Номер 91, страница 23 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

1.5. Прямая и обратная пропорциональность. Глава 1. Отношения, пропорции, проценты - номер 91, страница 23.

Условие.

91. Из «Сборника задач и упражнений по арифметике» С. А. Пономарёва и Н. И. Сырнева.

а) Скорость парохода относится к скорости течения как $36:5$. Пароход двигался по течению 5 ч 10 мин. Сколько времени потребуется ему, чтобы вернуться обратно?

б) Катер проходит определённое расстояние в стоячей воде за 12 ч. То же расстояние он может пройти по течению за 10 ч. Против течения катер идёт со скоростью 24 км/ч. Определите скорость катера по течению.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

а) Пусть собственная скорость парохода будет $v_п$, а скорость течения — $v_т$. Из условия задачи известно, что их скорости относятся как $36 : 5$. Это можно записать в виде пропорции:
$ \frac{v_п}{v_т} = \frac{36}{5} $
Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда $v_п = 36x$, а $v_т = 5x$.

Скорость парохода по течению ($v_{по}$) равна сумме его собственной скорости и скорости течения:
$v_{по} = v_п + v_т = 36x + 5x = 41x$.

Скорость парохода против течения ($v_{пр}$), с которой он будет возвращаться обратно, равна разности его собственной скорости и скорости течения:
$v_{пр} = v_п - v_т = 36x - 5x = 31x$.

Время движения по течению ($t_{по}$) составляет 5 часов 10 минут. Переведем это время в минуты для удобства вычислений:
$t_{по} = 5 \text{ ч } 10 \text{ мин} = 5 \times 60 + 10 = 310 \text{ минут}$.

Расстояние ($S$), которое прошел пароход, одинаково как при движении по течению, так и против него. Расстояние можно выразить как произведение скорости на время:
$S = v_{по} \times t_{по} = v_{пр} \times t_{пр}$
где $t_{пр}$ — искомое время движения против течения.

Подставим известные значения в формулу:
$41x \times 310 = 31x \times t_{пр}$

Поскольку скорость не может быть нулевой, $x \neq 0$, мы можем сократить обе части уравнения на $x$:
$41 \times 310 = 31 \times t_{пр}$

Теперь найдем $t_{пр}$:
$t_{пр} = \frac{41 \times 310}{31} = 41 \times 10 = 410 \text{ минут}$.

Переведем полученное время обратно в часы и минуты:
$410 \text{ мин} = 6 \text{ часов } (6 \times 60 = 360 \text{ мин}) \text{ и } 50 \text{ минут}$.
Таким образом, на обратный путь потребуется 6 часов 50 минут.

Ответ: 6 ч 50 мин.

б) Пусть $v_к$ — собственная скорость катера (скорость в стоячей воде), $v_т$ — скорость течения, а $S$ — расстояние.

Из условия задачи составим систему уравнений:
1. Катер проходит расстояние $S$ в стоячей воде за 12 часов. Это означает: $S = v_к \times 12$.
2. То же расстояние $S$ по течению катер проходит за 10 часов. Скорость по течению равна $v_{по} = v_к + v_т$. Следовательно: $S = (v_к + v_т) \times 10$.
3. Против течения катер идёт со скоростью 24 км/ч. Скорость против течения равна $v_{пр} = v_к - v_т$. Следовательно: $v_к - v_т = 24$.

Поскольку расстояние в первом и втором случаях одинаково, мы можем приравнять правые части первых двух уравнений:
$12 v_к = 10 (v_к + v_т)$
Раскроем скобки:
$12 v_к = 10 v_к + 10 v_т$
Перенесем слагаемые с $v_к$ в одну сторону:
$12 v_к - 10 v_к = 10 v_т$
$2 v_к = 10 v_т$
$v_к = 5 v_т$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:
$\begin{cases} v_к - v_т = 24 \\ v_к = 5 v_т \end{cases}$

Подставим второе уравнение ($v_к = 5 v_т$) в первое:
$5 v_т - v_т = 24$
$4 v_т = 24$
$v_т = \frac{24}{4} = 6$ км/ч.
Мы нашли скорость течения.

Теперь найдем собственную скорость катера $v_к$:
$v_к = 5 v_т = 5 \times 6 = 30$ км/ч.

Вопрос задачи — определить скорость катера по течению ($v_{по}$).
$v_{по} = v_к + v_т = 30 + 6 = 36$ км/ч.

Ответ: 36 км/ч.