Страница 11 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

29. За сколько часов туристы преодолеют расстояние от A до B (рис. 3), если будут двигаться со скоростью:

а) $5 \text{ км/ч}$;

б) $4 \text{ км/ч}$?

Для решения этой задачи нужно найти время, которое туристы потратят на путь от А до В. Время можно найти, разделив расстояние на скорость. Формула для нахождения времени:

$t = \frac{S}{v}$

где $t$ — это время, $S$ — расстояние, а $v$ — скорость.

Расстояние $S$ от А до В на рисунке 3 составляет 20 км (обычно в таких задачах длина одной клетки на схеме равна 1 км, а весь путь состоит из 20 таких отрезков).

Теперь решим задачу для каждого случая.

Дано, что скорость туристов $v = 5$ км/ч. Расстояние $S = 20$ км. Подставим эти значения в формулу, чтобы найти время $t$: $t = \frac{20 \text{ км}}{5 \text{ км/ч}} = 4 \text{ часа}$ Таким образом, если туристы будут двигаться со скоростью 5 км/ч, они преодолеют расстояние за 4 часа.

Ответ: 4 часа.

Дано, что скорость туристов $v = 4$ км/ч. Расстояние $S$ остается тем же — 20 км. Подставим эти значения в формулу: $t = \frac{20 \text{ км}}{4 \text{ км/ч}} = 5 \text{ часов}$ Если туристы будут двигаться со скоростью 4 км/ч, они преодолеют расстояние за 5 часов.

Ответ: 5 часов.

30. Начертите план класса в масштабе 1 : 100.

Для того чтобы начертить план класса, необходимо выполнить несколько последовательных шагов. Поскольку в задаче не приведены конкретные размеры помещения, мы будем использовать для примера стандартные размеры типичного школьного класса. Процесс включает в себя измерение реального объекта, применение масштаба для расчета размеров на чертеже и само построение плана.

Масштаб $1:100$ показывает, что 1 единица длины на плане соответствует 100 таким же единицам в реальности. Это значит, что изображение на плане в 100 раз меньше реального объекта. Для удобства можно перевести это соотношение в метры и сантиметры:$1 \text{ см на плане} = 100 \text{ см в реальности}$Поскольку $100 \text{ см} = 1 \text{ м}$, мы получаем очень простое правило для пересчета: каждый метр в реальности будет соответствовать одному сантиметру на плане.

На этом этапе нужно с помощью рулетки измерить все основные размеры классной комнаты и находящихся в ней объектов. Важно замерить не только габариты, но и расположение объектов относительно стен и друг друга. В качестве примера возьмем следующие размеры:

• Длина класса: 8 м
• Ширина класса: 6 м
• Ширина двери: 0,9 м
• Ширина окна: 1,5 м (предположим, в классе 3 окна)
• Длина классной доски: 3 м
• Размеры стола учителя: $1,2 \text{ м} \times 0,6 \text{ м}$
• Размеры ученической парты (на двух учеников): $1,2 \text{ м} \times 0,5 \text{ м}$

Используя правило, полученное из масштаба ($1 \text{ м в реальности} = 1 \text{ см на плане}$), пересчитаем все наши измерения:

• Длина класса на плане: $8 \text{ м} \rightarrow 8 \text{ см}$
• Ширина класса на плане: $6 \text{ м} \rightarrow 6 \text{ см}$
• Ширина двери на плане: $0,9 \text{ м} \rightarrow 0,9 \text{ см} \text{ (или } 9 \text{ мм)}$
• Ширина окна на плане: $1,5 \text{ м} \rightarrow 1,5 \text{ см}$
• Длина доски на плане: $3 \text{ м} \rightarrow 3 \text{ см}$
• Размеры стола учителя на плане: $1,2 \text{ см} \times 0,6 \text{ см}$
• Размеры парты на плане: $1,2 \text{ см} \times 0,5 \text{ см}$

Теперь, имея все размеры, можно приступить к чертежу на листе бумаги (лучше всего подойдет миллиметровая или бумага в клетку).
1. С помощью линейки и карандаша начертите прямоугольник — контур стен класса — размером $8 \text{ см} \times 6 \text{ см}$.
2. В соответствии с реальным расположением, нанесите на план окна (например, три отрезка по 1,5 см на одной из длинных стен) и дверной проем (отрезок 0,9 см с дугой, показывающей, в какую сторону открывается дверь).
3. У передней стены изобразите классную доску в виде жирной линии длиной 3 см.
4. Внутри контура класса расставьте мебель: начертите прямоугольник для стола учителя ($1,2 \text{ см} \times 0,6 \text{ см}$) и прямоугольники для парт ($1,2 \text{ см} \times 0,5 \text{ см}$), располагая их рядами, как в настоящем классе.
5. В углу чертежа или под ним обязательно укажите использованный масштаб: М 1:100.

Ответ: Чтобы начертить план класса в масштабе $1:100$, необходимо измерить реальные размеры помещения и мебели, разделить каждое значение на 100, чтобы получить размеры в сантиметрах для плана, и затем начертить его на бумаге. Например, класс размером 8 м на 6 м на плане будет изображен в виде прямоугольника 8 см на 6 см.

31. а) Начертите план своей комнаты в масштабе $1:50$.

б) Начертите план школьного здания в масштабе $1:250$.

а)

Поскольку это практическое задание, которое требует измерений на местности, мы не можем начертить план именно вашей комнаты. Вместо этого мы покажем подробный алгоритм действий и решим задачу на примере типичной комнаты.

1. Измерьте длину и ширину вашей комнаты с помощью рулетки. Для нашего примера предположим, что комната имеет прямоугольную форму, ее длина составляет 5 метров, а ширина — 4 метра.

2. Переведите полученные размеры в сантиметры, так как чертеж на бумаге удобнее выполнять в сантиметрах.

Длина: $5 \text{ м} = 5 \times 100 \text{ см} = 500 \text{ см}$

Ширина: $4 \text{ м} = 4 \times 100 \text{ см} = 400 \text{ см}$

3. Используйте заданный масштаб 1:50. Это означает, что 1 сантиметр на плане соответствует 50 сантиметрам в реальности. Чтобы найти размеры объектов на плане, их реальные размеры в сантиметрах нужно разделить на 50.

4. Вычислите длину и ширину комнаты на плане:

Длина на плане: $\frac{500 \text{ см}}{50} = 10 \text{ см}$

Ширина на плане: $\frac{400 \text{ см}}{50} = 8 \text{ см}$

5. Теперь на листе бумаги начертите прямоугольник со сторонами 10 см и 8 см. Таким же образом вы можете нанести на план окна, двери и основную мебель, предварительно измерив их реальные размеры и расположение, а затем пересчитав их в масштабе.

Ответ: План комнаты размером 5м × 4м в масштабе 1:50 будет представлять собой прямоугольник со сторонами 10 см × 8 см.

б)

Это задание также является практическим и требует реальных данных. Мы приведем примерный расчет для гипотетического школьного здания.

1. Узнайте или измерьте габариты школьного здания. Предположим для примера, что основное здание школы имеет прямоугольную форму размером 60 метров в длину на 25 метров в ширину.

2. Переведите размеры в сантиметры.

Длина: $60 \text{ м} = 60 \times 100 \text{ см} = 6000 \text{ см}$

Ширина: $25 \text{ м} = 25 \times 100 \text{ см} = 2500 \text{ см}$

3. Масштаб плана 1:250 означает, что 1 см на чертеже соответствует 250 см в действительности. Чтобы получить размеры для плана, нужно реальные размеры разделить на 250.

4. Вычислите размеры здания на плане:

Длина на плане: $\frac{6000 \text{ см}}{250} = 24 \text{ см}$

Ширина на плане: $\frac{2500 \text{ см}}{250} = 10 \text{ см}$

5. Начертите прямоугольник размерами 24 см на 10 см. Для создания настоящего плана школы потребовалось бы измерить и нанести в масштабе все выступы, крыльца, а также внутренние помещения (классы, коридоры, актовый зал и т.д.) на всех этажах.

Ответ: План условного школьного здания размером 60м × 25м в масштабе 1:250 будет иметь вид прямоугольника со сторонами 24 см × 10 см.

32. Можно ли начертить план здания (прямоугольной формы в основании) длиной 50 м и шириной 20 м на странице тетради, если использовать масштаб $1:50$? Какой масштаб следует использовать, чтобы план поместился на странице тетради?

Можно ли начертить план здания (прямоугольной формы в основании) длиной 50 м и шириной 20 м на странице тетради, если использовать масштаб 1:50?

Чтобы определить, поместится ли план на странице тетради, необходимо рассчитать его размеры в сантиметрах при заданном масштабе.

1. Переведем реальные размеры здания из метров в сантиметры, зная, что в 1 метре 100 сантиметров:
Длина: $50 \text{ м} = 50 \times 100 \text{ см} = 5000 \text{ см}$
Ширина: $20 \text{ м} = 20 \times 100 \text{ см} = 2000 \text{ см}$

2. Рассчитаем размеры плана на чертеже. Масштаб 1:50 означает, что 1 см на плане соответствует 50 см в реальности. Следовательно, реальные размеры нужно разделить на 50:
Длина на плане: $5000 \text{ см} \div 50 = 100 \text{ см}$
Ширина на плане: $2000 \text{ см} \div 50 = 40 \text{ см}$

3. Сравним полученные размеры с размерами стандартной тетрадной страницы. Размер страницы в школьной тетради примерно 20.5 см на 16.5 см. Полученные размеры плана (100 см на 40 см) значительно больше. Длина плана составляет 1 метр.

Ответ: Нет, нельзя, так как размеры плана (100 см на 40 см) значительно превышают размеры страницы тетради.

Какой масштаб следует использовать, чтобы план поместился на странице тетради?

Чтобы план поместился на странице тетради, его размеры должны быть меньше размеров страницы. Возьмем для примера рабочую область тетрадного листа примерно 18 см в длину и 15 см в ширину (с учетом полей).

1. Определим минимальный масштабный коэффициент для каждой из сторон. Длинная сторона здания (50 м) должна поместиться на длинной стороне листа (18 см), а короткая (20 м) — на короткой (15 см).

2. Рассчитаем коэффициент для длины ($50 \text{ м} = 5000 \text{ см}$):
Масштабный коэффициент $\ge 5000 \text{ см} \div 18 \text{ см} \approx 278$

3. Рассчитаем коэффициент для ширины ($20 \text{ м} = 2000 \text{ см}$):
Масштабный коэффициент $\ge 2000 \text{ см} \div 15 \text{ см} \approx 134$

4. Чтобы на чертеже поместились и длина, и ширина, нужно выбрать больший из двух рассчитанных коэффициентов, так как он обеспечивает большее уменьшение. В данном случае, коэффициент должен быть не меньше 278. Для удобства выбирают стандартный масштаб с округленным в большую сторону значением, например, 1:300, 1:400 или 1:500.

Например, проверим масштаб 1:500:
Длина на плане: $5000 \text{ см} \div 500 = 10 \text{ см}$
Ширина на плане: $2000 \text{ см} \div 500 = 4 \text{ см}$
План размером 10 см на 4 см легко поместится на странице тетради.

Ответ: Чтобы план поместился на стандартной тетрадной странице, следует использовать более мелкий масштаб, например, 1:300, 1:400 или 1:500.

33. На рисунке 4 изображён комар в масштабе $4:1$. Определите истинную длину крыла комара.

Задача 33

Масштаб 4 : 1 является масштабом увеличения. Это означает, что каждый линейный размер объекта на рисунке в 4 раза больше его истинного размера.

Чтобы определить истинную длину крыла комара, необходимо измерить длину крыла на рисунке и разделить полученное значение на 4.

Измерим длину крыла на рисунке 4. Допустим, она равна 2,4 см (24 мм).

Теперь найдем истинную длину, разделив измеренную длину на 4:
$L_{истинная} = \frac{L_{на\;рисунке}}{4} = \frac{2,4 \text{ см}}{4} = 0,6 \text{ см}$.

Переведем результат в миллиметры: $0,6 \text{ см} = 6 \text{ мм}$.
Ответ: истинная длина крыла комара составляет 0,6 см или 6 мм.

Задача 34

Масштаб показывает отношение размера объекта на изображении к его реальному размеру. Масштаб вида $A:B$ означает, что $A$ единиц на изображении соответствуют $B$ единицам в реальности.

• Если $A > B$, то это масштаб увеличения (предмет увеличен).
• Если $A < B$, то это масштаб уменьшения (предмет уменьшен).

а) 1 : 100
Здесь $1 < 100$, значит, 1 единица на изображении соответствует 100 реальным единицам. Это масштаб уменьшения.
Ответ: уменьшен.

б) 10 : 1
Здесь $10 > 1$, значит, 10 единиц на изображении соответствуют 1 реальной единице. Это масштаб увеличения.
Ответ: увеличен.

в) 1 : 20
Здесь $1 < 20$, значит, 1 единица на изображении соответствует 20 реальным единицам. Это масштаб уменьшения.
Ответ: уменьшен.

г) 4 : 1
Здесь $4 > 1$, значит, 4 единицы на изображении соответствуют 1 реальной единице. Это масштаб увеличения.
Ответ: увеличен.

34. Определите, увеличен или уменьшен предмет, если он изображён в масштабе:

а) $1:100$;

б) $10:1$;

в) $1:20$;

г) $4:1$.

Масштаб показывает отношение размера изображения к размеру реального объекта. Масштаб записывается в виде отношения $a : b$, где $a$ – это размер на изображении, а $b$ – это реальный размер объекта.

Если первое число в отношении ($a$) меньше второго ($b$), то есть $a < b$, это означает, что изображение меньше реального объекта. В этом случае предмет уменьшен.

Если первое число в отношении ($a$) больше второго ($b$), то есть $a > b$, это означает, что изображение больше реального объекта. В этом случае предмет увеличен.

а) В масштабе $1 : 100$ первое число ($1$) меньше второго ($100$). Это значит, что 1 единица длины на изображении соответствует 100 таким же единицам в реальности. Следовательно, предмет уменьшен.
Ответ: предмет уменьшен.

б) В масштабе $10 : 1$ первое число ($10$) больше второго ($1$). Это значит, что 10 единиц длины на изображении соответствуют 1 такой же единице в реальности. Следовательно, предмет увеличен.
Ответ: предмет увеличен.

в) В масштабе $1 : 20$ первое число ($1$) меньше второго ($20$). Это значит, что 1 единица длины на изображении соответствует 20 таким же единицам в реальности. Следовательно, предмет уменьшен.
Ответ: предмет уменьшен.

г) В масштабе $4 : 1$ первое число ($4$) больше второго ($1$). Это значит, что 4 единицы длины на изображении соответствуют 1 такой же единице в реальности. Следовательно, предмет увеличен.
Ответ: предмет увеличен.

35. На материале других школьных предметов придумайте две задачи с использованием масштаба и решите их.

Задача 1 (География)

Расстояние между городами Москва и Санкт-Петербург на карте составляет 12,8 см. Найдите реальное расстояние между этими городами в километрах, если масштаб карты $1:5~000~000$.

Решение:
Масштаб $1:5~000~000$ означает, что 1 см на карте соответствует $5~000~000$ см в действительности.
1. Сначала найдем реальное расстояние в сантиметрах. Для этого умножим расстояние на карте на знаменатель масштаба:
$12,8 \text{ см} \times 5~000~000 = 64~000~000$ см.
2. Теперь переведем полученное расстояние из сантиметров в метры. Зная, что в 1 метре 100 сантиметров, разделим результат на 100:
$64~000~000 \text{ см} \div 100 = 640~000$ м.
3. Наконец, переведем метры в километры. В 1 километре 1000 метров, поэтому разделим результат на 1000:
$640~000 \text{ м} \div 1000 = 640$ км.
Таким образом, реальное расстояние между Москвой и Санкт-Петербургом составляет 640 км.

Ответ: 640 км.

Задача 2 (Биология)

На уроке биологии ученик рассматривал под микроскопом и зарисовал инфузорию-туфельку. Длина инфузории на рисунке составила 10 см. Определите реальный размер инфузории в миллиметрах и микрометрах, если рисунок был сделан с увеличением (масштабом) $500:1$.

Решение:
Масштаб $500:1$ (увеличение) показывает, что изображение в 500 раз больше реального объекта.
1. Чтобы найти реальный размер, нужно размер на рисунке разделить на коэффициент увеличения:
$10 \text{ см} \div 500 = 0,02$ см.
2. Переведем полученный размер в миллиметры. В 1 сантиметре 10 миллиметров:
$0,02 \text{ см} \times 10 = 0,2$ мм.
3. Теперь переведем миллиметры в микрометры (мкм). В 1 миллиметре 1000 микрометров:
$0,2 \text{ мм} \times 1000 = 200$ мкм.
Таким образом, реальный размер инфузории-туфельки составляет 0,2 мм или 200 мкм.

Ответ: 0,2 мм (или 200 мкм).