Страница 22 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

82. a) Грузовик со скоростью 60 км/ч проехал расстояние между городами за 8 ч. За сколько часов то же расстояние проедет легковой автомобиль со скоростью 80 км/ч?

б) Бригада из 4 человек может выполнить задание за 10 дней. За сколько дней выполнит такое же задание другая бригада из 5 человек, если все 9 человек работают одинаково хорошо?

а) Для решения этой задачи сначала необходимо найти расстояние между городами. Мы знаем, что грузовик ехал со скоростью 60 км/ч в течение 8 часов. Расстояние вычисляется по формуле $S = v \cdot t$, где $S$ - расстояние, $v$ - скорость, а $t$ - время.
$S = 60 \text{ км/ч} \cdot 8 \text{ ч} = 480 \text{ км}$.
Теперь, зная, что расстояние между городами составляет 480 км, мы можем найти время, которое потребуется легковому автомобилю со скоростью 80 км/ч, чтобы проехать это расстояние. Для этого воспользуемся той же формулой, выразив из нее время: $t = S / v$.
$t = \frac{480 \text{ км}}{80 \text{ км/ч}} = 6 \text{ ч}$.
Ответ: 6 часов.

б) Эта задача на обратную пропорциональность: чем больше людей работает, тем меньше времени требуется для выполнения того же объема работы.
Сначала вычислим общий объем работы в "человеко-днях". Если бригада из 4 человек выполняет задание за 10 дней, то общий объем работы составляет:
$W = 4 \text{ человека} \times 10 \text{ дней} = 40 \text{ человеко-дней}$.
Это означает, что для выполнения всего задания требуется 40 дней работы одного человека. Теперь найдем, за сколько дней этот же объем работы выполнит бригада из 5 человек. Для этого разделим общий объем работы на количество человек во второй бригаде:
$T = \frac{40 \text{ человеко-дней}}{5 \text{ человек}} = 8 \text{ дней}$.
Ответ: 8 дней.

83. Один килограмм металлолома заменяет $2\frac{1}{2}$ кг богатой железом руды. Сколько руды заменяют 4 т металлолома?

Для решения этой задачи необходимо сначала привести все единицы измерения к одной. В условии дано соотношение в килограммах (кг), а количество металлолома — в тоннах (т). Переведем тонны в килограммы. Мы знаем, что 1 тонна равна 1000 килограммов.

$4 \text{ т} = 4 \times 1000 \text{ кг} = 4000 \text{ кг}$

Теперь у нас есть 4000 кг металлолома. По условию, каждый килограмм металлолома заменяет $2\frac{1}{2}$ кг руды. Чтобы найти общее количество руды, которое заменят 4000 кг металлолома, нужно умножить массу металлолома на количество руды, заменяемое одним килограммом.

Представим смешанное число $2\frac{1}{2}$ в виде десятичной дроби для удобства вычислений:

$2\frac{1}{2} = 2.5$

Теперь выполним умножение:

$4000 \text{ кг} \times 2.5 = 10000 \text{ кг}$

Таким образом, 4 т металлолома заменяют 10000 кг руды. Результат можно перевести обратно в тонны:

$10000 \text{ кг} = \frac{10000}{1000} \text{ т} = 10 \text{ т}$

Ответ: 10 т руды.

84. a) Автомобилист заметил, что со скоростью $60 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$ он проехал мост через реку за $40 \text{ с}$. На обратном пути он проехал этот же мост за $30 \text{ с}$. Определите скорость автомобиля на обратном пути.

б) Автомобилист заметил, что со скоростью $60 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$ он проехал тоннель за $1 \text{ мин}$. За сколько минут он проехал бы этот тоннель со скоростью $50 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$?

а)Длина моста — это расстояние, которое проезжает автомобиль. Обозначим её как $s$. Скорость автомобиля на пути туда — $v_1 = 60$ км/ч, а время в пути — $t_1 = 40$ с. На обратном пути время составило $t_2 = 30$ с, а скорость — $v_2$, которую нам нужно найти.
Поскольку расстояние (длина моста) в обоих случаях одинаково, мы можем приравнять произведения скорости на время для обоих случаев, используя формулу $s = v \cdot t$:
$v_1 \cdot t_1 = v_2 \cdot t_2$
Из этого уравнения выразим искомую скорость $v_2$:
$v_2 = \frac{v_1 \cdot t_1}{t_2}$
Подставим известные значения. Так как мы делим время на время ($t_1/t_2$), их единицы измерения (секунды) сократятся, и нам не нужно переводить их в часы.
$v_2 = 60 \text{ км/ч} \cdot \frac{40 \text{ с}}{30 \text{ с}} = 60 \cdot \frac{4}{3} = 20 \cdot 4 = 80$ км/ч.
Ответ: 80 км/ч.

б)Длина тоннеля $s$ — постоянная величина. Начальная скорость автомобиля $v_1 = 60$ км/ч, а время проезда тоннеля — $t_1 = 1$ мин. Новая скорость равна $v_2 = 50$ км/ч, а искомое время — $t_2$.
Так же как и в предыдущей задаче, расстояние, пройденное в обоих случаях, одинаково:
$s = v_1 \cdot t_1 = v_2 \cdot t_2$
Выразим из этого уравнения искомое время $t_2$:
$t_2 = \frac{v_1 \cdot t_1}{v_2} = t_1 \cdot \frac{v_1}{v_2}$
Подставим известные значения. Единицы измерения скорости (км/ч) сокращаются, и результат для времени получится в тех же единицах, в которых было дано начальное время, то есть в минутах.
$t_2 = 1 \text{ мин} \cdot \frac{60 \text{ км/ч}}{50 \text{ км/ч}} = 1 \cdot \frac{6}{5} = 1,2$ мин.
Ответ: 1,2 мин.

85. Две шестерёнки сцеплены зубьями. Первая, имеющая 60 зубьев, за минуту делает 50 оборотов. Сколько оборотов за минуту делает вторая, имеющая 40 зубьев?

Для решения этой задачи нужно исходить из того, что при сцеплении двух шестерёнок количество зубьев, проходящих через точку их контакта за определённый промежуток времени, одинаково для обеих.

Сначала вычислим, сколько всего зубьев первой шестерёнки проходит через точку сцепления за одну минуту. Для этого умножим количество зубьев на этой шестерёнке на число её оборотов в минуту:
$60 \text{ зубьев} \times 50 \text{ об/мин} = 3000 \text{ зубьев в минуту}$.

Так как вторая шестерёнка сцеплена с первой, она также должна пропустить через точку контакта 3000 зубьев за минуту. Чтобы найти, сколько оборотов за минуту сделает вторая шестерёнка, разделим это общее количество зубьев на количество зубьев на второй шестерёнке:
$3000 \text{ зубьев в минуту} \div 40 \text{ зубьев} = 75 \text{ об/мин}$.

Таким образом, вторая шестерёнка совершит 75 оборотов за минуту.

Ответ: 75 оборотов.

86. За одно и то же время токарь делает 6 деталей, а его ученик — 4 детали.

a) Сколько деталей сделает ученик токаря за то же время, за которое токарь сделает 27 деталей?

б) Сколько времени потратит ученик токаря на задание, которое токарь выполняет за 1 ч?

а) Сначала определим соотношение производительности ученика и токаря. За одно и то же время токарь делает 6 деталей, а ученик — 4. Это значит, что на каждую деталь, сделанную токарем, приходится $4/6$ детали, сделанной учеником. Сократим эту дробь:
$\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
Таким образом, производительность ученика составляет $2/3$ от производительности токаря.
Чтобы найти, сколько деталей сделает ученик за то же время, за которое токарь сделает 27 деталей, нужно умножить количество деталей токаря на это соотношение:
$27 \cdot \frac{2}{3} = 9 \cdot 2 = 18$ (деталей).
Ответ: 18 деталей.

б) Определим, во сколько раз производительность токаря выше производительности ученика. Для этого разделим количество деталей, которое делает токарь, на количество деталей ученика за одно и то же время:
$\frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1.5$
Это означает, что токарь работает в 1.5 раза быстрее, чем его ученик. Следовательно, на выполнение одного и того же задания ученику потребуется в 1.5 раза больше времени, чем токарю.
Если токарь выполняет задание за 1 час, то ученику потребуется:
$1 \text{ час} \cdot 1.5 = 1.5$ часа.
$1.5$ часа — это 1 час и 30 минут.
Ответ: 1.5 часа (или 1 час 30 минут).

87. За одно и то же время пешеход прошёл 6 км, а велосипедист проехал 18 км.

а) Сколько километров проехал велосипедист за то же время, за которое пешеход прошёл 10 км?

б) Сколько времени потратил велосипедист на тот путь, который пешеход прошёл за 2 ч?

а) Для решения задачи сначала найдем, во сколько раз скорость велосипедиста больше скорости пешехода. Так как они двигались одно и то же время, отношение их скоростей будет равно отношению пройденных ими расстояний.

$18 \text{ км} \div 6 \text{ км} = 3$

Это означает, что скорость велосипедиста в 3 раза больше скорости пешехода. Следовательно, за одинаковое время велосипедист проедет в 3 раза большее расстояние. Если пешеход прошёл 10 км, то велосипедист за то же время проехал:

$10 \text{ км} \times 3 = 30 \text{ км}$

Ответ: 30 км.

б) Как мы выяснили ранее, велосипедист движется в 3 раза быстрее пешехода. Это означает, что на преодоление одного и того же расстояния ему потребуется в 3 раза меньше времени.

Если пешеход прошёл некоторый путь за 2 часа, то велосипедист проедет этот же путь за время:

$2 \text{ ч} \div 3 = \frac{2}{3} \text{ ч}$

Чтобы выразить это время в более привычных единицах, переведем его в минуты. В одном часе 60 минут, поэтому:

$\frac{2}{3} \times 60 \text{ минут} = 40 \text{ минут}$

Ответ: 40 минут.

88. Некоторую работу 6 человек сделают за 18 дней. За сколько дней сделают ту же работу 9 человек, работающих так же успешно, как и первые?

Это задача на обратную пропорциональность, так как чем больше людей выполняют работу, тем меньше времени им на это потребуется (при условии, что производительность каждого человека одинакова).

1. Сначала определим общий объем работы. Он измеряется в "человеко-днях" и равен произведению количества человек на количество дней, затраченных на работу.

$6 \text{ человек} \times 18 \text{ дней} = 108 \text{ человеко-дней}$

Таким образом, для выполнения всей работы требуется 108 человеко-дней.

2. Теперь, чтобы найти, за сколько дней эту же работу выполнят 9 человек, нужно общий объем работы разделить на новое количество человек.

$108 \text{ человеко-дней} \div 9 \text{ человек} = 12 \text{ дней}$

Следовательно, 9 человек сделают ту же работу за 12 дней.

Альтернативный способ (через пропорцию):

Составим пропорцию. Пусть $x$ — искомое количество дней. Поскольку зависимость между количеством человек и временем обратная, пропорция будет выглядеть так:

$6 \text{ человек} \rightarrow 18 \text{ дней}$
$9 \text{ человек} \rightarrow x \text{ дней}$

Для обратной пропорции составляем уравнение: $6 \times 18 = 9 \times x$

$108 = 9x$

$x = \frac{108}{9}$

$x = 12$

Ответ: 12 дней.

89. а) Шесть маляров выполнят работу за 5 дней. Сколько ещё маляров надо пригласить, чтобы все вместе они выполнили то же задание за 3 дня?

б) Двое рабочих могли выполнить задание за 10 дней. Сколько ещё рабочих надо пригласить, чтобы все вместе они выполнили то же задание за 4 дня?

а)

Это задача на обратную пропорциональность. Объем работы постоянен, а количество работников и время выполнения обратно пропорциональны: чем больше работников, тем меньше времени требуется.
1. Сначала найдем общий объем работы, который измеряется в "человеко-днях" (в данном случае "маляро-днях"). Для этого умножим количество маляров на количество дней:
$6 \text{ маляров} \times 5 \text{ дней} = 30 \text{ маляро-дней}$
Это означает, что для выполнения всей работы требуется 30 "маляро-дней".
2. Теперь рассчитаем, сколько маляров (обозначим их количество как $x$) потребуется, чтобы выполнить эту же работу за 3 дня:
$x \times 3 \text{ дня} = 30 \text{ маляро-дней}$
Чтобы найти $x$, разделим общий объем работы на новое количество дней:
$x = \frac{30}{3} = 10 \text{ маляров}$
Таким образом, для выполнения задания за 3 дня необходимо 10 маляров.
3. В задаче спрашивается, сколько ещё маляров надо пригласить. Изначально было 6 маляров, а нужно 10. Найдем разницу:
$10 - 6 = 4 \text{ маляра}$
Ответ: надо пригласить еще 4 маляров.

б)

Эта задача также решается с помощью обратной пропорциональности.
1. Найдем общий объем работы в "человеко-днях":
$2 \text{ рабочих} \times 10 \text{ дней} = 20 \text{ человеко-дней}$
2. Теперь определим, сколько рабочих (обозначим их количество как $y$) потребуется, чтобы выполнить работу за 4 дня:
$y \times 4 \text{ дня} = 20 \text{ человеко-дней}$
$y = \frac{20}{4} = 5 \text{ рабочих}$
Следовательно, для выполнения работы за 4 дня нужно 5 рабочих.
3. Изначально было 2 рабочих. Чтобы узнать, сколько еще нужно пригласить, вычтем из необходимого количества рабочих имеющееся:
$5 - 2 = 3 \text{ рабочих}$
Ответ: надо пригласить еще 3 рабочих.