Номер 152, страница 35 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Дополнения к главе 1. Задачи на перебор всех возможных вариантов. Глава 1. Отношения, пропорции, проценты - номер 152, страница 35.

Условие.

152. У круглого стола поставили четыре стула. Сколькими способами можно рассадить на эти стулья:

а) четырёх детей;

б) трёх детей;

в) двух детей?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

а) четырёх детей
Поскольку четыре стула, даже стоящие у круглого стола, являются четырьмя различными посадочными местами, данная задача сводится к нахождению числа перестановок. Нам нужно определить, сколькими способами можно рассадить 4 детей на 4 стула.
Первого ребёнка можно посадить на любой из 4 стульев. Второго — на любой из 3 оставшихся. Третьего — на один из 2 оставшихся, а последнего — на единственный свободный стул.
Общее число способов равно числу перестановок из 4 элементов, которое вычисляется по формуле $P_n = n!$.
$P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.
Ответ: 24

б) трёх детей
В этом случае нужно рассадить 3 детей на 4 стула. Так как важен не только выбор стульев, но и какой ребёнок на какой стул сядет, мы имеем дело с размещениями.
Первого ребёнка можно посадить на любой из 4 стульев.
Второго ребёнка — на любой из 3 оставшихся стульев.
Третьего ребёнка — на любой из 2 оставшихся стульев.
Общее число способов равно $4 \times 3 \times 2 = 24$.
Это соответствует формуле для числа размещений из $n$ элементов по $k$: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.
Для $n=4$ (стулья) и $k=3$ (дети):
$A_4^3 = \frac{4!}{(4-3)!} = \frac{4!}{1!} = 24$.
Ответ: 24

в) двух детей
Нужно рассадить 2 детей на 4 стула. Аналогично предыдущему пункту, это задача на нахождение числа размещений, так как порядок рассадки важен.
Первого ребёнка можно посадить на любой из 4 стульев, а второго — на любой из 3 оставшихся.
Общее число способов равно $4 \times 3 = 12$.
Используя формулу для числа размещений $A_n^k$ с $n=4$ и $k=2$:
$A_4^2 = \frac{4!}{(4-2)!} = \frac{4!}{2!} = \frac{24}{2} = 12$.
Ответ: 12