Номер 59, страница 17 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

1.4. Пропорции. Глава 1. Отношения, пропорции, проценты - номер 59, страница 17.

Условие.

59. Докажите, что если $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $, то:

а) $ \frac{d}{b} = \frac{c}{a}; $

б) $ \frac{d}{c} = \frac{b}{a}; $

в) $ \frac{a+c}{b+d} = \frac{c}{d}; $

г) $ \frac{a}{b} = \frac{a+c}{b+d}. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

а)

Нам дано, что $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$. Из основного свойства пропорции следует, что произведение крайних членов равно произведению средних: $ad = bc$.

Нам нужно доказать, что $\frac{d}{b} = \frac{c}{a}$. Применим к этому выражению то же свойство пропорции (перекрестное умножение): $d \cdot a = b \cdot c$, что эквивалентно $ad = bc$.

Поскольку равенство $ad = bc$ следует из начального условия, то и доказываемое равенство $\frac{d}{b} = \frac{c}{a}$ является верным.

В качестве альтернативного доказательства, разделим обе части равенства $ad = bc$ на $ab$ (при условии, что $a \neq 0$ и $b \neq 0$):

$\frac{ad}{ab} = \frac{bc}{ab}$

Сократив дроби, получаем:

$\frac{d}{b} = \frac{c}{a}$

Что и требовалось доказать.Ответ: Доказано.

б)

Исходное условие: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, что равносильно равенству $ad = bc$.

Требуется доказать: $\frac{d}{c} = \frac{b}{a}$. Используем перекрестное умножение для этого равенства: $d \cdot a = c \cdot b$, или $ad = bc$.

Это то же самое равенство, которое мы получили из исходного условия. Следовательно, утверждение верно.

Для прямого доказательства разделим обе части равенства $ad = bc$ на $ac$ (при условии, что $a \neq 0$ и $c \neq 0$):

$\frac{ad}{ac} = \frac{bc}{ac}$

После сокращения дробей получаем:

$\frac{d}{c} = \frac{b}{a}$

Что и требовалось доказать.Ответ: Доказано.

в)

Пусть $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k$, где $k$ — коэффициент пропорциональности.

Из этого соотношения мы можем выразить $a$ и $c$:

$a = bk$

$c = dk$

Теперь подставим эти выражения в левую часть доказываемого равенства $\frac{a+c}{b+d} = \frac{c}{d}$:

$\frac{a+c}{b+d} = \frac{bk + dk}{b+d}$

Вынесем общий множитель $k$ в числителе:

$\frac{k(b+d)}{b+d}$

Сократив на $(b+d)$ (при условии, что $b+d \neq 0$), получаем $k$.

Правая часть равенства, которое мы доказываем, это $\frac{c}{d}$. По нашему определению, $\frac{c}{d} = k$.

Поскольку и левая, и правая части равенства равны $k$, то равенство $\frac{a+c}{b+d} = \frac{c}{d}$ верно.

Что и требовалось доказать.Ответ: Доказано.

г)

Используем тот же подход, что и в пункте в). Пусть $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k$.

Тогда $a = bk$ и $c = dk$.

Левая часть доказываемого равенства $\frac{a}{b} = \frac{a+c}{b+d}$ равна $\frac{a}{b}$. По нашему определению, $\frac{a}{b} = k$.

Теперь рассмотрим правую часть:

$\frac{a+c}{b+d} = \frac{bk + dk}{b+d} = \frac{k(b+d)}{b+d}$

Сократив дробь на $(b+d)$, получаем $k$.

Так как обе части равенства равны $k$, они равны между собой: $\frac{a}{b} = \frac{a+c}{b+d}$.

Также можно заметить, что из условия $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ и доказанного в пункте в) равенства $\frac{a+c}{b+d} = \frac{c}{d}$, по свойству транзитивности следует, что $\frac{a}{b} = \frac{a+c}{b+d}$.

Что и требовалось доказать.Ответ: Доказано.