Номер 156, страница 35 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Дополнения к главе 1. Задачи на перебор всех возможных вариантов. Глава 1. Отношения, пропорции, проценты - номер 156, страница 35.

Условие.

156. a) На окружности отметили 6 точек (рис. 15). Сколько получится отрезков, если соединить каждую точку с каждой?

б) Встретились шесть друзей (рис. 16), каждый пожал руку каждому. Сколько было рукопожатий?

Алёша

Вова

Фёдор

Егор

Дима

Саша

Рис. 16

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

а)

Задача заключается в том, чтобы найти, сколько пар можно составить из 6 различных точек. Каждая пара точек однозначно определяет один отрезок. Порядок точек в паре не имеет значения (отрезок, соединяющий точку А и точку Б, — это тот же самый отрезок, что соединяет точку Б и точку А).

Можно решить задачу, последовательно подсчитывая отрезки, выходящие из каждой точки. Пронумеруем точки от 1 до 6.
1. Из первой точки можно провести 5 отрезков к точкам 2, 3, 4, 5, 6.
2. Из второй точки можно провести 4 новых отрезка к точкам 3, 4, 5, 6 (отрезок к точке 1 уже посчитан).
3. Из третьей точки можно провести 3 новых отрезка к точкам 4, 5, 6.
4. Из четвертой точки можно провести 2 новых отрезка к точкам 5, 6.
5. Из пятой точки можно провести 1 новый отрезок к точке 6.
6. Из шестой точки все отрезки уже проведены.
Сложив все новые отрезки, получим общее количество: $5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15$.

Эту же задачу можно решить с помощью формулы из комбинаторики для числа сочетаний без повторений: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, где $n$ — общее количество элементов (точек), а $k$ — количество элементов в одном сочетании (для отрезка нужно 2 точки). В нашем случае $n=6$ и $k=2$. $C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = \frac{30}{2} = 15$.

Ответ: 15 отрезков.

б)

Эта задача по своей сути аналогична предыдущей. Рукопожатие происходит между двумя людьми. Нам нужно посчитать, сколько уникальных пар можно составить из 6 друзей.

Воспользуемся тем же методом рассуждения, что и в пункте а).
Первый друг пожимает руки 5 другим друзьям.
Второй друг пожимает руки 4 оставшимся (рукопожатие с первым уже состоялось).
Третий друг пожимает руки 3 оставшимся.
Четвертый — 2 оставшимся.
Пятый — последнему, шестому другу.
Шестой друг уже обменялся рукопожатиями со всеми.
Общее количество рукопожатий равно сумме: $5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15$.

Также можно использовать общую формулу для нахождения количества рукопожатий (или пар) в группе из $n$ человек: $\frac{n(n-1)}{2}$. Подставив $n=6$, получим: $\frac{6 \times (6-1)}{2} = \frac{6 \times 5}{2} = \frac{30}{2} = 15$.

Ответ: 15 рукопожатий.