Страница 10 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

?21. Что показывает численный масштаб:

а) $1:100$;

б) $1:1000$;

в) $1:20000$?

Численный масштаб — это отношение, которое показывает, во сколько раз расстояние на плане или карте уменьшено по сравнению с реальным расстоянием на местности. Он записывается в виде дроби, где числитель равен 1 (например, $1:M$), а знаменатель ($M$) показывает степень уменьшения.

а) 1 : 100;

Этот масштаб означает, что 1 единица длины на плане соответствует 100 таким же единицам на местности. То есть, все реальные размеры уменьшены в 100 раз. Такой крупный масштаб обычно используется для чертежей зданий, планов квартир или небольших участков земли.

Например, если измерить 1 сантиметр на плане, в реальности это будет соответствовать 100 сантиметрам:

$1 \text{ см (на плане)} = 100 \text{ см (на местности)} = 1 \text{ м (на местности)}$

Ответ: Масштаб $1:100$ показывает, что 1 см на плане соответствует 1 метру на местности.

б) 1 : 1000;

Этот масштаб означает, что 1 единица длины на карте соответствует 1000 таких же единиц на местности. Все реальные расстояния уменьшены в 1000 раз. Такой масштаб применяют для топографических планов небольших территорий, например, парков или городских кварталов.

Например, 1 сантиметр на такой карте будет соответствовать 1000 сантиметрам в реальности:

$1 \text{ см (на карте)} = 1000 \text{ см (на местности)} = 10 \text{ м (на местности)}$

Ответ: Масштаб $1:1000$ показывает, что 1 см на карте соответствует 10 метрам на местности.

в) 1 : 20 000?

Этот масштаб означает, что 1 единица длины на карте соответствует 20 000 таких же единиц на местности. Реальные расстояния уменьшены в 20 000 раз. Это типичный масштаб для топографических карт, охватывающих районы, такие как небольшой город или сельская местность.

Например, 1 сантиметр на карте будет соответствовать 20 000 сантиметрам в реальности:

$1 \text{ см (на карте)} = 20\;000 \text{ см (на местности)} = 200 \text{ м (на местности)}$

Ответ: Масштаб $1:20\;000$ показывает, что 1 см на карте соответствует 200 метрам на местности.

22. Определите численный масштаб, если известно, что 1 см на плане (географической карте) изображает отрезок длиной:

а) 10 см;

б) 50 см;

в) 6 дм;

г) 10 м;

д) 100 м;

е) 1 км;

ж) 6 км;

з) 10 км.

Численный масштаб – это отношение длины отрезка на карте к его действительной длине на местности. Он выражается в виде дроби, где числитель равен 1, а знаменатель показывает, во сколько раз расстояние на местности больше, чем на карте. Для определения численного масштаба необходимо привести обе величины (расстояние на карте и расстояние на местности) к одной единице измерения, обычно к сантиметрам.

а)
Дано, что 1 см на плане соответствует 10 см на местности. Так как обе величины уже выражены в сантиметрах, численный масштаб записывается как отношение 1 к 10.
Ответ: $1 : 10$.

б)
Дано, что 1 см на плане соответствует 50 см на местности. Обе величины выражены в сантиметрах, поэтому масштаб составляет 1 к 50.
Ответ: $1 : 50$.

в)
Дано, что 1 см на плане соответствует 6 дм на местности. Переведем дециметры в сантиметры. Зная, что $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$, получаем:
$6 \text{ дм} = 6 \cdot 10 \text{ см} = 60 \text{ см}$.
Таким образом, 1 см на плане соответствует 60 см на местности. Численный масштаб равен $1 : 60$.
Ответ: $1 : 60$.

г)
Дано, что 1 см на плане соответствует 10 м на местности. Переведем метры в сантиметры. В одном метре 100 сантиметров ($1 \text{ м} = 100 \text{ см}$):
$10 \text{ м} = 10 \cdot 100 \text{ см} = 1000 \text{ см}$.
Следовательно, 1 см на плане соответствует 1000 см на местности. Масштаб составляет $1 : 1000$.
Ответ: $1 : 1000$.

д)
Дано, что 1 см на плане соответствует 100 м на местности. Переведем метры в сантиметры ($1 \text{ м} = 100 \text{ см}$):
$100 \text{ м} = 100 \cdot 100 \text{ см} = 10000 \text{ см}$.
Значит, 1 см на плане соответствует 10000 см на местности. Масштаб равен $1 : 10000$.
Ответ: $1 : 10000$.

е)
Дано, что 1 см на плане соответствует 1 км на местности. Переведем километры в сантиметры. В одном километре 1000 метров, а в одном метре 100 сантиметров ($1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$, $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$):
$1 \text{ км} = 1000 \text{ м} = 1000 \cdot 100 \text{ см} = 100000 \text{ см}$.
Следовательно, 1 см на плане соответствует 100000 см на местности. Масштаб равен $1 : 100000$.
Ответ: $1 : 100000$.

ж)
Дано, что 1 см на плане соответствует 6 км на местности. Переведем километры в сантиметры, зная, что $1 \text{ км} = 100000 \text{ см}$:
$6 \text{ км} = 6 \cdot 100000 \text{ см} = 600000 \text{ см}$.
Таким образом, 1 см на плане соответствует 600000 см на местности. Масштаб составляет $1 : 600000$.
Ответ: $1 : 600000$.

з)
Дано, что 1 см на плане соответствует 10 км на местности. Переведем километры в сантиметры ($1 \text{ км} = 100000 \text{ см}$):
$10 \text{ км} = 10 \cdot 100000 \text{ см} = 1000000 \text{ см}$.
Следовательно, 1 см на плане соответствует 1000000 см на местности. Масштаб равен $1 : 1000000$.
Ответ: $1 : 1000000$.

23. Расстояние между двумя городами равно 200 км. Определите расстояние между изображениями этих городов на карте, если численный масштаб карты равен:

а) $1 : 1\;000\;000$;

б) $1 : 200\;000$;

в) $\frac{1}{5\;000\;000}$.

Для решения этой задачи необходимо определить расстояние на карте, зная реальное расстояние и численный масштаб. Алгоритм решения для каждого случая будет следующим:

1. Перевести реальное расстояние из километров в сантиметры, чтобы единицы измерения соответствовали тем, что используются в масштабе.
2. Разделить реальное расстояние в сантиметрах на знаменатель масштаба, чтобы найти расстояние на карте.

Шаг 1: Перевод реального расстояния в сантиметры.

Известно, что в одном километре 1000 метров, а в одном метре 100 сантиметров.

$1 \text{ км} = 1000 \text{ м} \times 100 \frac{\text{см}}{\text{м}} = 100\ 000 \text{ см}$

Таким образом, реальное расстояние между городами в 200 км равно:

$200 \text{ км} = 200 \times 100\ 000 \text{ см} = 20\ 000\ 000 \text{ см}$

Шаг 2: Расчет расстояния на карте для каждого масштаба.

а) 1 : 1 000 000;

Масштаб 1 : 1 000 000 означает, что 1 см на карте соответствует 1 000 000 см на местности. Чтобы найти расстояние на карте, нужно реальное расстояние в сантиметрах разделить на знаменатель масштаба:

$\frac{20\ 000\ 000 \text{ см}}{1\ 000\ 000} = 20 \text{ см}$

Ответ: 20 см.

б) 1 : 200 000;

Масштаб 1 : 200 000 означает, что 1 см на карте соответствует 200 000 см на местности.

$\frac{20\ 000\ 000 \text{ см}}{200\ 000} = 100 \text{ см}$

Ответ: 100 см.

в) $\frac{1}{5\ 000\ 000}$

Масштаб, записанный в виде дроби $\frac{1}{5\ 000\ 000}$, эквивалентен записи 1 : 5 000 000. Это означает, что 1 см на карте соответствует 5 000 000 см на местности.

$\frac{20\ 000\ 000 \text{ см}}{5\ 000\ 000} = 4 \text{ см}$

Ответ: 4 см.

24. Масштаб карты равен $ \frac{1}{50 000} $. Определите расстояние на местности, если на карте оно равно:

а) 1 см;

б) 5 см;

в) 22 см;

г) 37 мм;

д) $ 1 \frac{1}{5} $ дм;

е) 146 мм.

Масштаб карты $1:50000$ показывает, что 1 единица длины на карте соответствует 50 000 таким же единицам на местности. Это означает, что для нахождения реального расстояния необходимо расстояние на карте умножить на 50 000.

Для удобства расчетов определим, скольким метрам и километрам на местности соответствует 1 сантиметр на карте:

$1 \text{ см на карте} = 1 \times 50000 = 50000 \text{ см на местности}$

$50000 \text{ см} = 50000 \div 100 = 500 \text{ м}$

$500 \text{ м} = 500 \div 1000 = 0,5 \text{ км}$

Таким образом, 1 см на карте равен 500 м или 0,5 км на местности.

а)

Расстояние на карте равно 1 см. Умножаем это расстояние на 50 000.

$1 \text{ см} \times 50000 = 50000 \text{ см} = 500 \text{ м}$

Ответ: 500 м.

б)

Расстояние на карте равно 5 см. Умножаем это расстояние на 50 000.

$5 \text{ см} \times 50000 = 250000 \text{ см}$

Переведем сантиметры в километры: $250000 \text{ см} = 2500 \text{ м} = 2,5 \text{ км}$.

Ответ: 2,5 км.

в)

Расстояние на карте равно 22 см. Умножаем это расстояние на 50 000.

$22 \text{ см} \times 50000 = 1100000 \text{ см}$

Переведем сантиметры в километры: $1100000 \text{ см} = 11000 \text{ м} = 11 \text{ км}$.

Ответ: 11 км.

г)

Расстояние на карте равно 37 мм. Сначала переведем миллиметры в сантиметры: $37 \text{ мм} = 3,7 \text{ см}$.

Теперь умножаем полученное значение на 50 000.

$3,7 \text{ см} \times 50000 = 185000 \text{ см}$

Переведем сантиметры в километры: $185000 \text{ см} = 1850 \text{ м} = 1,85 \text{ км}$.

Ответ: 1,85 км.

д)

Расстояние на карте равно $1\frac{1}{5}$ дм. Переведем это значение в сантиметры.

$1\frac{1}{5} \text{ дм} = 1,2 \text{ дм} = 1,2 \times 10 = 12 \text{ см}$

Теперь умножаем полученное значение на 50 000.

$12 \text{ см} \times 50000 = 600000 \text{ см}$

Переведем сантиметры в километры: $600000 \text{ см} = 6000 \text{ м} = 6 \text{ км}$.

Ответ: 6 км.

е)

Расстояние на карте равно 146 мм. Переведем миллиметры в сантиметры: $146 \text{ мм} = 14,6 \text{ см}$.

Теперь умножаем полученное значение на 50 000.

$14,6 \text{ см} \times 50000 = 730000 \text{ см}$

Переведем сантиметры в километры: $730000 \text{ см} = 7300 \text{ м} = 7,3 \text{ км}$.

Ответ: 7,3 км.

25. План комнаты имеет вид прямоугольника со сторонами 40 мм и 31 мм. Определите длину и ширину комнаты, если численный масштаб плана 1:200.

Масштаб плана 1:200 означает, что 1 единица измерения на плане соответствует 200 таким же единицам в реальности. Чтобы найти реальные размеры комнаты, необходимо размеры, указанные на плане, умножить на 200.

Дано:
- Стороны на плане: 40 мм и 31 мм.
- Масштаб: 1:200.

Определение длины комнаты

За длину комнаты обычно принимают большую сторону. Длина комнаты на плане составляет 40 мм. Вычислим реальную длину:
$40 \text{ мм} \times 200 = 8000 \text{ мм}$
Для удобства переведем миллиметры в метры, зная, что в 1 метре 1000 миллиметров:
$8000 \text{ мм} \div 1000 = 8 \text{ м}$

Определение ширины комнаты

Ширина комнаты на плане составляет 31 мм. Вычислим реальную ширину:
$31 \text{ мм} \times 200 = 6200 \text{ мм}$
Переведем миллиметры в метры:
$6200 \text{ мм} \div 1000 = 6.2 \text{ м}$

Ответ: Длина комнаты 8 м, ширина комнаты 6,2 м.

26. Огород имеет вид прямоугольника, длина которого 340 м, а ширина 220 м. Какие размеры будет иметь изображение этого огорода на плане, выполненном в масштабе $1:500$?

Для того чтобы найти размеры изображения огорода на плане, необходимо его реальные размеры уменьшить в соответствии с указанным масштабом. Масштаб 1:500 означает, что 1 единица длины на плане соответствует 500 таким же единицам на местности. Следовательно, реальные размеры нужно разделить на 500.

Для удобства расчетов переведем сначала реальные размеры огорода из метров в сантиметры, учитывая, что $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$.

Находим длину изображения на плане
Реальная длина огорода равна 340 м.
Переводим в сантиметры: $340 \text{ м} \times 100 = 34000 \text{ см}$.
Теперь уменьшаем полученное значение в 500 раз:
$L_{план} = \frac{34000}{500} = \frac{340}{5} = 68 \text{ см}$.

Находим ширину изображения на плане
Реальная ширина огорода равна 220 м.
Переводим в сантиметры: $220 \text{ м} \times 100 = 22000 \text{ см}$.
Уменьшаем полученное значение в 500 раз:
$W_{план} = \frac{22000}{500} = \frac{220}{5} = 44 \text{ см}$.

Таким образом, изображение огорода на плане будет представлять собой прямоугольник с размерами 68 см на 44 см.
Ответ: Изображение огорода на плане будет иметь размеры 68 см в длину и 44 см в ширину.

27. Прямоугольник со сторонами 12 см и 6 см изображает на плане поле, занятое под овёс. Определите масштаб плана, если большая сторона поля имеет длину 360 м. Определите меньшую сторону поля.

Определите масштаб плана

Масштаб — это отношение длины отрезка на карте или плане к его реальной длине на местности. В данной задаче большая сторона прямоугольника на плане (12 см) соответствует большей стороне поля (360 м).

1. Для нахождения масштаба необходимо выразить обе длины в одинаковых единицах измерения. Переведем метры в сантиметры:

$360 \text{ м} = 360 \times 100 \text{ см} = 36000 \text{ см}$

2. Теперь найдем отношение длины на плане к реальной длине:

$\text{Масштаб} = \frac{\text{Длина на плане}}{\text{Длина в реальности}} = \frac{12 \text{ см}}{36000 \text{ см}}$

3. Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 12:

$\frac{12}{36000} = \frac{1}{3000}$

Это означает, что масштаб плана равен 1:3000 (один к трем тысячам).

Ответ: Масштаб плана 1:3000.

Определите меньшую сторону поля

Зная масштаб плана (1:3000) и длину меньшей стороны на плане (6 см), мы можем вычислить ее реальную длину. Масштаб 1:3000 означает, что 1 см на плане соответствует 3000 см в реальности.

1. Умножим длину меньшей стороны на плане на знаменатель масштаба:

$6 \text{ см} \times 3000 = 18000 \text{ см}$

2. Для удобства переведем результат из сантиметров в метры:

$18000 \text{ см} \div 100 = 180 \text{ м}$

Таким образом, реальная длина меньшей стороны поля составляет 180 метров.

Ответ: Меньшая сторона поля имеет длину 180 м.

28. Используя план местности (рис. 2), определите:

а) расстояние от А до В;

б) расстояния от А и от В до моста через реку;

в) расстояние от В до смешанного леса.

Масштаб $1:10\ 000$

Рис. 2

Масштаб $1:100\ 000$

Рис. 3

Для решения всех пунктов задачи используется план местности, представленный на рис. 2. Масштаб этого плана — 1:10 000. Это означает, что 1 сантиметр на плане соответствует 10 000 сантиметрам на реальной местности. Для удобства расчетов переведем сантиметры в метры:

$10 \ 000 \text{ см} = 100 \text{ м}$.

Следовательно, 1 см на плане равен 100 м на местности. Все измерения расстояний на плане производятся с помощью линейки.

С помощью линейки измерим расстояние на плане между центрами условных знаков в точках А и В. Оно составляет примерно 5,8 см. Чтобы найти реальное расстояние на местности, умножим это значение на величину именованного масштаба:

$5,8 \text{ см} \times 100 \frac{\text{м}}{\text{см}} = 580 \text{ м}$.

Ответ: расстояние от А до В составляет 580 м.

На плане мост — это участок дороги, пересекающий реку. Измерим расстояния от точек А и В до середины моста по дороге.

Расстояние на плане от точки А до моста составляет примерно 2,6 см. Реальное расстояние будет:

$2,6 \text{ см} \times 100 \frac{\text{м}}{\text{см}} = 260 \text{ м}$.

Расстояние на плане от точки В до моста составляет примерно 3,2 см. Реальное расстояние будет:

$3,2 \text{ см} \times 100 \frac{\text{м}}{\text{см}} = 320 \text{ м}$.

Ответ: расстояние от А до моста — 260 м, расстояние от В до моста — 320 м.

Смешанный лес (обозначен значками ели и березы) находится к западу от точки В. Необходимо определить кратчайшее расстояние от точки В до границы леса. Измерим на плане перпендикуляр от точки В до границы лесного массива. Это расстояние равно примерно 0,4 см. Вычислим реальное расстояние:

$0,4 \text{ см} \times 100 \frac{\text{м}}{\text{см}} = 40 \text{ м}$.

Ответ: расстояние от В до смешанного леса составляет 40 м.