Номер 44, страница 14 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

1.3. Деление числа в данном отношении. Глава 1. Отношения, пропорции, проценты - номер 44, страница 14.

Условие.

44. Из «Арифметики» А. П. Киселёва.

а) Разделить 84 на три части пропорционально числам 7, 5 и 2.

б) Разделить 125 на такие 4 части, чтобы первая часть относилась ко второй как $2 : 3$, вторая к третьей как $3 : 5$, а третья к четвёртой как $5 : 6$.

в) Разделить 125 на такие части, чтобы первая часть относилась ко второй как $2 : 3$, вторая к третьей как $4 : 5$, а третья к четвёртой как $6 : 11$.

г) Три купца составили товарищество для ведения некоторого торгового дела. Первый купец внёс для этой цели 15 000 р., второй — 10 000 р., третий — 12 500 р. По окончании торгового дела они получили общей прибыли 7500 р. Спрашивается, сколько из этой прибыли придётся получить каждому купцу.

д) На железной дороге работало 3 артели; в первой было 27 рабочих, во второй — 32, в третьей — 15; первая работала 20 дней, вторая — 18, третья — 16; все три артели получили за работу 4068 р. Сколько придётся получить каждой артели?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

а)

Чтобы разделить число 84 на три части, пропорциональные числам 7, 5 и 2, нужно сначала найти сумму этих чисел (долей).

Сумма долей: $7 + 5 + 2 = 14$.

Теперь найдём, сколько приходится на одну долю. Для этого разделим общее число 84 на сумму долей:

$84 / 14 = 6$.

Теперь умножим значение одной доли на каждое из пропорциональных чисел, чтобы найти каждую из трёх частей:

• Первая часть: $7 \times 6 = 42$
• Вторая часть: $5 \times 6 = 30$
• Третья часть: $2 \times 6 = 12$

Проверка: $42 + 30 + 12 = 84$.

Ответ: 42, 30 и 12.

б)

Нужно разделить 125 на 4 части. Обозначим их как $x_1, x_2, x_3, x_4$. Из условия имеем следующие отношения:

$x_1 : x_2 = 2 : 3$
$x_2 : x_3 = 3 : 5$
$x_3 : x_4 = 5 : 6$

Так как общие члены в отношениях уже равны (вторая часть в первом и втором отношении равна 3, а третья часть во втором и третьем отношении равна 5), мы можем составить общую пропорцию:

$x_1 : x_2 : x_3 : x_4 = 2 : 3 : 5 : 6$

Сумма долей: $2 + 3 + 5 + 6 = 16$.

Найдём значение одной доли, разделив 125 на 16:

$125 / 16 = 7.8125$.

Теперь найдём каждую часть:

• Первая часть: $2 \times 7.8125 = 15.625$
• Вторая часть: $3 \times 7.8125 = 23.4375$
• Третья часть: $5 \times 7.8125 = 39.0625$
• Четвёртая часть: $6 \times 7.8125 = 46.875$

Проверка: $15.625 + 23.4375 + 39.0625 + 46.875 = 125$.

Ответ: 15,625; 23,4375; 39,0625; 46,875.

в)

Обозначим части как $x_1, x_2, x_3, x_4$. Даны отношения:

$x_1 : x_2 = 2 : 3$
$x_2 : x_3 = 4 : 5$
$x_3 : x_4 = 6 : 11$

Чтобы найти общую пропорцию, нужно привести отношения к общим членам.

1. Совместим первые два отношения $x_1 : x_2 = 2 : 3$ и $x_2 : x_3 = 4 : 5$. Общий член $x_2$ представлен числами 3 и 4. Наименьшее общее кратное для 3 и 4 равно 12. Домножим первое отношение на 4, а второе на 3:

$x_1 : x_2 = (2 \times 4) : (3 \times 4) = 8 : 12$
$x_2 : x_3 = (4 \times 3) : (5 \times 3) = 12 : 15$

Теперь имеем $x_1 : x_2 : x_3 = 8 : 12 : 15$.

2. Теперь совместим полученное отношение с третьим: $x_1 : x_2 : x_3 = 8 : 12 : 15$ и $x_3 : x_4 = 6 : 11$. Общий член $x_3$ представлен числами 15 и 6. Наименьшее общее кратное для 15 и 6 равно 30. Домножим первое отношение на 2, а второе на 5:

$x_1 : x_2 : x_3 = (8 \times 2) : (12 \times 2) : (15 \times 2) = 16 : 24 : 30$
$x_3 : x_4 = (6 \times 5) : (11 \times 5) = 30 : 55$

Итоговая общая пропорция: $x_1 : x_2 : x_3 : x_4 = 16 : 24 : 30 : 55$.

Сумма долей: $16 + 24 + 30 + 55 = 125$.

Значение одной доли: $125 / 125 = 1$.

Следовательно, части равны самим долям: 16, 24, 30 и 55.

Проверка: $16 + 24 + 30 + 55 = 125$.

Ответ: 16, 24, 30 и 55.

г)

Прибыль в 7500 р. нужно разделить между тремя купцами пропорционально их вкладам: 15 000 р., 10 000 р. и 12 500 р.

Составим отношение вкладов: $15000 : 10000 : 12500$.

Для удобства упростим это отношение, разделив все его члены на их наибольший общий делитель. Сначала разделим на 100: $150 : 100 : 125$. Теперь разделим на 25:

$150 / 25 = 6$
$100 / 25 = 4$
$125 / 25 = 5$

Упрощенное отношение вкладов: $6 : 4 : 5$.

Сумма долей: $6 + 4 + 5 = 15$.

Найдём, какая часть прибыли приходится на одну долю:

$7500 / 15 = 500$ р.

Теперь рассчитаем прибыль каждого купца:

• Прибыль первого купца: $6 \times 500 = 3000$ р.
• Прибыль второго купца: $4 \times 500 = 2000$ р.
• Прибыль третьего купца: $5 \times 500 = 2500$ р.

Проверка: $3000 + 2000 + 2500 = 7500$ р.

Ответ: первый купец получит 3000 р., второй — 2000 р., третий — 2500 р.

д)

Общую плату 4068 р. нужно разделить между тремя артелями пропорционально объёму выполненной ими работы. Объём работы можно измерить в человеко-днях (произведение числа рабочих на количество дней работы).

Рассчитаем количество человеко-дней для каждой артели:

• Первая артель: $27 \text{ рабочих} \times 20 \text{ дней} = 540$ человеко-дней
• Вторая артель: $32 \text{ рабочих} \times 18 \text{ дней} = 576$ человеко-дней
• Третья артель: $15 \text{ рабочих} \times 16 \text{ дней} = 240$ человеко-дней

Теперь нужно разделить общую плату 4068 р. пропорционально числам 540, 576 и 240.

Найдём общее количество человеко-дней (общую сумму долей):

$540 + 576 + 240 = 1356$ человеко-дней.

Определим стоимость одного человеко-дня:

$4068 / 1356 = 3$ р. за один человеко-день.

Теперь рассчитаем, сколько получит каждая артель:

• Первая артель: $540 \times 3 = 1620$ р.
• Вторая артель: $576 \times 3 = 1728$ р.
• Третья артель: $240 \times 3 = 720$ р.

Проверка: $1620 + 1728 + 720 = 4068$ р.

Ответ: первая артель получит 1620 р., вторая — 1728 р., третья — 720 р.