Номер 154, страница 35 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Дополнения к главе 1. Задачи на перебор всех возможных вариантов. Глава 1. Отношения, пропорции, проценты - номер 154, страница 35.

Условие.

154. Двух мальчиков и двух девочек надо рассадить за круглым столом с четырьмя стульями так, чтобы девочки не оказались рядом. Сколькими способами это можно сделать?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Эту задачу можно решить двумя способами.

Способ 1: Прямой подсчет

Условие, что девочки не сидят рядом за круглым столом с четырьмя стульями, означает, что они должны сидеть друг напротив друга. Это, в свою очередь, означает, что мальчики также должны сидеть друг напротив друга, и рассадка будет чередующейся: Мальчик-Девочка-Мальчик-Девочка.

1. Посадим одного из мальчиков (М1) на любое место. Так как стол круглый и места изначально неразличимы, это можно сделать одним способом (мы фиксируем это место как точку отсчета).

2. Чтобы рассадка была чередующейся, второй мальчик (М2) должен сесть напротив М1. Для него есть только одно подходящее место.

3. Теперь остались два свободных стула для двух девочек (Д1 и Д2). Эти места уже различимы относительно сидящих мальчиков. Первую девочку можно посадить на любое из двух свободных мест (2 способа).

4. Вторая девочка должна занять последнее оставшееся место (1 способ).

Общее количество способов равно произведению числа способов для каждого шага: $1 \times 1 \times 2 \times 1 = 2$.

Ответ: 2

Способ 2: Метод исключения

Этот метод заключается в том, чтобы найти общее число всех возможных рассадок и вычесть из него число "неблагоприятных" рассадок, то есть тех, где девочки сидят вместе.

1. Найдем общее число способов рассадить 4 разных людей за круглым столом. Формула для круговых перестановок из $n$ элементов: $(n-1)!$.
Общее число способов: $(4-1)! = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.

2. Теперь найдем число способов, при которых две девочки сидят рядом. Для этого будем рассматривать двух девочек как один единый объект ("пару").

3. Теперь нам нужно рассадить 3 объекта: "пару девочек", мальчика 1 и мальчика 2. Число способов рассадить 3 объекта за круглым столом равно $(3-1)! = 2! = 2$.

4. Внутри "пары" девочки могут меняться местами друг с другом (Д1-Д2 или Д2-Д1). Это можно сделать $2! = 2$ способами.

5. Общее число "неблагоприятных" рассадок равно произведению числа способов рассадить объекты и числа перестановок внутри "пары": $2! \times 2! = 2 \times 2 = 4$.

6. Чтобы найти число "благоприятных" рассадок (где девочки не сидят рядом), вычтем из общего числа рассадок число неблагоприятных:
Число способов = (Всего способов) - (Способы, где девочки рядом) = $6 - 4 = 2$.

Ответ: 2