Страница 7 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

2. Чем является отношение величин:

a) одного наименования;

б) разных наименований?

Приведите примеры.

а) одного наименования;

Отношение двух величин одного наименования — это число, которое показывает, во сколько раз одна величина больше другой или какую часть одна величина составляет от другой. Такое отношение является безразмерной величиной, так как единицы измерения при делении сокращаются.

Примеры:

1. Отношение длины отрезка $A$, равного 20 метрам, к длине отрезка $B$, равного 5 метрам:

$\frac{20 \text{ м}}{5 \text{ м}} = 4$

Результат показывает, что отрезок $A$ в 4 раза длиннее отрезка $B$.

2. Отношение массы 250 граммов к массе 1000 граммов (1 кг):

$\frac{250 \text{ г}}{1000 \text{ г}} = 0.25$

Результат показывает, что первая масса составляет 0.25 (или четверть) от второй массы.

Ответ: Отношение величин одного наименования является безразмерной величиной (числом).

б) разных наименований?

Отношение двух величин разных наименований — это новая величина, которая имеет собственное наименование (единицу измерения). Эта новая величина обычно характеризует интенсивность или скорость протекания какого-либо процесса.

Примеры:

1. Скорость движения. Это отношение пройденного пути ко времени. Если автомобиль проехал 240 километров за 3 часа, то его средняя скорость равна:

$\frac{240 \text{ км}}{3 \text{ ч}} = 80 \text{ км/ч}$

В результате мы получили новую величину — скорость, которая измеряется в километрах в час (км/ч).

2. Цена товара. Это отношение стоимости к количеству (массе, объему и т.д.). Если 5 кг яблок стоят 400 рублей, то цена одного килограмма яблок равна:

$\frac{400 \text{ руб}}{5 \text{ кг}} = 80 \text{ руб/кг}$

Новой величиной здесь является цена, которая измеряется в рублях за килограмм (руб/кг).

3. Плотность вещества. Это отношение массы к объему. Если масса камня 15 кг, а его объем 0.005 м³, то его плотность:

$\frac{15 \text{ кг}}{0.005 \text{ м}^3} = 3000 \text{ кг/м}^3$

Новая величина — плотность, измеряемая в килограммах на кубический метр (кг/м³).

Ответ: Отношение величин разных наименований является новой величиной со своей единицей измерения.

Используя слово «отношение», прочитайте запись:

а) $7 : 2$;

б) $\frac{3}{5}$;

в) $1 : 5$;

г) $\frac{1}{6}$.

а) Запись $7:2$ читается как «отношение семи к двум».
Ответ: отношение семи к двум.

б) Запись $\frac{3}{5}$ читается как «отношение трёх к пяти».
Ответ: отношение трёх к пяти.

в) Запись $1:5$ читается как «отношение одного к пяти».
Ответ: отношение одного к пяти.

г) Запись $\frac{1}{6}$ читается как «отношение одного к шести».
Ответ: отношение одного к шести.

4. Запишите отношение, назовите его члены:

а) $7:3$;

б) $5:9$;

в) $12:4$;

г) $10:1000$.

а) Отношение числа 7 к числу 3 — это их частное. Его можно записать с помощью знака деления как $7 : 3$ или в виде дроби $\frac{7}{3}$. Числа, составляющие отношение, называются его членами. В данном отношении число 7 — это первый (предыдущий) член, а число 3 — второй (последующий) член.

Ответ: Отношение: $7 : 3$. Члены отношения: 7 и 3.

б) Отношение числа 5 к числу 9 записывается как $5 : 9$ или $\frac{5}{9}$. Членами этого отношения являются числа 5 и 9. Число 5 — предыдущий член, а число 9 — последующий член.

Ответ: Отношение: $5 : 9$. Члены отношения: 5 и 9.

в) Отношение числа 12 к числу 4 записывается как $12 : 4$ или $\frac{12}{4}$. Членами этого отношения являются числа 12 и 4. Число 12 — предыдущий член, а число 4 — последующий член.

Ответ: Отношение: $12 : 4$. Члены отношения: 12 и 4.

г) Отношение числа 10 к числу 1000 записывается как $10 : 1000$ или $\frac{10}{1000}$. Членами этого отношения являются числа 10 и 1000. Число 10 — предыдущий член, а число 1000 — последующий член.

Ответ: Отношение: $10 : 1000$. Члены отношения: 10 и 1000.

5. Найдите отношение:

a) 3 к $ \frac{1}{2} $;

б) 5 к $ \frac{10}{13} $;

в) $ \frac{7}{8} $ к $ \frac{21}{32} $;

г) $ \frac{12}{17} $ к $ \frac{48}{51} $.

а)

Чтобы найти отношение числа 3 к дроби $\frac{1}{2}$, нужно разделить 3 на $\frac{1}{2}$. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:

$3 : \frac{1}{2} = 3 \cdot \frac{2}{1} = 6$

Ответ: 6

б)

Чтобы найти отношение числа 5 к дроби $\frac{10}{13}$, нужно разделить 5 на $\frac{10}{13}$.

$5 : \frac{10}{13} = 5 \cdot \frac{13}{10} = \frac{5 \cdot 13}{10}$

Сократим 5 и 10 на 5:

$\frac{1 \cdot 13}{2} = \frac{13}{2} = 6\frac{1}{2}$

Ответ: $6\frac{1}{2}$

в)

Чтобы найти отношение дроби $\frac{7}{8}$ к дроби $\frac{21}{32}$, нужно первую дробь разделить на вторую.

$\frac{7}{8} : \frac{21}{32} = \frac{7}{8} \cdot \frac{32}{21} = \frac{7 \cdot 32}{8 \cdot 21}$

Сократим 7 и 21 на 7, а 32 и 8 на 8:

$\frac{1 \cdot 4}{1 \cdot 3} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$

Ответ: $1\frac{1}{3}$

г)

Чтобы найти отношение дроби $\frac{12}{17}$ к дроби $\frac{48}{51}$, нужно первую дробь разделить на вторую.

$\frac{12}{17} : \frac{48}{51} = \frac{12}{17} \cdot \frac{51}{48} = \frac{12 \cdot 51}{17 \cdot 48}$

Сократим 12 и 48 на 12, а 51 и 17 на 17:

$\frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 4} = \frac{3}{4}$

Ответ: $\frac{3}{4}$

6. Прочитайте отношение, назовите его члены, упростите отношение с помощью свойства отношения:

а) $40 : 50 = 4 : 5$;

б) $99 : 18$;

в) $450 : 250$;

г) $720 : 81$.

В чём заключается свойство отношения?

а)
Отношение 40 : 50 читается как "отношение сорока к пятидесяти". Число 40 — это предыдущий член отношения, а 50 — последующий.
Для упрощения отношения необходимо разделить оба его члена на их наибольший общий делитель (НОД).
НОД(40, 50) = 10.
$40 : 50 = (40 : 10) : (50 : 10) = 4 : 5$.
Ответ: $4 : 5$.

б)
Отношение 99 : 18 читается как "отношение девяноста девяти к восемнадцати". Предыдущий член — 99, последующий член — 18.
Упростим отношение, разделив его члены на их НОД. НОД(99, 18) = 9.
$99 : 18 = (99 : 9) : (18 : 9) = 11 : 2$.
Ответ: $11 : 2$.

в)
Отношение 450 : 250 читается как "отношение четырехсот пятидесяти к двумстам пятидесяти". Предыдущий член — 450, последующий член — 250.
Упростим отношение, разделив его члены на их НОД. НОД(450, 250) = 50.
$450 : 250 = (450 : 50) : (250 : 50) = 9 : 5$.
Ответ: $9 : 5$.

г)
Отношение 720 : 81 читается как "отношение семисот двадцати к восьмидесяти одному". Предыдущий член — 720, последующий член — 81.
Упростим отношение, разделив его члены на их НОД. НОД(720, 81) = 9.
$720 : 81 = (720 : 9) : (81 : 9) = 80 : 9$.
Ответ: $80 : 9$.

В чём заключается свойство отношения?
Основное свойство отношения заключается в том, что значение отношения не изменится, если его члены (предыдущий и последующий) умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля.
Для отношения $a : b$ и любого числа $c \ne 0$ будет верным:
$a : b = (a \cdot c) : (b \cdot c)$
$a : b = (a : c) : (b : c)$

7. Запишите отношение в виде дроби (там, где можно, упростите отношение):

а) $\frac{3}{5}$

б) $\frac{49}{28}$

в) $\frac{35}{700}$

г) $\frac{5}{7}$

д) $\frac{520}{460}$

е) $\frac{27}{81}$

а) Чтобы записать отношение $3 : 5$ в виде дроби, первое число становится числителем, а второе — знаменателем. Получаем дробь $\frac{3}{5}$. Числа 3 и 5 являются простыми и взаимно простыми, поэтому дробь несократима.

Ответ: $\frac{3}{5}$

б) Отношение $49 : 28$ записывается в виде дроби $\frac{49}{28}$. Чтобы упростить (сократить) эту дробь, найдем наибольший общий делитель (НОД) для числителя и знаменателя. $НОД(49, 28) = 7$. Разделим числитель и знаменатель на 7:

$ \frac{49 \div 7}{28 \div 7} = \frac{7}{4} $

Ответ: $\frac{7}{4}$

в) Отношение $35 : 700$ записывается в виде дроби $\frac{35}{700}$. Для упрощения найдем НОД для 35 и 700. Поскольку $700 = 35 \times 20$, то $НОД(35, 700) = 35$. Разделим числитель и знаменатель на 35:

$ \frac{35 \div 35}{700 \div 35} = \frac{1}{20} $

Ответ: $\frac{1}{20}$

г) Отношение $5 : 7$ записывается в виде дроби $\frac{5}{7}$. Числа 5 и 7 являются простыми и взаимно простыми, поэтому дробь несократима.

Ответ: $\frac{5}{7}$

д) Отношение $520 : 460$ записывается в виде дроби $\frac{520}{460}$. Для упрощения можно последовательно сокращать дробь. Сначала сократим на 10, так как оба числа оканчиваются на 0:

$ \frac{520}{460} = \frac{52}{46} $

Теперь оба числа, 52 и 46, являются четными, поэтому их можно сократить на 2:

$ \frac{52 \div 2}{46 \div 2} = \frac{26}{23} $

Число 23 является простым, и 26 на него не делится, следовательно, это окончательный вид дроби.

Ответ: $\frac{26}{23}$

е) Отношение $27 : 81$ записывается в виде дроби $\frac{27}{81}$. Чтобы упростить дробь, найдем НОД для 27 и 81. $НОД(27, 81) = 27$. Разделим числитель и знаменатель на 27:

$ \frac{27 \div 27}{81 \div 27} = \frac{1}{3} $

Ответ: $\frac{1}{3}$

8. Можно ли выразить натуральным числом отношение:

а) $40 : 20$;

б) $30 : 60$;

в) $1000 : 100$;

г) $600 : 30$;

д) $20 : 40$;

е) $100 : 1000$?

а) Чтобы определить, можно ли выразить отношение натуральным числом, необходимо найти частное от деления первого числа на второе и проверить, является ли результат натуральным числом (т.е. целым положительным числом, таким как 1, 2, 3, ...).
Вычислим отношение $40 : 20$:
$40 \div 20 = 2$
Число 2 является натуральным.
Ответ: да.

б) Вычислим отношение $30 : 60$:
$30 \div 60 = \frac{30}{60} = \frac{1}{2} = 0,5$
Число 0,5 является дробным, а не натуральным.
Ответ: нет.

в) Вычислим отношение $1000 : 100$:
$1000 \div 100 = 10$
Число 10 является натуральным.
Ответ: да.

г) Вычислим отношение $600 : 30$:
$600 \div 30 = 60 \div 3 = 20$
Число 20 является натуральным.
Ответ: да.

д) Вычислим отношение $20 : 40$:
$20 \div 40 = \frac{20}{40} = \frac{1}{2} = 0,5$
Число 0,5 является дробным, а не натуральным.
Ответ: нет.

е) Вычислим отношение $100 : 1000$:
$100 \div 1000 = \frac{100}{1000} = \frac{1}{10} = 0,1$
Число 0,1 является дробным, а не натуральным.
Ответ: нет.

9. Замените отношение дробных чисел равным ему отношением натуральных чисел по образцу:

а) $\frac{1}{2} : \frac{1}{3}$. I способ. $\frac{1}{2} : \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 1} = \frac{3}{2}$.

II способ. Умножим каждый член отношения на 6:

$\frac{1}{2} : \frac{1}{3} = \frac{6}{2} : \frac{6}{3} = 3 : 2$.

б) $\frac{1}{4} : \frac{1}{5}$;

в) $\frac{3}{7} : \frac{4}{5}$;

г) $\frac{2}{5} : \frac{3}{7}$;

д) $\frac{12}{17} : 1\frac{1}{2}$;

е) $1\frac{1}{2} : \frac{3}{8}$;

ж) $2\frac{1}{2} : 1\frac{2}{3}$.

Чтобы заменить отношение дробных чисел равным ему отношением натуральных чисел, можно воспользоваться одним из двух способов, показанных в образце:

1. Представить отношение как деление дробей и выполнить вычисление.
2. Умножить оба члена отношения на их наименьший общий знаменатель, чтобы избавиться от дробных частей.

б)

Заменим отношение дробей $\frac{1}{4} : \frac{1}{5}$ равным ему отношением натуральных чисел. Для этого умножим каждый член отношения на их наименьший общий знаменатель. Знаменатели 4 и 5. Наименьшее общее кратное (НОК) для них равно 20.

$(\frac{1}{4} \cdot 20) : (\frac{1}{5} \cdot 20) = \frac{20}{4} : \frac{20}{5} = 5:4$

Ответ: $5:4$

в)

Для отношения $\frac{3}{7} : \frac{4}{5}$ найдем НОК знаменателей 7 и 5. НОК(7, 5) = 35. Умножим каждый член отношения на 35.

$(\frac{3}{7} \cdot 35) : (\frac{4}{5} \cdot 35) = (3 \cdot \frac{35}{7}) : (4 \cdot \frac{35}{5}) = (3 \cdot 5) : (4 \cdot 7) = 15:28$

Ответ: $15:28$

г)

Для отношения $\frac{2}{5} : \frac{3}{7}$ представим его в виде частного и выполним деление дробей. Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь.

$\frac{2}{5} : \frac{3}{7} = \frac{2}{5} \cdot \frac{7}{3} = \frac{2 \cdot 7}{5 \cdot 3} = \frac{14}{15}$

Таким образом, искомое отношение натуральных чисел равно $14:15$.

Ответ: $14:15$

д)

Сначала преобразуем смешанное число $1\frac{1}{2}$ в неправильную дробь:

$1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$

Теперь выполним деление дробей для отношения $\frac{12}{17} : \frac{3}{2}$:

$\frac{12}{17} : \frac{3}{2} = \frac{12}{17} \cdot \frac{2}{3} = \frac{12 \cdot 2}{17 \cdot 3}$

Сократим 12 и 3 на 3:

$\frac{4 \cdot 2}{17 \cdot 1} = \frac{8}{17}$

Искомое отношение натуральных чисел равно $8:17$.

Ответ: $8:17$

е)

Сначала преобразуем смешанное число $1\frac{1}{2}$ в неправильную дробь:

$1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$

Получим отношение $\frac{3}{2} : \frac{3}{8}$. Умножим каждый член отношения на НОК знаменателей (2 и 8), которое равно 8.

$(\frac{3}{2} \cdot 8) : (\frac{3}{8} \cdot 8) = (3 \cdot 4) : 3 = 12:3$

Сократим полученное отношение, разделив обе части на 3:

$12:3 = 4:1$

Ответ: $4:1$

ж)

Сначала преобразуем оба смешанных числа в неправильные дроби:

$2\frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{5}{2}$

$1\frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$

Теперь выполним деление дробей для отношения $\frac{5}{2} : \frac{5}{3}$:

$\frac{5}{2} : \frac{5}{3} = \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{5} = \frac{5 \cdot 3}{2 \cdot 5}$

Сократим общие множители (5):

$\frac{3}{2}$

Искомое отношение натуральных чисел равно $3:2$.

Ответ: $3:2$

Упростите отношение величин (10–11):

10. а) $ \frac{35 \text{ м}}{28 \text{ м}} $;

б) $ \frac{45 \text{ кг}}{36 \text{ кг}} $;

в) $ \frac{420 \text{ км}}{720 \text{ км}} $;

г) $ \frac{450 \text{ т}}{540 \text{ т}} $;

д) $ \frac{320 \text{ ч}}{48 \text{ ч}} $;

е) $ \frac{480 \text{ мин}}{840 \text{ мин}} $.

а) Чтобы упростить отношение $\frac{35 \text{ м}}{28 \text{ м}}$, необходимо сократить дробь. Поскольку единицы измерения (метры) в числителе и знаменателе одинаковы, они сокращаются. Упрощаем числовое отношение $\frac{35}{28}$. Для этого находим наибольший общий делитель (НОД) чисел 35 и 28. НОД(35, 28) = 7. Теперь разделим числитель и знаменатель на 7:

$\frac{35 \div 7}{28 \div 7} = \frac{5}{4}$

Ответ: $\frac{5}{4}$.

б) Упростим отношение $\frac{45 \text{ кг}}{36 \text{ кг}}$. Единицы измерения (килограммы) сокращаются. Упрощаем числовую дробь $\frac{45}{36}$. Наибольший общий делитель для 45 и 36 равен 9. Делим числитель и знаменатель на 9:

$\frac{45 \div 9}{36 \div 9} = \frac{5}{4}$

Ответ: $\frac{5}{4}$.

в) Упростим отношение $\frac{420 \text{ км}}{720 \text{ км}}$. Единицы измерения (километры) сокращаются. Упрощаем дробь $\frac{420}{720}$. Сначала можно сократить оба числа на 10, получив $\frac{42}{72}$. Наибольший общий делитель для 42 и 72 равен 6. Делим числитель и знаменатель на 6:

$\frac{42 \div 6}{72 \div 6} = \frac{7}{12}$

Ответ: $\frac{7}{12}$.

г) Упростим отношение $\frac{450 \text{ т}}{540 \text{ т}}$. Единицы измерения (тонны) сокращаются. Упрощаем дробь $\frac{450}{540}$. Сокращаем оба числа на 10, получаем $\frac{45}{54}$. Наибольший общий делитель для 45 и 54 равен 9. Делим числитель и знаменатель на 9:

$\frac{45 \div 9}{54 \div 9} = \frac{5}{6}$

Ответ: $\frac{5}{6}$.

д) Упростим отношение $\frac{320 \text{ ч}}{48 \text{ ч}}$. Единицы измерения (часы) сокращаются. Упрощаем дробь $\frac{320}{48}$. Наибольший общий делитель для 320 и 48 равен 16. Делим числитель и знаменатель на 16:

$\frac{320 \div 16}{48 \div 16} = \frac{20}{3}$

Ответ: $\frac{20}{3}$.

е) Упростим отношение $\frac{480 \text{ мин}}{840 \text{ мин}}$. Единицы измерения (минуты) сокращаются. Упрощаем дробь $\frac{480}{840}$. Сокращаем оба числа на 10, получаем $\frac{48}{84}$. Наибольший общий делитель для 48 и 84 равен 12. Делим числитель и знаменатель на 12:

$\frac{48 \div 12}{84 \div 12} = \frac{4}{7}$

Ответ: $\frac{4}{7}$.

11. а) $ \frac{12 \text{ м}}{15 \text{ дм}} $;

б) $ \frac{18 \text{ кг}}{540 \text{ г}} $;

в) $ \frac{490 \text{ см}}{35 \text{ дм}} $;

г) $ \frac{450 \text{ кг}}{2 \text{ т}} $;

д) $ \frac{3500 \text{ см}^3}{21 \text{ дм}^3} $;

е) $ \frac{9900 \text{ дм}^3}{18 \text{ м}^3} $.

а) Чтобы найти отношение, необходимо привести величины к одной единице измерения. Переведем метры в дециметры.
Известно, что $1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$.
Следовательно, $12 \text{ м} = 12 \times 10 \text{ дм} = 120 \text{ дм}$.
Теперь найдем отношение:
$\frac{12 \text{ м}}{15 \text{ дм}} = \frac{120 \text{ дм}}{15 \text{ дм}} = 8$
Ответ: 8

б) Приведем величины к одной единице измерения. Переведем килограммы в граммы.
Известно, что $1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$.
Следовательно, $18 \text{ кг} = 18 \times 1000 \text{ г} = 18000 \text{ г}$.
Теперь найдем отношение:
$\frac{18 \text{ кг}}{540 \text{ г}} = \frac{18000 \text{ г}}{540 \text{ г}} = \frac{1800}{54} = \frac{100}{3} = 33\frac{1}{3}$
Ответ: $33\frac{1}{3}$

в) Приведем величины к одной единице измерения. Переведем дециметры в сантиметры.
Известно, что $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$.
Следовательно, $35 \text{ дм} = 35 \times 10 \text{ см} = 350 \text{ см}$.
Теперь найдем отношение:
$\frac{490 \text{ см}}{35 \text{ дм}} = \frac{490 \text{ см}}{350 \text{ см}} = \frac{49}{35} = \frac{7}{5}$
Ответ: $\frac{7}{5}$

г) Приведем величины к одной единице измерения. Переведем тонны в килограммы.
Известно, что $1 \text{ т} = 1000 \text{ кг}$.
Следовательно, $2 \text{ т} = 2 \times 1000 \text{ кг} = 2000 \text{ кг}$.
Теперь найдем отношение:
$\frac{450 \text{ кг}}{2 \text{ т}} = \frac{450 \text{ кг}}{2000 \text{ кг}} = \frac{45}{200} = \frac{9}{40}$
Ответ: $\frac{9}{40}$

д) Приведем величины к одной единице измерения. Переведем кубические дециметры в кубические сантиметры.
Известно, что $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$, значит $1 \text{ дм}^3 = (10 \text{ см})^3 = 1000 \text{ см}^3$.
Следовательно, $21 \text{ дм}^3 = 21 \times 1000 \text{ см}^3 = 21000 \text{ см}^3$.
Теперь найдем отношение:
$\frac{3500 \text{ см}^3}{21 \text{ дм}^3} = \frac{3500 \text{ см}^3}{21000 \text{ см}^3} = \frac{35}{210} = \frac{1}{6}$
Ответ: $\frac{1}{6}$

е) Приведем величины к одной единице измерения. Переведем кубические метры в кубические дециметры.
Известно, что $1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$, значит $1 \text{ м}^3 = (10 \text{ дм})^3 = 1000 \text{ дм}^3$.
Следовательно, $18 \text{ м}^3 = 18 \times 1000 \text{ дм}^3 = 18000 \text{ дм}^3$.
Теперь найдем отношение:
$\frac{9900 \text{ дм}^3}{18 \text{ м}^3} = \frac{9900 \text{ дм}^3}{18000 \text{ дм}^3} = \frac{99}{180} = \frac{11}{20}$
Ответ: $\frac{11}{20}$