Страница 35 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

152. У круглого стола поставили четыре стула. Сколькими способами можно рассадить на эти стулья:

а) четырёх детей;

б) трёх детей;

в) двух детей?

а) четырёх детей
Поскольку четыре стула, даже стоящие у круглого стола, являются четырьмя различными посадочными местами, данная задача сводится к нахождению числа перестановок. Нам нужно определить, сколькими способами можно рассадить 4 детей на 4 стула.
Первого ребёнка можно посадить на любой из 4 стульев. Второго — на любой из 3 оставшихся. Третьего — на один из 2 оставшихся, а последнего — на единственный свободный стул.
Общее число способов равно числу перестановок из 4 элементов, которое вычисляется по формуле $P_n = n!$.
$P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.
Ответ: 24

б) трёх детей
В этом случае нужно рассадить 3 детей на 4 стула. Так как важен не только выбор стульев, но и какой ребёнок на какой стул сядет, мы имеем дело с размещениями.
Первого ребёнка можно посадить на любой из 4 стульев.
Второго ребёнка — на любой из 3 оставшихся стульев.
Третьего ребёнка — на любой из 2 оставшихся стульев.
Общее число способов равно $4 \times 3 \times 2 = 24$.
Это соответствует формуле для числа размещений из $n$ элементов по $k$: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.
Для $n=4$ (стулья) и $k=3$ (дети):
$A_4^3 = \frac{4!}{(4-3)!} = \frac{4!}{1!} = 24$.
Ответ: 24

в) двух детей
Нужно рассадить 2 детей на 4 стула. Аналогично предыдущему пункту, это задача на нахождение числа размещений, так как порядок рассадки важен.
Первого ребёнка можно посадить на любой из 4 стульев, а второго — на любой из 3 оставшихся.
Общее число способов равно $4 \times 3 = 12$.
Используя формулу для числа размещений $A_n^k$ с $n=4$ и $k=2$:
$A_4^2 = \frac{4!}{(4-2)!} = \frac{4!}{2!} = \frac{24}{2} = 12$.
Ответ: 12

153. Мальчика и двух девочек надо рассадить за круглым столом с четырьмя стульями так, чтобы девочки не оказались рядом. Сколькими способами это можно сделать?

Для решения этой задачи определим общее количество участников и мест. У нас есть один мальчик (М), две девочки (Д1 и Д2) и четыре стула за круглым столом. Поскольку людей трое, а стульев четыре, один стул останется пустым (П). Мы должны найти количество способов рассадить их так, чтобы девочки не сидели на соседних стульях.

Сначала найдем общее количество возможных способов рассадить одного мальчика, двух девочек и одно пустое место за круглым столом. Будем считать эти четыре элемента (М, Д1, Д2, П) различными. Число всех возможных круговых перестановок для $n$ различных элементов вычисляется по формуле $(n-1)!$. В нашем случае $n=4$, поэтому общее количество рассадок равно:

$N_{общ} = (4-1)! = 3! = 6$ способов.

Теперь найдем количество способов, при которых девочки окажутся рядом. Для этого будем рассматривать двух девочек как единый объект {Д1,Д2}. Тогда нам нужно рассадить за круглым столом три объекта: мальчика (М), пустое место (П) и группу девочек {Д1,Д2}. Количество способов сделать это равно $(3-1)! = 2! = 2$. Внутри самой группы девочки могут поменяться местами ($Д1Д2$ или $Д2Д1$), что дает $2! = 2$ варианта. Следовательно, общее число рассадок, где девочки сидят вместе, составляет:

$N_{вместе} = (3-1)! \times 2! = 2 \times 2 = 4$ способа.

Чтобы найти количество способов, при которых девочки не сидят рядом, нужно из общего числа способов вычесть число способов, где они сидят вместе:

$N_{раздельно} = N_{общ} - N_{вместе} = 6 - 4 = 2$ способа.

Таким образом, существует два способа рассадить детей в соответствии с условием задачи.

Ответ: 2

154. Двух мальчиков и двух девочек надо рассадить за круглым столом с четырьмя стульями так, чтобы девочки не оказались рядом. Сколькими способами это можно сделать?

Эту задачу можно решить двумя способами.

Способ 1: Прямой подсчет

Условие, что девочки не сидят рядом за круглым столом с четырьмя стульями, означает, что они должны сидеть друг напротив друга. Это, в свою очередь, означает, что мальчики также должны сидеть друг напротив друга, и рассадка будет чередующейся: Мальчик-Девочка-Мальчик-Девочка.

1. Посадим одного из мальчиков (М1) на любое место. Так как стол круглый и места изначально неразличимы, это можно сделать одним способом (мы фиксируем это место как точку отсчета).

2. Чтобы рассадка была чередующейся, второй мальчик (М2) должен сесть напротив М1. Для него есть только одно подходящее место.

3. Теперь остались два свободных стула для двух девочек (Д1 и Д2). Эти места уже различимы относительно сидящих мальчиков. Первую девочку можно посадить на любое из двух свободных мест (2 способа).

4. Вторая девочка должна занять последнее оставшееся место (1 способ).

Общее количество способов равно произведению числа способов для каждого шага: $1 \times 1 \times 2 \times 1 = 2$.

Ответ: 2

Способ 2: Метод исключения

Этот метод заключается в том, чтобы найти общее число всех возможных рассадок и вычесть из него число "неблагоприятных" рассадок, то есть тех, где девочки сидят вместе.

1. Найдем общее число способов рассадить 4 разных людей за круглым столом. Формула для круговых перестановок из $n$ элементов: $(n-1)!$.
Общее число способов: $(4-1)! = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.

2. Теперь найдем число способов, при которых две девочки сидят рядом. Для этого будем рассматривать двух девочек как один единый объект ("пару").

3. Теперь нам нужно рассадить 3 объекта: "пару девочек", мальчика 1 и мальчика 2. Число способов рассадить 3 объекта за круглым столом равно $(3-1)! = 2! = 2$.

4. Внутри "пары" девочки могут меняться местами друг с другом (Д1-Д2 или Д2-Д1). Это можно сделать $2! = 2$ способами.

5. Общее число "неблагоприятных" рассадок равно произведению числа способов рассадить объекты и числа перестановок внутри "пары": $2! \times 2! = 2 \times 2 = 4$.

6. Чтобы найти число "благоприятных" рассадок (где девочки не сидят рядом), вычтем из общего числа рассадок число неблагоприятных:
Число способов = (Всего способов) - (Способы, где девочки рядом) = $6 - 4 = 2$.

Ответ: 2

155. Бросили два игральных кубика. На первом выпало 3 очка, на втором — 6 очков (рис. 14). Сколькими различными способами может выпасть сумма в 9 очков? Сколькими различными способами могут выпасть очки на этих кубиках?

Рис. 14

Сколькими различными способами может выпасть сумма в 9 очков?

Чтобы найти количество способов, которыми может выпасть сумма в 9 очков при броске двух игральных кубиков, нужно перечислить все возможные пары чисел, выпадающих на кубиках, сумма которых равна 9. На каждом кубике могут выпасть числа от 1 до 6.

Обозначим число очков на первом кубике как $k_1$, а на втором — как $k_2$. Ищем все пары $(k_1, k_2)$, для которых $k_1 + k_2 = 9$.

• Если на первом кубике выпадет 3 ($k_1 = 3$), то на втором должно выпасть 6 ($k_2 = 6$), так как $3 + 6 = 9$. Пара (3, 6).
• Если на первом кубике выпадет 4 ($k_1 = 4$), то на втором должно выпасть 5 ($k_2 = 5$), так как $4 + 5 = 9$. Пара (4, 5).
• Если на первом кубике выпадет 5 ($k_1 = 5$), то на втором должно выпасть 4 ($k_2 = 4$), так как $5 + 4 = 9$. Пара (5, 4).
• Если на первом кубике выпадет 6 ($k_1 = 6$), то на втором должно выпасть 3 ($k_2 = 3$), так как $6 + 3 = 9$. Пара (6, 3).

Если на первом кубике выпадет 1 или 2, то для получения суммы 9 на втором должно выпасть 8 или 7, что невозможно. Таким образом, существует всего 4 подходящих комбинации.

Ответ: 4 способами.

Сколькими различными способами могут выпасть очки на этих кубиках?

Этот вопрос касается общего числа всех возможных исходов при броске двух кубиков. На первом кубике есть 6 возможных исходов (числа от 1 до 6). На втором кубике также есть 6 возможных исходов (числа от 1 до 6).

Поскольку результат броска одного кубика не зависит от результата броска другого, общее количество различных способов (комбинаций) можно найти по правилу умножения в комбинаторике. Нужно перемножить количество исходов для каждого кубика.

Общее число способов $N = 6 \times 6 = 36$.

Следовательно, существует 36 различных способов, которыми могут выпасть очки на двух кубиках.

Ответ: 36 способами.

156. a) На окружности отметили 6 точек (рис. 15). Сколько получится отрезков, если соединить каждую точку с каждой?

б) Встретились шесть друзей (рис. 16), каждый пожал руку каждому. Сколько было рукопожатий?

Алёша

Вова

Фёдор

Егор

Дима

Саша

Рис. 16

а)

Задача заключается в том, чтобы найти, сколько пар можно составить из 6 различных точек. Каждая пара точек однозначно определяет один отрезок. Порядок точек в паре не имеет значения (отрезок, соединяющий точку А и точку Б, — это тот же самый отрезок, что соединяет точку Б и точку А).

Можно решить задачу, последовательно подсчитывая отрезки, выходящие из каждой точки. Пронумеруем точки от 1 до 6.
1. Из первой точки можно провести 5 отрезков к точкам 2, 3, 4, 5, 6.
2. Из второй точки можно провести 4 новых отрезка к точкам 3, 4, 5, 6 (отрезок к точке 1 уже посчитан).
3. Из третьей точки можно провести 3 новых отрезка к точкам 4, 5, 6.
4. Из четвертой точки можно провести 2 новых отрезка к точкам 5, 6.
5. Из пятой точки можно провести 1 новый отрезок к точке 6.
6. Из шестой точки все отрезки уже проведены.
Сложив все новые отрезки, получим общее количество: $5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15$.

Эту же задачу можно решить с помощью формулы из комбинаторики для числа сочетаний без повторений: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, где $n$ — общее количество элементов (точек), а $k$ — количество элементов в одном сочетании (для отрезка нужно 2 точки). В нашем случае $n=6$ и $k=2$. $C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = \frac{30}{2} = 15$.

Ответ: 15 отрезков.

б)

Эта задача по своей сути аналогична предыдущей. Рукопожатие происходит между двумя людьми. Нам нужно посчитать, сколько уникальных пар можно составить из 6 друзей.

Воспользуемся тем же методом рассуждения, что и в пункте а).
Первый друг пожимает руки 5 другим друзьям.
Второй друг пожимает руки 4 оставшимся (рукопожатие с первым уже состоялось).
Третий друг пожимает руки 3 оставшимся.
Четвертый — 2 оставшимся.
Пятый — последнему, шестому другу.
Шестой друг уже обменялся рукопожатиями со всеми.
Общее количество рукопожатий равно сумме: $5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15$.

Также можно использовать общую формулу для нахождения количества рукопожатий (или пар) в группе из $n$ человек: $\frac{n(n-1)}{2}$. Подставив $n=6$, получим: $\frac{6 \times (6-1)}{2} = \frac{6 \times 5}{2} = \frac{30}{2} = 15$.

Ответ: 15 рукопожатий.

157. Восемь друзей решили провести турнир по шашкам так, чтобы каждый сыграл с каждым одну партию. Сколько партий будет сыграно?

Рис. 15

Рис. 16

Для того чтобы найти общее количество партий, нужно посчитать, сколько уникальных пар можно составить из 8 друзей, так как каждая партия играется между двумя людьми.

Эту задачу можно решить несколькими способами.

1. Логический способ рассуждения

Всего в турнире участвует 8 друзей. Каждый из них должен сыграть с 7 другими. Если мы просто умножим количество участников на количество их соперников, мы получим $8 \times 7 = 56$. Однако при таком подсчете каждая игра будет учтена дважды. Например, партия между Алёшей и Вовой будет посчитана как игра для Алёши и как игра для Вовы, хотя это одна и та же партия. Чтобы исправить это двойной счет, полученный результат необходимо разделить на 2.

Расчет: $\frac{8 \times 7}{2} = \frac{56}{2} = 28$.

2. Метод последовательного подсчета

Можно посчитать партии последовательно для каждого друга, исключая уже сыгранные:

• Первый друг сыграет с 7 остальными. Это 7 партий.
• Второй друг уже сыграл с первым, поэтому ему остается сыграть с 6 друзьями. Это 6 новых партий.
• Третий друг уже сыграл с первыми двумя, ему остается сыграть с 5 друзьями. Это 5 новых партий.
• Четвертый друг сыграет 4 новые партии.
• Пятый — 3 новые партии.
• Шестой — 2 новые партии.
• Седьмой сыграет 1 новую партию с восьмым.
• Восьмой друг к этому моменту уже сыграет со всеми.

Теперь сложим все эти уникальные партии: $7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28$.

3. Использование формулы из комбинаторики

Эта задача является классическим примером нахождения числа сочетаний. Нам нужно найти, сколько пар (сочетаний по 2) можно составить из 8 человек. Формула для числа сочетаний из $n$ элементов по $k$ выглядит так:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае $n=8$ (общее количество друзей), а $k=2$ (количество игроков в одной партии). Подставим значения в формулу:

$C_8^2 = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8!}{2! \cdot 6!} = \frac{8 \times 7 \times 6!}{2 \times 1 \times 6!} = \frac{8 \times 7}{2} = \frac{56}{2} = 28$.

Все три способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: Будет сыграно 28 партий.