Страница 23 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

90. Из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого. Некий господин позвал плотника и велел двор построить. Дал ему двадцать человек работников и спросил, в сколько дней построят они его двор. Плотник ответил: в тридцать дней. А господину надобно в 5 дней построить, и ради того спросил он плотника: сколько человек тебе надо иметь, дабы с ними ты построил двор в 5 дней; и плотник, недоумевая, спрашивает тебя, арифме-тик: сколько человек ему надо иметь, чтобы построить тот двор в 5 дней?

Эта задача решается с помощью понятия об обратной пропорциональности. Количество работников и время, необходимое для выполнения фиксированного объема работы, являются обратно пропорциональными величинами. Это означает, что во сколько раз увеличивается количество работников, во столько же раз уменьшается время на выполнение работы.

1. Вычисление общего объема работы

Сначала определим общий объем работы, необходимый для постройки двора. Объем работы можно измерить в «человеко-днях». По условию, 20 работников выполняют эту работу за 30 дней. Следовательно, общий объем работы составляет:

$20 \text{ человек} \times 30 \text{ дней} = 600 \text{ человеко-дней}$

Это означает, что для постройки двора требуется 600 человеко-дней труда.

2. Расчет необходимого количества работников для нового срока

Теперь нам нужно выполнить тот же объем работы (600 человеко-дней), но в более короткий срок — за 5 дней. Чтобы найти, сколько работников потребуется, разделим общий объем работы на новое количество дней:

$\frac{600 \text{ человеко-дней}}{5 \text{ дней}} = 120 \text{ человек}$

Можно также решить задачу, составив пропорцию. Пусть $x$ — искомое количество работников. Так как зависимость обратная, пропорция будет выглядеть следующим образом:

20 человек — 30 дней

$x$ человек — 5 дней

$\frac{x}{20} = \frac{30}{5}$

Выразим $x$:

$x = 20 \times \frac{30}{5} = 20 \times 6 = 120$

Таким образом, для постройки двора за 5 дней потребуется 120 работников.

Ответ: 120 человек.

91. Из «Сборника задач и упражнений по арифметике» С. А. Пономарёва и Н. И. Сырнева.

а) Скорость парохода относится к скорости течения как $36:5$. Пароход двигался по течению 5 ч 10 мин. Сколько времени потребуется ему, чтобы вернуться обратно?

б) Катер проходит определённое расстояние в стоячей воде за 12 ч. То же расстояние он может пройти по течению за 10 ч. Против течения катер идёт со скоростью 24 км/ч. Определите скорость катера по течению.

а) Пусть собственная скорость парохода будет $v_п$, а скорость течения — $v_т$. Из условия задачи известно, что их скорости относятся как $36 : 5$. Это можно записать в виде пропорции:
$ \frac{v_п}{v_т} = \frac{36}{5} $
Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда $v_п = 36x$, а $v_т = 5x$.

Скорость парохода по течению ($v_{по}$) равна сумме его собственной скорости и скорости течения:
$v_{по} = v_п + v_т = 36x + 5x = 41x$.

Скорость парохода против течения ($v_{пр}$), с которой он будет возвращаться обратно, равна разности его собственной скорости и скорости течения:
$v_{пр} = v_п - v_т = 36x - 5x = 31x$.

Время движения по течению ($t_{по}$) составляет 5 часов 10 минут. Переведем это время в минуты для удобства вычислений:
$t_{по} = 5 \text{ ч } 10 \text{ мин} = 5 \times 60 + 10 = 310 \text{ минут}$.

Расстояние ($S$), которое прошел пароход, одинаково как при движении по течению, так и против него. Расстояние можно выразить как произведение скорости на время:
$S = v_{по} \times t_{по} = v_{пр} \times t_{пр}$
где $t_{пр}$ — искомое время движения против течения.

Подставим известные значения в формулу:
$41x \times 310 = 31x \times t_{пр}$

Поскольку скорость не может быть нулевой, $x \neq 0$, мы можем сократить обе части уравнения на $x$:
$41 \times 310 = 31 \times t_{пр}$

Теперь найдем $t_{пр}$:
$t_{пр} = \frac{41 \times 310}{31} = 41 \times 10 = 410 \text{ минут}$.

Переведем полученное время обратно в часы и минуты:
$410 \text{ мин} = 6 \text{ часов } (6 \times 60 = 360 \text{ мин}) \text{ и } 50 \text{ минут}$.
Таким образом, на обратный путь потребуется 6 часов 50 минут.

Ответ: 6 ч 50 мин.

б) Пусть $v_к$ — собственная скорость катера (скорость в стоячей воде), $v_т$ — скорость течения, а $S$ — расстояние.

Из условия задачи составим систему уравнений:
1. Катер проходит расстояние $S$ в стоячей воде за 12 часов. Это означает: $S = v_к \times 12$.
2. То же расстояние $S$ по течению катер проходит за 10 часов. Скорость по течению равна $v_{по} = v_к + v_т$. Следовательно: $S = (v_к + v_т) \times 10$.
3. Против течения катер идёт со скоростью 24 км/ч. Скорость против течения равна $v_{пр} = v_к - v_т$. Следовательно: $v_к - v_т = 24$.

Поскольку расстояние в первом и втором случаях одинаково, мы можем приравнять правые части первых двух уравнений:
$12 v_к = 10 (v_к + v_т)$
Раскроем скобки:
$12 v_к = 10 v_к + 10 v_т$
Перенесем слагаемые с $v_к$ в одну сторону:
$12 v_к - 10 v_к = 10 v_т$
$2 v_к = 10 v_т$
$v_к = 5 v_т$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:
$\begin{cases} v_к - v_т = 24 \\ v_к = 5 v_т \end{cases}$

Подставим второе уравнение ($v_к = 5 v_т$) в первое:
$5 v_т - v_т = 24$
$4 v_т = 24$
$v_т = \frac{24}{4} = 6$ км/ч.
Мы нашли скорость течения.

Теперь найдем собственную скорость катера $v_к$:
$v_к = 5 v_т = 5 \times 6 = 30$ км/ч.

Вопрос задачи — определить скорость катера по течению ($v_{по}$).
$v_{по} = v_к + v_т = 30 + 6 = 36$ км/ч.

Ответ: 36 км/ч.

92. Найдите в учебнике, справочной литературе или Интернете, как решали задачи на прямую и обратную пропорциональности во времена Л. Ф. Магницкого и в средневековой Европе. Придумайте задачу на прямую или обратную пропорциональность и решите её старинным способом.

В средневековой Европе и в России во времена Л. Ф. Магницкого задачи на прямую и обратную пропорциональность решали с помощью так называемого Тройного правила (в Европе его также называли «Золотым правилом»). Этот метод, пришедший в Европу от арабских и индийских математиков, был основой купеческой арифметики. Леонтий Филиппович Магницкий в своем знаменитом учебнике «Арифметика» (1703 г.) подробно описывал этот способ.

Суть метода заключалась в том, что по трём известным величинам находили четвёртую, неизвестную. Правило делилось на два вида:

1. Прямое тройное правило применялось для задач на прямую пропорциональность (когда «большее требует большего, а меньшее — меньшего»). Формулировка правила была такой: «второе число умножить на третье и произведение разделить на первое». Если дано, что величине $a$ соответствует величина $b$, а величине $c$ соответствует искомая величина $x$, то $x = \frac{b \cdot c}{a}$.
2. Обратное тройное правило применялось для задач на обратную пропорциональность (когда «большее требует меньшего, а меньшее — большего»). Формулировка была иной: «первое число умножить на второе и произведение разделить на третье». Для тех же величин $x = \frac{a \cdot b}{c}$.

Главным было правильно определить, какая зависимость между величинами в задаче — прямая или обратная, — чтобы применить верную формулировку правила.

Задача на обратную пропорциональность и ее решение старинным способом

Задача: Некая артель из 8 плотников может построить избу за 15 дней. За сколько дней ту же избу построит артель из 12 плотников, работая с той же производительностью?

Решение:

1. Запишем условие так, как это делали в старину, располагая одноименные величины друг под другом:

8 плотников — 15 дней
12 плотников — ? дней

2. Рассуждаем для определения вида правила: чем больше плотников будет работать, тем меньше дней им потребуется на постройку избы. Значит, здесь «большее требует меньшего», и следует применить обратное тройное правило.

3. Следуем старинной формулировке правила: «первое число умножить на второе и произведение разделить на третье». В нашей записи:

• Первое число — 8 (плотников)
• Второе число — 15 (дней)
• Третье число — 12 (плотников)

4. Производим вычисление искомого числа дней:

$x = \frac{8 \cdot 15}{12}$

Умножаем первое на второе: $8 \cdot 15 = 120$.

Делим произведение на третье: $120 : 12 = 10$.

Следовательно, 12 плотников построят избу за 10 дней.

Ответ: 10 дней.