Страница 8 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

12. Упростите отношение величин по образцу:

а) $\frac{350 \text{ км}}{5 \text{ ч}} = \frac{350}{5} \frac{\text{ км}}{\text{ ч}} = 70 \frac{\text{ км}}{\text{ ч}} $;

б) $\frac{720 \text{ км}}{8 \text{ ч}} $;

в) $\frac{360 \text{ м}}{3 \text{ мин}} $;

г) $\frac{420 \text{ кг}}{4 \text{ м}^3} $;

д) $\frac{2250 \text{ кг}}{3 \text{ м}^3} $;

е) $\frac{720 \text{ м}}{20 \text{ с}} $;

ж) $\frac{450 \text{ г}}{5 \text{ см}^3} $.

б) $\frac{720 \text{ км}}{8 \text{ ч}} = \frac{720}{8} \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 90 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$

Ответ: $90 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$

в) $\frac{360 \text{ м}}{3 \text{ мин}} = \frac{360}{3} \frac{\text{м}}{\text{мин}} = 120 \frac{\text{м}}{\text{мин}}$

Ответ: $120 \frac{\text{м}}{\text{мин}}$

г) $\frac{420 \text{ кг}}{4 \text{ м}^3} = \frac{420}{4} \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} = 105 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Ответ: $105 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

д) $\frac{2250 \text{ кг}}{3 \text{ м}^3} = \frac{2250}{3} \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} = 750 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Ответ: $750 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

е) $\frac{720 \text{ м}}{20 \text{ с}} = \frac{720}{20} \frac{\text{м}}{\text{с}} = 36 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Ответ: $36 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

ж) $\frac{450 \text{ г}}{5 \text{ см}^3} = \frac{450}{5} \frac{\text{г}}{\text{см}^3} = 90 \frac{\text{г}}{\text{см}^3}$

Ответ: $90 \frac{\text{г}}{\text{см}^3}$

13. Найдите пройденный путь $s$, если известны скорость $v$ и время $t$ равномерного движения:

а) $v=2$ м/с, $t=3$ с;

б) $v=2$ м/с, $t=\frac{1}{20}$ мин.

Для нахождения пройденного пути $s$ при равномерном движении используется формула: $s = v \cdot t$, где $v$ — скорость, а $t$ — время.

а)

По условию даны скорость $v = 2 \text{ м/с}$ и время $t = 3 \text{ с}$.

Единицы измерения (метры в секунду и секунды) согласованы, поэтому можем подставить значения в формулу:

$s = 2 \text{ м/с} \cdot 3 \text{ с} = 6 \text{ м}$

Ответ: 6 м.

б)

По условию даны скорость $v = 2 \text{ м/с}$ и время $t = \frac{1}{20} \text{ мин}$.

Так как скорость выражена в метрах в секунду, необходимо перевести время из минут в секунды. В одной минуте 60 секунд.

$t = \frac{1}{20} \text{ мин} = \frac{1}{20} \cdot 60 \text{ с} = 3 \text{ с}$

Теперь, когда единицы измерения согласованы, подставим значения в формулу:

$s = 2 \text{ м/с} \cdot 3 \text{ с} = 6 \text{ м}$

Ответ: 6 м.

14. Найдите скорость равномерного движения $v$, если известны пройденный путь $s$ и время движения $t$:

а) $s = 6$ м, $t = 3$ с;

б) $s = 6$ м, $t = \frac{1}{20}$ ч.

Для нахождения скорости равномерного движения $v$ используется формула:

$v = \frac{s}{t}$

где $s$ — пройденный путь, а $t$ — время движения.

а) Дано: $s = 6 \text{ м}$, $t = 3 \text{ с}$.

Подставляем значения в формулу:

$v = \frac{6 \text{ м}}{3 \text{ с}} = 2 \text{ м/с}$

Ответ: $2 \text{ м/с}$.

б) Дано: $s = 6 \text{ м}$, $t = \frac{1}{20} \text{ ч}$.

Для удобства расчетов переведем время из часов в секунды. В одном часе 3600 секунд ($60 \text{ минут} \times 60 \text{ секунд}$).

$t = \frac{1}{20} \text{ ч} = \frac{1}{20} \times 3600 \text{ с} = \frac{3600}{20} \text{ с} = 180 \text{ с}$

Теперь подставляем значения в формулу скорости:

$v = \frac{6 \text{ м}}{180 \text{ с}} = \frac{1}{30} \text{ м/с}$

Ответ: $\frac{1}{30} \text{ м/с}$.

15. Скорость пешехода $5 \frac{1}{5}$ км/ч. Найдите путь, пройденный пешеходом:

а) за 2 ч;

б) за $1 \frac{1}{2}$ ч;

в) за 45 мин;

г) за 125 мин.

Для решения задачи используется формула нахождения пути: $S = v \cdot t$, где $S$ - это путь, $v$ - это скорость, а $t$ - это время.

Скорость пешехода дана как $v = 5\frac{1}{5}$ км/ч. Для удобства вычислений представим эту скорость в виде неправильной дроби:

$v = 5\frac{1}{5} = \frac{5 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{26}{5}$ км/ч.

а) за 2 ч

Время в пути $t = 2$ ч. Чтобы найти путь, умножим скорость на время:

$S = v \cdot t = \frac{26}{5} \cdot 2 = \frac{52}{5} = 10\frac{2}{5}$ км.

Ответ: $10\frac{2}{5}$ км.

б) за 1 1/2 ч

Время в пути $t = 1\frac{1}{2}$ ч. Представим время в виде неправильной дроби: $t = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$ ч.

Найдем путь:

$S = v \cdot t = \frac{26}{5} \cdot \frac{3}{2} = \frac{26 \cdot 3}{5 \cdot 2} = \frac{13 \cdot 3}{5} = \frac{39}{5} = 7\frac{4}{5}$ км.

Ответ: $7\frac{4}{5}$ км.

в) за 45 мин

Скорость дана в км/ч, поэтому необходимо перевести время из минут в часы. В одном часе 60 минут.

$t = 45 \text{ мин} = \frac{45}{60} \text{ ч} = \frac{3}{4}$ ч.

Теперь найдем путь:

$S = v \cdot t = \frac{26}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{26 \cdot 3}{5 \cdot 4} = \frac{13 \cdot 3}{5 \cdot 2} = \frac{39}{10} = 3\frac{9}{10}$ км.

Ответ: $3\frac{9}{10}$ км.

г) за 125 мин

Переведем время из минут в часы:

$t = 125 \text{ мин} = \frac{125}{60} \text{ ч} = \frac{25}{12}$ ч.

Найдем путь, пройденный пешеходом:

$S = v \cdot t = \frac{26}{5} \cdot \frac{25}{12} = \frac{26 \cdot 25}{5 \cdot 12} = \frac{13 \cdot 5}{6} = \frac{65}{6} = 10\frac{5}{6}$ км.

Ответ: $10\frac{5}{6}$ км.

16. Расстояние в $1\frac{1}{2}$ км пешеход прошёл за 20 мин. Найдите скорость пешехода. Ответ запишите в следующих единицах:

а) $\text{км/ч}$;

б) $\text{км/мин}$;

в) $\text{м/ч}$;

г) $\text{м/мин}$;

д) $\text{м/с}$.

Для решения задачи нам даны расстояние $S = 1\frac{1}{2}$ км и время $t = 20$ мин. Скорость $v$ находится по формуле $v = S / t$. Вычислим скорость в требуемых единицах.

а) км/ч
Чтобы найти скорость в км/ч, необходимо перевести время из минут в часы.
Расстояние: $S = 1\frac{1}{2} \text{ км} = 1.5 \text{ км}$.
Время: $t = 20 \text{ мин}$. Поскольку в одном часе $60$ минут, то $t = \frac{20}{60} \text{ ч} = \frac{1}{3} \text{ ч}$.
Теперь вычислим скорость:
$v = \frac{S}{t} = \frac{1.5 \text{ км}}{1/3 \text{ ч}} = 1.5 \cdot 3 \text{ км/ч} = 4.5 \text{ км/ч}$.
Ответ: $4.5$ км/ч.

б) км/мин
Чтобы найти скорость в км/мин, используем исходные данные без преобразования единиц.
Расстояние: $S = 1.5 \text{ км}$.
Время: $t = 20 \text{ мин}$.
Вычислим скорость:
$v = \frac{S}{t} = \frac{1.5 \text{ км}}{20 \text{ мин}} = 0.075 \text{ км/мин}$.
Ответ: $0.075$ км/мин.

в) м/ч
Чтобы найти скорость в м/ч, переведём расстояние в метры, а время в часы.
Расстояние: $S = 1.5 \text{ км} = 1.5 \cdot 1000 \text{ м} = 1500 \text{ м}$.
Время: $t = \frac{1}{3} \text{ ч}$.
Вычислим скорость:
$v = \frac{S}{t} = \frac{1500 \text{ м}}{1/3 \text{ ч}} = 1500 \cdot 3 \text{ м/ч} = 4500 \text{ м/ч}$.
Ответ: $4500$ м/ч.

г) м/мин
Чтобы найти скорость в м/мин, переведём расстояние в метры.
Расстояние: $S = 1500 \text{ м}$.
Время: $t = 20 \text{ мин}$.
Вычислим скорость:
$v = \frac{S}{t} = \frac{1500 \text{ м}}{20 \text{ мин}} = 75 \text{ м/мин}$.
Ответ: $75$ м/мин.

д) м/с
Чтобы найти скорость в м/с, переведём расстояние в метры, а время в секунды.
Расстояние: $S = 1500 \text{ м}$.
Время: $t = 20 \text{ мин}$. Поскольку в одной минуте $60$ секунд, то $t = 20 \cdot 60 \text{ с} = 1200 \text{ с}$.
Вычислим скорость:
$v = \frac{S}{t} = \frac{1500 \text{ м}}{1200 \text{ с}} = \frac{15}{12} \text{ м/с} = \frac{5}{4} \text{ м/с} = 1.25 \text{ м/с}$.
Ответ: $1.25$ м/с.

17. Скорость легковой автомашины 72 км/ч. Какой путь она проедет за:

а) $ \frac{2}{3} $ ч;

б) 45 мин;

в) 50 мин;

г) 165 мин?

Для решения задачи воспользуемся формулой пути: $s = v \cdot t$, где $s$ — путь, $v$ — скорость, а $t$ — время.Скорость легковой автомашины дана в км/ч, поэтому для расчетов время необходимо также выразить в часах. В одном часе 60 минут.

а) $\frac{2}{3}$ ч
Время уже дано в часах, поэтому сразу подставляем значения в формулу.
Время $t = \frac{2}{3}$ ч.
Скорость $v = 72$ км/ч.
Найдем путь, который проедет машина:
$s = 72 \cdot \frac{2}{3} = \frac{72 \cdot 2}{3} = 24 \cdot 2 = 48$ км.
Ответ: 48 км.

б) 45 мин
Сначала переведем минуты в часы. Так как в 1 часе 60 минут, то:
$t = \frac{45}{60} = \frac{3 \cdot 15}{4 \cdot 15} = \frac{3}{4}$ ч.
Теперь найдем путь:
$s = 72 \cdot \frac{3}{4} = \frac{72 \cdot 3}{4} = 18 \cdot 3 = 54$ км.
Ответ: 54 км.

в) 50 мин
Переведем минуты в часы:
$t = \frac{50}{60} = \frac{5}{6}$ ч.
Найдем путь:
$s = 72 \cdot \frac{5}{6} = \frac{72 \cdot 5}{6} = 12 \cdot 5 = 60$ км.
Ответ: 60 км.

г) 165 мин
Переведем минуты в часы:
$t = \frac{165}{60} = \frac{11 \cdot 15}{4 \cdot 15} = \frac{11}{4}$ ч.
Найдем путь:
$s = 72 \cdot \frac{11}{4} = \frac{72 \cdot 11}{4} = 18 \cdot 11 = 198$ км.
Ответ: 198 км.

18. Скорость легковой автомашины $1200 \text{ м/мин}$. За сколько часов машина проедет:

а) $144 \text{ км}$;

б) $36 \text{ км}$;

в) $8 \text{ км}$;

г) $54 \text{ км}$?

Для решения задачи сначала необходимо перевести скорость автомобиля из метров в минуту (м/мин) в километры в час (км/ч), так как расстояние дано в километрах, а время нужно найти в часах.

Мы знаем, что в 1 километре 1000 метров, а в 1 часе 60 минут.

Скорость автомобиля $v = 1200$ м/мин.

Сначала переведем метры в километры: $1200 \text{ м} = 1.2$ км. Таким образом, скорость составляет $1.2$ км/мин.

Теперь переведем скорость из километров в минуту в километры в час, умножив на 60:

$v = 1.2 \text{ км/мин} \times 60 \text{ мин/ч} = 72$ км/ч.

Теперь, зная скорость $v = 72$ км/ч, мы можем найти время $t$ для каждого расстояния $S$ по формуле: $t = \frac{S}{v}$.

а) 144 км
Подставим известные значения в формулу:
$t = \frac{144 \text{ км}}{72 \text{ км/ч}} = 2$ часа.
Ответ: 2 часа.

б) 36 км
Подставим известные значения в формулу:
$t = \frac{36 \text{ км}}{72 \text{ км/ч}} = 0.5$ часа.
Ответ: 0.5 часа.

в) 8 км
Подставим известные значения в формулу:
$t = \frac{8 \text{ км}}{72 \text{ км/ч}} = \frac{1}{9}$ часа.
Ответ: $\frac{1}{9}$ часа.

г) 54 км
Подставим известные значения в формулу:
$t = \frac{54 \text{ км}}{72 \text{ км/ч}} = \frac{3}{4} = 0.75$ часа.
Ответ: 0.75 часа.

19. Найдите скорость автомашины, если 80 км она проезжает:

а) за 1 ч;

б) за $ \frac{4}{5} $ ч;

в) за $ \frac{4}{3} $ ч;

г) за $ \frac{8}{7} $ ч;

д) за 50 мин;

е) за 65 мин;

ж) за 90 мин;

з) за 100 мин.

Для нахождения скорости автомашины будем использовать формулу: $v = \frac{S}{t}$, где $v$ — скорость, $S$ — расстояние, $t$ — время. Во всех случаях расстояние $S = 80$ км.

а) Время в пути $t = 1$ ч.
Скорость равна:
$v = \frac{80 \text{ км}}{1 \text{ ч}} = 80 \text{ км/ч}$
Ответ: $80$ км/ч.

б) Время в пути $t = \frac{4}{5}$ ч.
Скорость равна:
$v = \frac{80}{\frac{4}{5}} = 80 \cdot \frac{5}{4} = \frac{400}{4} = 100 \text{ км/ч}$
Ответ: $100$ км/ч.

в) Время в пути $t = \frac{4}{3}$ ч.
Скорость равна:
$v = \frac{80}{\frac{4}{3}} = 80 \cdot \frac{3}{4} = \frac{240}{4} = 60 \text{ км/ч}$
Ответ: $60$ км/ч.

г) Время в пути $t = \frac{8}{7}$ ч.
Скорость равна:
$v = \frac{80}{\frac{8}{7}} = 80 \cdot \frac{7}{8} = \frac{560}{8} = 70 \text{ км/ч}$
Ответ: $70$ км/ч.

д) Время в пути $t = 50$ мин. Сначала переведем минуты в часы, зная, что в 1 часе 60 минут:
$t = 50 \text{ мин} = \frac{50}{60} \text{ ч} = \frac{5}{6} \text{ ч}$
Теперь найдем скорость:
$v = \frac{80}{\frac{5}{6}} = 80 \cdot \frac{6}{5} = \frac{480}{5} = 96 \text{ км/ч}$
Ответ: $96$ км/ч.

е) Время в пути $t = 65$ мин. Переведем минуты в часы:
$t = 65 \text{ мин} = \frac{65}{60} \text{ ч} = \frac{13}{12} \text{ ч}$
Теперь найдем скорость:
$v = \frac{80}{\frac{13}{12}} = 80 \cdot \frac{12}{13} = \frac{960}{13} = 73\frac{11}{13} \text{ км/ч}$
Ответ: $73\frac{11}{13}$ км/ч.

ж) Время в пути $t = 90$ мин. Переведем минуты в часы:
$t = 90 \text{ мин} = \frac{90}{60} \text{ ч} = \frac{3}{2} \text{ ч}$
Теперь найдем скорость:
$v = \frac{80}{\frac{3}{2}} = 80 \cdot \frac{2}{3} = \frac{160}{3} = 53\frac{1}{3} \text{ км/ч}$
Ответ: $53\frac{1}{3}$ км/ч.

з) Время в пути $t = 100$ мин. Переведем минуты в часы:
$t = 100 \text{ мин} = \frac{100}{60} \text{ ч} = \frac{5}{3} \text{ ч}$
Теперь найдем скорость:
$v = \frac{80}{\frac{5}{3}} = 80 \cdot \frac{3}{5} = \frac{240}{5} = 48 \text{ км/ч}$
Ответ: $48$ км/ч.

20. Два конькобежца одновременно стартовали на дистанцию 10 000 м по замкнутой дорожке, длина которой равна 400 м. Скорость первого конькобежца 20 км/ч, а скорость второго 21 км/ч. Обгонит ли второй конькобежец первого на круг до конца дистанции? А на два круга?

Для решения задачи определим, на какое расстояние второй конькобежец обгонит первого к моменту своего финиша, и сравним это расстояние с длиной одного и двух кругов.

Исходные данные:
Общая дистанция: $S = 10 \text{ 000 м} = 10 \text{ км}$
Длина круга: $L = 400 \text{ м} = 0.4 \text{ км}$
Скорость первого конькобежца: $v_1 = 20 \text{ км/ч}$
Скорость второго конькобежца: $v_2 = 21 \text{ км/ч}$

1. Сначала найдем время, за которое второй (более быстрый) конькобежец завершит дистанцию. Этот момент времени и будет считаться "концом дистанции" в рамках вопроса.
Время вычисляется по формуле $t = S/v$.
$t_2 = S / v_2 = 10 \text{ км} / 21 \text{ км/ч} = \frac{10}{21} \text{ ч}$.

2. Теперь определим, какое расстояние пройдет первый конькобежец за это же время $t_2$.
$S_1 = v_1 \times t_2 = 20 \text{ км/ч} \times \frac{10}{21} \text{ ч} = \frac{200}{21} \text{ км}$.

3. Второй конькобежец к этому моменту времени пройдет всю дистанцию $S = 10 \text{ км}$. Найдем разницу в пройденных ими расстояниях. Эта разница покажет, на сколько второй конькобежец обогнал первого.
$\Delta S = S - S_1 = 10 - \frac{200}{21} = \frac{210 - 200}{21} = \frac{10}{21} \text{ км}$.

4. Чтобы узнать, сколько кругов составляет эта разница, разделим полученное расстояние на длину одного круга $L$.
Количество кругов обгона = $\Delta S / L = (\frac{10}{21} \text{ км}) / (0.4 \text{ км}) = \frac{10}{21} \div \frac{4}{10} = \frac{10}{21} \times \frac{10}{4} = \frac{100}{84} = \frac{25}{21}$ круга.

Преобразуем дробь в смешанное число для наглядности: $\frac{25}{21} = 1\frac{4}{21}$ круга. В десятичном виде это примерно $1.19$ круга.

Обгонит ли второй конькобежец первого на круг до конца дистанции?

К моменту, когда второй конькобежец финиширует, он обгонит первого на $1\frac{4}{21}$ круга. Так как это значение больше, чем 1, то обгон на один полный круг произойдет до конца дистанции.
Ответ: да, обгонит.

А на два круга?

Величина обгона составляет $1\frac{4}{21}$ круга. Так как $1\frac{4}{21} < 2$, второй конькобежец не успеет обогнать первого на два полных круга до того, как закончит свою дистанцию.
Ответ: нет, не обгонит.