Страница 20 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

62. Какие величины называют:

а) прямо пропорциональными;

б) обратно пропорциональными?

Приведите примеры.

а) прямо пропорциональными

Две величины называют прямо пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз, другая величина увеличивается (или уменьшается) во столько же раз. Отношение соответствующих значений таких величин является постоянным числом.

Если величина y прямо пропорциональна величине x, то их зависимость выражается формулой $y = kx$, где $k$ — постоянный коэффициент пропорциональности ($k \neq 0$). Из этой формулы следует, что отношение величин постоянно: $\frac{y}{x} = k$.

Пример: Стоимость покупки и количество товара при фиксированной цене. Если цена одного карандаша 10 рублей, то стоимость ($C$) прямо пропорциональна количеству купленных карандашей ($n$). Формула зависимости: $C = 10n$. Если купить 3 карандаша, стоимость составит 30 рублей. Если увеличить количество в 2 раза и купить 6 карандашей, то и стоимость увеличится в 2 раза и составит 60 рублей.

Ответ: Прямо пропорциональными называют такие две величины, для которых при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз, другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз.

б) обратно пропорциональными

Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз, другая величина уменьшается (или увеличивается) во столько же раз. Произведение соответствующих значений таких величин является постоянным числом.

Если величина y обратно пропорциональна величине x, то их зависимость выражается формулой $y = \frac{k}{x}$ или, что то же самое, $xy = k$, где $k$ — постоянный коэффициент пропорциональности ($k \neq 0$).

Пример: Скорость движения и время, затраченное на преодоление одного и того же расстояния. Пусть расстояние, которое нужно проехать, составляет 180 км. Скорость ($v$) и время ($t$) будут обратно пропорциональными величинами. Зависимость выражается формулой $v \cdot t = 180$. Если ехать со скоростью 60 км/ч, путь займет 3 часа. Если увеличить скорость в 1.5 раза до 90 км/ч, то время в пути уменьшится в 1.5 раза и составит 2 часа.

Ответ: Обратно пропорциональными называют такие две величины, для которых при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз, другая уменьшается (увеличивается) во столько же раз.

63. За несколько одинаковых карандашей заплатили 8 р. Сколько нужно заплатить за такие же карандаши, если их:

а) в 2 раза больше;

б) в 2 раза меньше?

а) в 2 раза больше;
Поскольку стоимость покупки прямо пропорциональна количеству одинаковых карандашей, то при увеличении количества карандашей в 2 раза, общая стоимость также увеличится в 2 раза. Исходная стоимость составляет 8 рублей.
Для нахождения новой стоимости необходимо исходную стоимость умножить на 2:
$8 \times 2 = 16$ (р.)
Ответ: 16 рублей.

б) в 2 раза меньше?
Аналогично, если количество карандашей уменьшится в 2 раза, то и общая стоимость покупки уменьшится в 2 раза. Исходная стоимость — 8 рублей.
Для нахождения новой стоимости необходимо исходную стоимость разделить на 2:
$8 \div 2 = 4$ (р.)
Ответ: 4 рубля.

64. За несколько одинаковых карандашей заплатили 8 р. Сколько нужно заплатить за такое же количество карандашей, каждый из которых:

а) в 2 раза дороже;

б) в 2 раза дешевле?

а) в 2 раза дороже;
Если каждый карандаш стоит в 2 раза дороже, а количество карандашей не изменилось, то и общая стоимость покупки будет в 2 раза больше. Чтобы найти новую стоимость, нужно первоначальную стоимость умножить на 2.
$8 \cdot 2 = 16$ (р.)
Ответ: 16 рублей.

б) в 2 раза дешевле?
Если каждый карандаш стоит в 2 раза дешевле, а количество карандашей не изменилось, то и общая стоимость покупки будет в 2 раза меньше. Чтобы найти новую стоимость, нужно первоначальную стоимость разделить на 2.
$8 : 2 = 4$ (р.)
Ответ: 4 рубля.

65. На имеющиеся деньги можно купить 30 карандашей.

а) Сколько тетрадей можно купить на те же деньги, если тетрадь дешевле карандаша в 2 раза?

б) Сколько ручек можно купить на те же деньги, если ручка дороже карандаша в 10 раз?

а) Это задача на обратную пропорциональность: чем ниже цена товара, тем большее его количество можно купить на ту же сумму денег.
Поскольку тетрадь в 2 раза дешевле карандаша, то на те же деньги их можно купить в 2 раза больше.
Выполним вычисление:
$30 \cdot 2 = 60$ (тетрадей).
Ответ: 60 тетрадей.

б) Здесь также обратная пропорциональность: чем выше цена товара, тем меньшее его количество можно купить.
Поскольку ручка в 10 раз дороже карандаша, то на те же деньги их можно купить в 10 раз меньше.
Выполним вычисление:
$30 : 10 = 3$ (ручки).
Ответ: 3 ручки.

66. Велосипедист за несколько часов проехал 36 км.

а) Сколько километров пройдёт за то же время пешеход, скорость которого в 3 раза меньше скорости велосипедиста?

б) Сколько километров проедет за то же время мотоциклист, скорость которого в 5 раз больше скорости велосипедиста?

а)

Поскольку время движения пешехода и велосипедиста одинаково, а скорость пешехода в 3 раза меньше, то и расстояние, которое он пройдёт, будет в 3 раза меньше расстояния, которое проехал велосипедист. Расстояние прямо пропорционально скорости при постоянном времени движения ($S = v \cdot t$).

Велосипедист проехал 36 км. Найдём расстояние, которое пройдёт пешеход:

$36 \div 3 = 12$ (км)

Ответ: пешеход пройдёт 12 км.

б)

Аналогично, время движения мотоциклиста и велосипедиста одинаково. Скорость мотоциклиста в 5 раз больше скорости велосипедиста, следовательно, за то же самое время он проедет расстояние в 5 раз больше.

Велосипедист проехал 36 км. Найдём расстояние, которое проедет мотоциклист:

$36 \times 5 = 180$ (км)

Ответ: мотоциклист проедет 180 км.

67. Расстояние от села до города велосипедист проехал за 3 ч.

а) За сколько часов это расстояние пройдёт пешеход, скорость которого в 3 раза меньше скорости велосипедиста?

б) За сколько часов это расстояние проедет мотоциклист, скорость которого в 5 раз больше скорости велосипедиста?

а) Поскольку расстояние от села до города постоянно, время движения и скорость являются обратно пропорциональными величинами. Это означает, что если скорость уменьшается в определенное количество раз, то время, необходимое для преодоления того же расстояния, увеличивается во столько же раз.
Скорость пешехода в 3 раза меньше скорости велосипедиста, следовательно, времени ему потребуется в 3 раза больше.
$3 \text{ ч} \cdot 3 = 9 \text{ ч}$
Ответ: 9 часов.

б) Аналогично, скорость мотоциклиста в 5 раз больше скорости велосипедиста. Значит, времени на тот же путь ему потребуется в 5 раз меньше.
$3 \text{ ч} : 5 = \frac{3}{5} \text{ ч}$
Чтобы выразить это время в более привычных единицах, переведем его в минуты. В одном часе 60 минут.
$\frac{3}{5} \cdot 60 = \frac{180}{5} = 36 \text{ мин}$
Также можно представить ответ в виде десятичной дроби: $\frac{3}{5} \text{ ч} = 0,6 \text{ ч}$.
Ответ: 0,6 часа или 36 минут.

68. Какова зависимость между:

а) ценой карандаша и стоимостью нескольких таких карандашей при постоянном их количестве;

б) количеством карандашей одного сорта и их стоимостью при постоянной их цене;

в) количеством карандашей и их ценой при постоянной стоимости покупки?

а) Пусть $C$ — стоимость нескольких карандашей, $p$ — цена одного карандаша, а $n$ — их количество. По условию, количество карандашей $n$ является постоянной величиной. Зависимость между этими величинами выражается формулой: $C = p \cdot n$. Поскольку $n$ — постоянный множитель (коэффициент пропорциональности), то при увеличении цены $p$ в несколько раз, стоимость $C$ увеличится во столько же раз. Это прямая пропорциональная зависимость.
Ответ: прямая пропорциональная зависимость.

б) Пусть $C$ — стоимость карандашей, $n$ — их количество, а $p$ — цена одного карандаша. По условию, цена $p$ является постоянной величиной. Зависимость между стоимостью и количеством выражается той же формулой: $C = n \cdot p$. Так как цена $p$ постоянна, то при увеличении количества карандашей $n$ в несколько раз, общая стоимость $C$ увеличится во столько же раз. Это также прямая пропорциональная зависимость.
Ответ: прямая пропорциональная зависимость.

в) Пусть $n$ — количество карандашей, $p$ — их цена, а $C$ — постоянная стоимость покупки. Связь между этими величинами описывается формулой $C = p \cdot n$. Так как стоимость $C$ постоянна, мы можем выразить одну переменную через другую, например: $n = \frac{C}{p}$. Из этой формулы видно, что при увеличении цены $p$ в несколько раз, количество карандашей $n$, которое можно купить на ту же сумму, уменьшится во столько же раз. И наоборот, при уменьшении цены количество возможных для покупки карандашей увеличится. Это обратная пропорциональная зависимость.
Ответ: обратная пропорциональная зависимость.

69. Какова зависимость между:

а) скоростью и расстоянием при постоянном времени движения;

б) временем и расстоянием при постоянной скорости движения;

в) временем и скоростью при постоянном пути?

Для анализа зависимостей между скоростью, временем и расстоянием будем использовать основную формулу движения: $S = v \cdot t$, где $S$ — это расстояние (путь), $v$ — скорость, а $t$ — время.

а) скоростью и расстоянием при постоянном времени движения

Если время движения $t$ является постоянной величиной (константой), то формула $S = v \cdot t$ показывает прямую пропорциональную зависимость между расстоянием $S$ и скоростью $v$. Это означает, что во сколько раз увеличится или уменьшится скорость движения, во столько же раз увеличится или уменьшится пройденное расстояние за одно и то же время. Например, если увеличить скорость в 2 раза, то и расстояние, пройденное за это же время, увеличится в 2 раза. Математически это можно выразить как $S/v = t = \text{const}$.

Ответ: При постоянном времени движения зависимость между скоростью и расстоянием — прямая пропорциональность.

б) временем и расстоянием при постоянной скорости движения

Если скорость движения $v$ является постоянной величиной (константой), то формула $S = v \cdot t$ показывает прямую пропорциональную зависимость между расстоянием $S$ и временем $t$. Это означает, что во сколько раз увеличится или уменьшится время движения, во столько же раз увеличится или уменьшится пройденное расстояние при неизменной скорости. Например, если ехать в 3 раза дольше, то и расстояние будет пройдено в 3 раза больше. Математически это можно выразить как $S/t = v = \text{const}$.

Ответ: При постоянной скорости движения зависимость между временем и расстоянием — прямая пропорциональность.

в) временем и скоростью при постоянном пути

Если пройденный путь $S$ является постоянной величиной (константой), то из формулы $S = v \cdot t$ можно выразить зависимость времени от скорости: $t = S/v$. Эта формула показывает обратную пропорциональную зависимость между временем $t$ и скоростью $v$. Это означает, что для преодоления одного и того же расстояния, во сколько раз будет увеличена скорость, во столько же раз уменьшится время, затраченное на путь, и наоборот. Например, если увеличить скорость в 2 раза, то время на прохождение того же пути сократится в 2 раза. Математически это можно выразить как $v \cdot t = S = \text{const}$.

Ответ: При постоянном пути зависимость между временем и скоростью — обратная пропорциональность.