Страница 32 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

137. Сколько градусов содержит развёрнутый угол? Сколько градусов содержит полный угол?

Сколько градусов содержит развёрнутый угол?

Развёрнутый угол — это угол, стороны которого образуют прямую линию. Такой угол представляет собой половину полного оборота. Так как полный оборот равен $360^\circ$, то развёрнутый угол составляет половину этой величины.
$ \frac{360^\circ}{2} = 180^\circ $
Также можно сказать, что развёрнутый угол состоит из двух прямых углов, каждый из которых равен $90^\circ$.
$ 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ $
Ответ: Развёрнутый угол содержит $180^\circ$.

Сколько градусов содержит полный угол?

Полный угол — это угол, описывающий полный оборот вокруг точки. По определению, в системе измерения углов полный оборот разделён на 360 равных частей, называемых градусами. Таким образом, полный угол равен $360^\circ$.
Полный угол можно представить как сумму двух развёрнутых углов.
$ 180^\circ + 180^\circ = 360^\circ $
Ответ: Полный угол содержит $360^\circ$.

138. Используя круговую диаграмму (рис. 9), скажите, сколько в доме однокомнатных квартир; двухкомнатных; трёхкомнатных.

2-х комн. 24
1 комн. 16
3-х комн. 32

Рис. 9

Для ответа на вопрос необходимо проанализировать данные, представленные на круговой диаграмме.

однокомнатных квартир
На диаграмме находим сектор, который соответствует однокомнатным квартирам. Он подписан "1 комн.". Внутри этого сектора указано число 16. Это означает, что в доме 16 однокомнатных квартир.
Ответ: 16.

двухкомнатных
Сектор, соответствующий двухкомнатным квартирам, имеет подпись "2-х комн.". Число, указанное в этом секторе, равно 24. Следовательно, в доме 24 двухкомнатные квартиры.
Ответ: 24.

трёхкомнатных
Сектор с подписью "3-х комн." представляет трёхкомнатные квартиры. Число в данном секторе — 32. Таким образом, в доме 32 трёхкомнатные квартиры.
Ответ: 32.

139. На круговой диаграмме (рис. 10) показан процентный состав населения города N. Сколько мужчин, женщин и детей живёт в городе N, если всего в нём 48 тыс. жителей?

дети: $25\%$

женщины: $40\%$

мужчины: $35\%$

Рис. 10

Для решения задачи необходимо найти соответствующий процент от общего числа жителей для каждой группы населения (мужчин, женщин и детей). Общее число жителей в городе N — 48 000 человек.

Мужчины

Согласно диаграмме, мужчины составляют 35% населения. Чтобы найти их количество, умножим общее число жителей на процентное соотношение, выраженное в виде десятичной дроби:

$48000 \cdot \frac{35}{100} = 48000 \cdot 0.35 = 16800$ человек.

Ответ: 16 800 мужчин.

Женщины

Женщины составляют 40% населения. Рассчитаем их количество:

$48000 \cdot \frac{40}{100} = 48000 \cdot 0.4 = 19200$ человек.

Ответ: 19 200 женщин.

Дети

Дети составляют 25% населения. Рассчитаем их количество:

$48000 \cdot \frac{25}{100} = 48000 \cdot 0.25 = 12000$ человек.

Ответ: 12 000 детей.

Проверка: Сумма жителей всех групп должна быть равна общему числу жителей:

$16800 + 19200 + 12000 = 48000$ человек. Расчеты верны.

140. На круговой диаграмме (рис. 11) показано содержание металлов в сплаве. Сколько граммов олова, свинца и других металлов содержится в 200 г такого сплава?

другие металлы $5 \%$

свинец $35 \%$

олово $60 \%$

Рис. 11

Для того чтобы найти массу каждого металла в 200 г сплава, необходимо общую массу умножить на процентное содержание каждого компонента.

олово
Согласно диаграмме, содержание олова в сплаве составляет 60%. Рассчитаем его массу в 200 г сплава:
$200 \text{ г} \cdot \frac{60}{100} = 200 \cdot 0.6 = 120 \text{ г}$
Ответ: 120 г.

свинец
Содержание свинца в сплаве составляет 35%. Рассчитаем его массу:
$200 \text{ г} \cdot \frac{35}{100} = 200 \cdot 0.35 = 70 \text{ г}$
Ответ: 70 г.

другие металлы
Содержание других металлов в сплаве составляет 5%. Рассчитаем их массу:
$200 \text{ г} \cdot \frac{5}{100} = 200 \cdot 0.05 = 10 \text{ г}$
Ответ: 10 г.

141. Постройте круговую диаграмму, отражающую результаты выполнения контрольной работы по русскому языку в 7 классе: «5» получили 3 человека, «4» – 12 человек, «3» – 15 человек («2» и «1» нет).

Чтобы построить круговую диаграмму, отражающую результаты контрольной работы, необходимо сначала определить общее количество учеников, а затем рассчитать, какой центральный угол на диаграмме будет соответствовать каждой группе оценок.

1. Найдём общее количество учеников в классе.
Сложим количество учеников, получивших оценки «5», «4» и «3»:

$3 + 12 + 15 = 30$ учеников.

2. Рассчитаем центральные углы для секторов диаграммы.
Весь круг составляет $360^\circ$. Угол для каждого сектора рассчитывается пропорционально доле учеников с соответствующей оценкой от общего числа учеников.

• Оценка «5» (3 ученика):
  Доля от общего числа: $ \frac{3}{30} = \frac{1}{10} $
  Угол сектора: $ \frac{1}{10} \cdot 360^\circ = 36^\circ $

• Оценка «4» (12 учеников):
  Доля от общего числа: $ \frac{12}{30} = \frac{2}{5} $
  Угол сектора: $ \frac{2}{5} \cdot 360^\circ = 144^\circ $

• Оценка «3» (15 учеников):
  Доля от общего числа: $ \frac{15}{30} = \frac{1}{2} $
  Угол сектора: $ \frac{1}{2} \cdot 360^\circ = 180^\circ $

Проверка: Сумма углов всех секторов должна быть равна $360^\circ$.
$36^\circ + 144^\circ + 180^\circ = 360^\circ$. Расчеты верны.

3. Построение диаграммы.
Начертите окружность, проведите начальный радиус. С помощью транспортира отложите последовательно углы $180^\circ$, $144^\circ$ и $36^\circ$. Закрасьте каждый сектор и подпишите, какой оценке он соответствует. Можно также указать процентное соотношение: «3» - 50%, «4» - 40%, «5» - 10%.

Ответ: Круговая диаграмма должна быть разделена на три сектора с центральными углами: $180^\circ$ (для оценки «3»), $144^\circ$ (для оценки «4») и $36^\circ$ (для оценки «5»).

му языку в 7 классе: «5» получили 3 человека, «4» — 12 человек, «3» — 15 человек («2» и «1» нет).

142. Постройте круговую диаграмму «Мой режим дня».

Придумываем задачу

Для построения круговой диаграммы «Мой режим дня» необходимо составить примерный распорядок дня, распределив все 24 часа в сутках на различные виды деятельности, а затем вычислить соответствующие им доли в круге.

1. Составление режима дня.

Составим примерный режим дня для школьника:

• Сон: 9 часов
• Учеба в школе: 7 часов
• Выполнение домашних заданий: 2 часа
• Прием пищи: 2 часа
• Свободное время (отдых, хобби): 2 часа
• Дорога в школу/из школы и личная гигиена: 1 час
• Помощь по дому: 1 час

Проверим общее количество часов: $9 + 7 + 2 + 2 + 2 + 1 + 1 = 24$ часа. Все время суток распределено.

2. Расчет секторов для диаграммы.

Теперь рассчитаем, какой процент от суток и какой центральный угол на диаграмме соответствует каждому виду деятельности. Весь круг — это $100\%$ или $360^\circ$.

Сон (9 часов):
Доля: $\frac{9}{24} = \frac{3}{8}$
Процент: $\frac{9}{24} \cdot 100\% = 37.5\%$
Угол: $\frac{9}{24} \cdot 360^\circ = 135^\circ$

Учеба в школе (7 часов):
Доля: $\frac{7}{24}$
Процент: $\frac{7}{24} \cdot 100\% \approx 29.2\%$
Угол: $\frac{7}{24} \cdot 360^\circ = 105^\circ$

Выполнение домашних заданий (2 часа):
Доля: $\frac{2}{24} = \frac{1}{12}$
Процент: $\frac{2}{24} \cdot 100\% \approx 8.3\%$
Угол: $\frac{2}{24} \cdot 360^\circ = 30^\circ$

Прием пищи (2 часа):
Доля: $\frac{2}{24} = \frac{1}{12}$
Процент: $\frac{2}{24} \cdot 100\% \approx 8.3\%$
Угол: $\frac{2}{24} \cdot 360^\circ = 30^\circ$

Свободное время (2 часа):
Доля: $\frac{2}{24} = \frac{1}{12}$
Процент: $\frac{2}{24} \cdot 100\% \approx 8.3\%$
Угол: $\frac{2}{24} \cdot 360^\circ = 30^\circ$

Дорога и гигиена (1 час):
Доля: $\frac{1}{24}$
Процент: $\frac{1}{24} \cdot 100\% \approx 4.2\%$
Угол: $\frac{1}{24} \cdot 360^\circ = 15^\circ$

Помощь по дому (1 час):
Доля: $\frac{1}{24}$
Процент: $\frac{1}{24} \cdot 100\% \approx 4.2\%$
Угол: $\frac{1}{24} \cdot 360^\circ = 15^\circ$

3. Построение диаграммы.

Для построения диаграммы начертите окружность любого радиуса. С помощью транспортира последовательно отложите от начального радиуса вычисленные центральные углы: $135^\circ$, $105^\circ$, $30^\circ$, $30^\circ$, $30^\circ$, $15^\circ$, $15^\circ$. Каждый полученный сектор соответствует определенному виду деятельности. Секторы можно раскрасить в разные цвета и подписать, указав название деятельности и/или процентное соотношение.

Ответ: Круговая диаграмма «Мой режим дня» строится путем деления круга на секторы со следующими центральными углами: Сон — $135^\circ$ (37.5%), Учеба в школе — $105^\circ$ (≈29.2%), Выполнение домашних заданий — $30^\circ$ (≈8.3%), Прием пищи — $30^\circ$ (≈8.3%), Свободное время — $30^\circ$ (≈8.3%), Дорога и гигиена — $15^\circ$ (≈4.2%), Помощь по дому — $15^\circ$ (≈4.2%).

143. Используя данные из других школьных предметов, периодической печати или Интернета, придумайте задачу на составление круговой диаграммы.

Задача

Воздух, которым мы дышим, является смесью различных газов. По данным из курса химии и географии, примерный процентный состав сухого воздуха у поверхности Земли следующий: Азот – 78%, Кислород – 21%, прочие газы (аргон, углекислый газ, неон и др.) – 1%.
Постройте круговую диаграмму, которая наглядно представляет состав воздуха.

Решение

Круговая диаграмма представляет собой круг, разделенный на секторы. Вся площадь круга принимается за 100%. Градусная мера полного круга составляет 360°. Чтобы построить диаграмму, необходимо рассчитать, какой центральный угол соответствует каждому компоненту смеси.

1. Найдем, сколько градусов в круге соответствует 1%. Для этого разделим общую градусную меру круга на 100:
$360° \div 100\% = 3.6°$ на 1%.

2. Теперь рассчитаем величину угла для каждого газа, умножив его процентное содержание на количество градусов в одном проценте.

Азот (78%):
Угол сектора для азота равен $78 \cdot 3.6° = 280.8°$.

Кислород (21%):
Угол сектора для кислорода равен $21 \cdot 3.6° = 75.6°$.

Прочие газы (1%):
Угол сектора для прочих газов равен $1 \cdot 3.6° = 3.6°$.

3. Проверим, что сумма всех углов равна 360°:
$280.8° + 75.6° + 3.6° = 360°$
Расчеты верны.

4. Для построения диаграммы нужно начертить круг, провести в нем радиус и последовательно откладывать полученные углы с помощью транспортира. Каждый сектор следует подписать или раскрасить в свой цвет и составить легенду (условные обозначения).

Ответ: Для построения круговой диаграммы состава воздуха необходимо разделить круг на три сектора с центральными углами: 280.8° (Азот), 75.6° (Кислород) и 3.6° (Прочие газы).