
• Третья артель: $240 \times 3 = 720$ р.

Проверка: $1620 + 1728 + 720 = 4068$ р.

Ответ: первая артель получит 1620 р., вторая — 1728 р., третья — 720 р.