Страница 27 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

108. Папа потратил 2000 р. на подарки маме и нам — детям. На подарок маме он потратил $40\%$ этой суммы, мне и моей сестре по $30\%$. Все ли деньги потратил папа? Нет ли в задаче лишних данных?

Все ли деньги потратил папа?
Чтобы определить, все ли деньги были потрачены, нужно найти, какой процент от общей суммы составили все расходы. Сложим проценты, потраченные на каждый подарок:
На подарок маме — 40 %.
На подарок мне — 30 %.
На подарок сестре — 30 %.
Общий процент трат: $40\% + 30\% + 30\% = 100\%$.
Поскольку папа потратил 100 % от всей суммы, это означает, что он потратил все деньги.
Можно также проверить это, вычислив траты в рублях:
1. Сумма на подарок маме: $2000 \cdot \frac{40}{100} = 800$ рублей.
2. Сумма на подарок мне: $2000 \cdot \frac{30}{100} = 600$ рублей.
3. Сумма на подарок сестре: $2000 \cdot \frac{30}{100} = 600$ рублей.
Общая сумма трат: $800 + 600 + 600 = 2000$ рублей.
Эта сумма совпадает с начальной, следовательно, папа потратил все деньги.
Ответ: Да, папа потратил все деньги.

Нет ли в задаче лишних данных?
Для ответа на первый вопрос («Все ли деньги потратил папа?») было достаточно сложить проценты ($40\% + 30\% + 30\% = 100\%$) и убедиться, что их сумма равна 100 %. Знать точную сумму в 2000 рублей для этого было не обязательно. Таким образом, эта информация является избыточной (лишней) для ответа на основной вопрос задачи.
Ответ: Да, в задаче есть лишние данные — общая сумма денег 2000 р.

109. а) $25 \, \%$ учащихся класса соревновались в прыжках в высоту, ещё $75 \, \%$ — в прыжках в длину. Все ли учащиеся класса участвовали в соревнованиях?

б) Туристы проехали $80 \, \%$ намеченного маршрута на поезде и $15 \, \%$ — на автобусе. Весь ли маршрут они уже проехали?

в) Маша потратила $70 \, \%$ имевшихся у неё денег на книги и $30 \, \%$ — на тетради. Все ли деньги потратила Маша?

а) Чтобы определить, все ли учащиеся класса участвовали в соревнованиях, необходимо сложить проценты учащихся, принявших участие в каждом из видов состязаний. 25% учащихся соревновались в прыжках в высоту, и 75% — в прыжках в длину.
Найдем общую сумму процентов:
$25\% + 75\% = 100\%$
Так как сумма процентов равна 100%, это означает, что все учащиеся класса приняли участие в соревнованиях. (Это верно в предположении, что ни один ученик не участвовал в двух видах соревнований одновременно. Если бы были ученики, участвовавшие в обоих видах, то общее число уникальных участников было бы меньше 100%).
Ответ: да, все учащиеся класса участвовали в соревнованиях.

б) Чтобы выяснить, весь ли маршрут проехали туристы, нужно сложить проценты пути, пройденные на разных видах транспорта. 80% маршрута туристы проехали на поезде и 15% — на автобусе.
Найдем, какую часть маршрута они уже преодолели:
$80\% + 15\% = 95\%$
Поскольку $95\%$ меньше, чем $100\%$, туристы еще не проехали весь намеченный маршрут. Им осталось проехать $100\% - 95\% = 5\%$ пути.
Ответ: нет, они проехали еще не весь маршрут.

в) Чтобы узнать, все ли деньги потратила Маша, сложим проценты денег, потраченных на книги и тетради. 70% денег Маша потратила на книги и 30% — на тетради.
Найдем общую сумму потраченных процентов:
$70\% + 30\% = 100\%$
Сумма составляет 100%, что означает, что Маша потратила все имевшиеся у нее деньги.
Ответ: да, Маша потратила все деньги.

110. Учительница сказала: «С контрольной работой справились $100\%$ учащихся нашего класса». Как это понимать?

Фраза учительницы «С контрольной работой справились $100 \%$ учащихся нашего класса» означает, что абсолютно все ученики, которые писали контрольную работу, успешно с ней справились.

Понятие «процент» используется для обозначения доли от целого. $100 \%$ всегда означают всё целое, то есть всю группу без исключения. В данном контексте «целое» — это все учащиеся класса.

Таким образом, утверждение учительницы нужно понимать так: каждый ученик, писавший контрольную, получил положительную (то есть не «двойку») оценку. В классе нет ни одного ученика, который бы не справился с заданием.

Ответ: Это означает, что все без исключения ученики класса успешно написали контрольную работу и получили положительные оценки.

111. a) Потратили $80 \%$ суммы. Сколько процентов этой суммы осталось? б) Мужчины составляют $75 \%$ всех работников завода. Сколько процентов всех работников составляют женщины? в) Девочки составляют $40 \%$ класса. Сколько процентов класса составляют мальчики?

а)

Вся сумма принимается за 100%. Если потратили 80% от этой суммы, то чтобы найти оставшуюся часть в процентах, необходимо из 100% вычесть потраченные 80%.
$100\% - 80\% = 20\%$
Ответ: осталось 20% суммы.

б)

Все работники завода составляют 100%. Мужчины составляют 75% от этого числа. Предполагая, что на заводе работают только мужчины и женщины, для нахождения процента женщин нужно из общего процента работников вычесть процент мужчин.
$100\% - 75\% = 25\%$
Ответ: женщины составляют 25% всех работников.

в)

Все ученики в классе составляют 100%. Девочки составляют 40% от всех учеников. Если в классе есть только мальчики и девочки, то чтобы найти, какой процент составляют мальчики, нужно из 100% вычесть процент девочек.
$100\% - 40\% = 60\%$
Ответ: мальчики составляют 60% класса.

112. а) Найдите $15 \%$ числа 36.

б) Найдите число, $15 \%$ которого равны 36.

а) Чтобы найти процент от числа, нужно представить проценты в виде десятичной дроби и умножить данное число на эту дробь.
Сначала переведем 15% в десятичную дробь:
$15\% = \frac{15}{100} = 0,15$
Теперь умножим число 36 на полученную дробь:
$36 \cdot 0,15 = 5,4$
Ответ: 5,4.

б) В этой задаче нам известно, что 15% от некоторого числа равны 36. Чтобы найти всё число, нужно известную часть (36) разделить на долю, которую она составляет, выраженную в виде десятичной дроби.
Представим 15% в виде десятичной дроби: $15\% = 0,15$.
Теперь разделим 36 на 0,15, чтобы найти искомое число:
$\frac{36}{0,15} = \frac{3600}{15} = 240$
Ответ: 240.

113. Найдите число:

а) 1 % которого равен 3;

б) 10 % которого равны 40;

в) 15 % которого равны 30;

г) 50 % которого равны 250.

а)

Чтобы найти число, зная, что 1% от него равен 3, мы можем обозначить искомое число за $x$. По определению, 1% от числа $x$ — это одна сотая часть этого числа, то есть $x \cdot \frac{1}{100}$ или $0.01x$.

Составим уравнение на основе условия задачи:

$0.01 \cdot x = 3$

Чтобы найти $x$, нужно разделить 3 на 0.01:

$x = \frac{3}{0.01} = \frac{3}{\frac{1}{100}} = 3 \cdot 100 = 300$

Другой способ рассуждения: если 1% числа равен 3, то само число (которое составляет 100%) будет в 100 раз больше. Следовательно, искомое число равно:

$3 \cdot 100 = 300$

Ответ: 300

б)

Нам нужно найти число, 10% которого равны 40. Обозначим искомое число за $x$. 10% от числа $x$ — это $x \cdot \frac{10}{100}$ или $0.1x$.

Составим уравнение:

$0.1 \cdot x = 40$

Решим уравнение относительно $x$:

$x = \frac{40}{0.1} = 40 \cdot 10 = 400$

Также можно сначала найти 1% от этого числа. Если 10% равны 40, то 1% будет в 10 раз меньше: $40 \div 10 = 4$. Поскольку целое число составляет 100%, то искомое число будет в 100 раз больше, чем 1%:

$4 \cdot 100 = 400$

Ответ: 400

в)

Нам нужно найти число, 15% которого равны 30. Пусть искомое число — это $x$. 15% от числа $x$ можно записать как $x \cdot \frac{15}{100}$ или $0.15x$.

Составим уравнение:

$0.15 \cdot x = 30$

Найдем $x$:

$x = \frac{30}{0.15} = \frac{30}{\frac{15}{100}} = 30 \cdot \frac{100}{15} = 2 \cdot 100 = 200$

Найдем 1% от числа. Если 15% — это 30, то 1% — это $30 \div 15 = 2$. Тогда 100% (целое число) будет равно:

$2 \cdot 100 = 200$

Ответ: 200

г)

Нам нужно найти число, 50% которого равны 250. Обозначим искомое число за $x$. 50% от числа $x$ — это $x \cdot \frac{50}{100}$ или $0.5x$.

Составим уравнение:

$0.5 \cdot x = 250$

Найдем $x$:

$x = \frac{250}{0.5} = 250 \cdot 2 = 500$

Поскольку 50% — это ровно половина, то если половина числа равна 250, то всё число в два раза больше:

$250 \cdot 2 = 500$

Ответ: 500

114. Запишите дробь в виде процентов:

а) $\frac{4}{5}$;

б) $\frac{5}{4}$;

в) $\frac{3}{4}$;

г) $\frac{13}{25}$;

д) $\frac{17}{20}$;

е) $\frac{4}{3}$.

Чтобы представить дробь в виде процентов, необходимо умножить эту дробь на 100 и добавить знак процента (%). Общая формула: $\text{Процент} = \text{Дробь} \times 100\%$.

а)

Преобразуем дробь $\frac{4}{5}$ в проценты:
$\frac{4}{5} \times 100\% = \frac{4 \times 100}{5}\% = \frac{400}{5}\% = 80\%$.
Ответ: 80%.

б)

Преобразуем дробь $\frac{5}{4}$ в проценты:
$\frac{5}{4} \times 100\% = \frac{5 \times 100}{4}\% = \frac{500}{4}\% = 125\%$.
Ответ: 125%.

в)

Преобразуем дробь $\frac{3}{4}$ в проценты:
$\frac{3}{4} \times 100\% = \frac{3 \times 100}{4}\% = \frac{300}{4}\% = 75\%$.
Ответ: 75%.

г)

Преобразуем дробь $\frac{13}{25}$ в проценты:
$\frac{13}{25} \times 100\% = \frac{13 \times 100}{25}\% = 13 \times 4\% = 52\%$.
Ответ: 52%.

д)

Преобразуем дробь $\frac{17}{20}$ в проценты:
$\frac{17}{20} \times 100\% = \frac{17 \times 100}{20}\% = 17 \times 5\% = 85\%$.
Ответ: 85%.

е)

Преобразуем дробь $\frac{4}{3}$ в проценты:
$\frac{4}{3} \times 100\% = \frac{400}{3}\%$.
Так как 400 не делится на 3 нацело, представим результат в виде смешанного числа:
$\frac{400}{3}\% = 133\frac{1}{3}\%$.
Ответ: $133\frac{1}{3}\%$.