Страница 13 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

36. Разделите 900 р. в отношении:

a) $5 : 4$;

б) $2 : 3$.

а)

Чтобы разделить число 900 в отношении 5:4, необходимо выполнить следующие действия:

1. Найти общее количество частей. Для этого сложим числа в отношении: $5 + 4 = 9$ (частей).

2. Определить, какая сумма приходится на одну часть. Для этого общую сумму разделим на количество частей: $900 \text{ р.} \div 9 = 100 \text{ р.}$

3. Рассчитать каждую из искомых сумм, умножив стоимость одной части на соответствующее количество частей: Первая сумма: $5 \times 100 \text{ р.} = 500 \text{ р.}$ Вторая сумма: $4 \times 100 \text{ р.} = 400 \text{ р.}$

Проверка: $500 + 400 = 900$.

Ответ: 500 р. и 400 р.

б)

Чтобы разделить число 900 в отношении 2:3, необходимо выполнить следующие действия:

1. Найти общее количество частей. Для этого сложим числа в отношении: $2 + 3 = 5$ (частей).

2. Определить, какая сумма приходится на одну часть. Для этого общую сумму разделим на количество частей: $900 \text{ р.} \div 5 = 180 \text{ р.}$

3. Рассчитать каждую из искомых сумм, умножив стоимость одной части на соответствующее количество частей: Первая сумма: $2 \times 180 \text{ р.} = 360 \text{ р.}$ Вторая сумма: $3 \times 180 \text{ р.} = 540 \text{ р.}$

Проверка: $360 + 540 = 900$.

Ответ: 360 р. и 540 р.

37. Разделите число:

а) 12 в отношении $1 : 3$;

б) 15 в отношении $2 : 3$;

в) 48 в отношении $\frac{1}{3} : \frac{1}{5}$;

г) 100 в отношении $\frac{1}{2} : \frac{1}{3}$.

а) Чтобы разделить число в заданном отношении, сначала нужно определить общее количество частей. В отношении 1:3 общее количество частей равно сумме его членов: $1 + 3 = 4$.
Далее, разделим исходное число на общее количество частей, чтобы найти величину одной части: $12 \div 4 = 3$.
Теперь умножим величину одной части на каждый член отношения, чтобы найти искомые числа:
Первое число: $1 \times 3 = 3$.
Второе число: $3 \times 3 = 9$.
Проверим: $3 + 9 = 12$.
Ответ: 3 и 9.

б) Для отношения 2:3 общее количество частей составляет $2 + 3 = 5$.
Найдем величину одной части, разделив число 15 на 5: $15 \div 5 = 3$.
Вычислим искомые числа:
Первое число: $2 \times 3 = 6$.
Второе число: $3 \times 3 = 9$.
Проверим: $6 + 9 = 15$.
Ответ: 6 и 9.

в) Чтобы разделить число в отношении дробей $\frac{1}{3} : \frac{1}{5}$, сначала упростим это отношение, приведя его к отношению целых чисел. Для этого умножим обе части отношения на их наименьшее общее кратное, которое для знаменателей 3 и 5 равно 15.
$\frac{1}{3} \times 15 = 5$
$\frac{1}{5} \times 15 = 3$
Таким образом, отношение $\frac{1}{3} : \frac{1}{5}$ эквивалентно отношению $5:3$.
Теперь разделим число 48 в отношении 5:3. Общее количество частей: $5 + 3 = 8$.
Величина одной части: $48 \div 8 = 6$.
Искомые числа:
Первое число: $5 \times 6 = 30$.
Второе число: $3 \times 6 = 18$.
Проверим: $30 + 18 = 48$.
Ответ: 30 и 18.

г) Разделим число 100 в отношении $\frac{1}{2} : \frac{1}{3}$. Сначала преобразуем дробное отношение в целочисленное. Наименьшее общее кратное знаменателей 2 и 3 равно 6. Умножим обе части отношения на 6:
$\frac{1}{2} \times 6 = 3$
$\frac{1}{3} \times 6 = 2$
Получаем эквивалентное отношение $3:2$.
Теперь разделим число 100 в этом отношении. Общее количество частей: $3 + 2 = 5$.
Величина одной части: $100 \div 5 = 20$.
Искомые числа:
Первое число: $3 \times 20 = 60$.
Второе число: $2 \times 20 = 40$.
Проверим: $60 + 40 = 100$.
Ответ: 60 и 40.

38. Объясните, как разделить число 24 в отношении $1:2:3$.

Чтобы разделить число 24 в отношении 1 : 2 : 3, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти общее количество частей.

Отношение 1 : 2 : 3 показывает, что целое состоит из частей, пропорциональных этим числам. Чтобы найти общее количество таких условных частей, нужно сложить числа в отношении:

$1 + 2 + 3 = 6$

Таким образом, число 24 состоит из 6 равных частей.

2. Определить величину одной части.

Теперь разделим исходное число на общее количество частей, чтобы найти, чему равна одна часть:

$24 / 6 = 4$

Следовательно, одна часть составляет 4.

3. Вычислить каждую из искомых частей.

Чтобы найти каждую из трех искомых величин, нужно умножить значение одной части (4) на соответствующее число из отношения:

• Первая часть: $1 × 4 = 4$
• Вторая часть: $2 × 4 = 8$
• Третья часть: $3 × 4 = 12$

4. Проверка.

Для проверки сложим полученные части. Их сумма должна быть равна исходному числу:

$4 + 8 + 12 = 24$

Сумма верна, значит, деление выполнено правильно.

Ответ: Число 24, разделенное в отношении 1 : 2 : 3, раскладывается на числа 4, 8 и 12.

39. Первая машинистка печатает 10 страниц в час, вторая — 8 страниц в час. Как разделить между ними рукопись в 90 страниц, чтобы они закончили работу одновременно?

Для того чтобы обе машинистки закончили работу одновременно, объем работы для каждой из них должен быть пропорционален их скорости печати. Решим задачу по шагам.

1. Нахождение общей скорости работы

Сначала найдем, сколько страниц обе машинистки печатают вместе за один час. Это их общая производительность.

Скорость первой машинистки: $V_1 = 10$ страниц/час.

Скорость второй машинистки: $V_2 = 8$ страниц/час.

Общая скорость: $V_{общ} = V_1 + V_2 = 10 + 8 = 18$ страниц/час.

Ответ: общая скорость работы двух машинисток составляет 18 страниц в час.

2. Нахождение общего времени работы

Теперь определим, сколько времени потребуется двум машинисткам, чтобы напечатать всю рукопись, работая вместе. Так как они должны закончить одновременно, это и будет время работы для каждой из них.

Общий объем рукописи: $W_{общ} = 90$ страниц.

Время выполнения работы: $t = \frac{W_{общ}}{V_{общ}} = \frac{90}{18} = 5$ часов.

Ответ: на выполнение всей работы потребуется 5 часов.

3. Распределение страниц между машинистками

Зная, что каждая машинистка будет работать 5 часов, мы можем рассчитать, какой объем рукописи должна получить каждая из них. Для этого умножим индивидуальную скорость каждой машинистки на общее время работы.

Количество страниц для первой машинистки:

$W_1 = V_1 \times t = 10 \frac{\text{страниц}}{\text{час}} \times 5 \text{ часов} = 50$ страниц.

Количество страниц для второй машинистки:

$W_2 = V_2 \times t = 8 \frac{\text{страниц}}{\text{час}} \times 5 \text{ часов} = 40$ страниц.

Проверим результат: $50 + 40 = 90$ страниц, что соответствует общему объему рукописи.

Ответ: первой машинистке нужно отдать 50 страниц рукописи, а второй — 40 страниц.

40. Чтобы приготовить стекло, берут 10 частей поташу, 31 часть песку и 2 части мелу. Сколько нужно этих материалов на 86 пудов стекла?

Для решения этой задачи необходимо сначала определить общее количество частей, из которых состоит стекло. Согласно условию, на его изготовление берут 10 частей поташа, 31 часть песка и 2 части мела. Найдем сумму всех частей:

$10 + 31 + 2 = 43$ (части)

Следовательно, 86 пудов готового стекла состоят из 43 равных по массе частей. Теперь можно вычислить, сколько пудов весит одна такая часть. Для этого разделим общую массу стекла на общее количество частей:

$86 \text{ пудов} \div 43 \text{ части} = 2$ (пуда)

Итак, масса одной части составляет 2 пуда. Зная это, мы можем рассчитать необходимое количество каждого компонента.

Поташ:

Требуется 10 частей поташа. Умножим количество частей на массу одной части:

$10 \times 2 = 20$ (пудов)

Ответ: необходимо 20 пудов поташа.

Песок:

Требуется 31 часть песка. Умножим количество частей на массу одной части:

$31 \times 2 = 62$ (пуда)

Ответ: необходимо 62 пуда песка.

Мел:

Требуется 2 части мела. Умножим количество частей на массу одной части:

$2 \times 2 = 4$ (пуда)

Ответ: необходимо 4 пуда мела.