Номер 158, страница 36 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Дополнения к главе 1. Задачи на перебор всех возможных вариантов. Глава 1. Отношения, пропорции, проценты - номер 158, страница 36.

Условие.

158. Несколько приятелей при встрече обменялись рукопожатиями. Только Вася Угрюмов был не в духе и пожал руку не всем своим приятелям. Всего было 13 рукопожатий. Скольким приятелям Вася пожал руку?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Пусть $n$ — общее количество приятелей. Если бы все $n$ приятелей обменялись рукопожатиями друг с другом, общее число рукопожатий составило бы $C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$.

В условии сказано, что было совершено 13 рукопожатий, и только Вася пожал руку не всем. Это означает, что если бы Вася пожал руки всем, рукопожатий было бы больше 13. Следовательно, мы можем найти общее число приятелей $n$, подобрав такое минимальное значение, при котором $\frac{n(n-1)}{2} > 13$.

Проверим несколько значений $n$:

При $n=5$, максимальное число рукопожатий $\frac{5 \cdot (5-1)}{2} = 10$. Это меньше 13, значит, приятелей было больше.

При $n=6$, максимальное число рукопожатий $\frac{6 \cdot (6-1)}{2} = 15$. Это больше 13, так что это возможное общее количество приятелей.

Итак, предположим, что всего было 6 приятелей. Если бы все обменялись рукопожатиями, их было бы 15. По условию, их было 13. Разница $15 - 13 = 2$.

Эта разница в 2 рукопожатия возникла из-за того, что Вася не пожал руки некоторым своим приятелям. Поскольку все остальные приятели пожали друг другу руки, то недостающие 2 рукопожатия — это те, которые должен был сделать Вася. Это означает, что Вася не пожал руку двоим.

Всего у Васи было $n-1 = 6-1 = 5$ приятелей. Если он не пожал руку двоим, то он пожал руку $5 - 2 = 3$ приятелям.

Можно проверить этот вывод другим способом. Группа из 5 приятелей (без Васи) совершила между собой $\frac{5 \cdot (5-1)}{2} = 10$ рукопожатий. К этому числу нужно прибавить рукопожатия, которые сделал Вася. Если он пожал руку троим, то общее число рукопожатий будет $10 + 3 = 13$, что соответствует условию задачи.

Если бы приятелей было $n=7$, то максимальное число рукопожатий было бы $\frac{7 \cdot (7-1)}{2} = 21$. Тогда разница составила бы $21 - 13 = 8$. Это означало бы, что Вася не пожал руку 8 приятелям, что невозможно, так как у него их всего $7-1=6$.

Таким образом, единственно верный вариант: всего было 6 приятелей.

Ответ: Вася пожал руку 3 приятелям.