Страница 39 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

162. Бросают игральный кубик. Подсчитайте вероятность события:

a) A: «выпадает 5 очков»;

б) B: «выпадает чётное число очков»;

в) C: «выпадает нечётное число очков»;

г) D: «выпадает число очков, кратное 3».

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности. Вероятность события $P$ равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов $m$ к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов $n$, образующих полную группу. Формула: $P = \frac{m}{n}$.
При броске игрального кубика возможно 6 исходов: выпадение 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков. Следовательно, общее число исходов $n=6$ для всех случаев.

а) A: «выпадает 5 очков»
Событию А благоприятствует только один исход — выпадение грани с 5 очками. Таким образом, число благоприятных исходов $m=1$.
Вероятность события А: $P(A) = \frac{m}{n} = \frac{1}{6}$.
Ответ: $\frac{1}{6}$.

б) B: «выпадает чётное число очков»
Событию В благоприятствуют исходы, при которых выпадает чётное число очков. На гранях кубика есть три чётных числа: 2, 4, 6. Таким образом, число благоприятных исходов $m=3$.
Вероятность события B: $P(B) = \frac{m}{n} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

в) C: «выпадает нечётное число очков»
Событию С благоприятствуют исходы, при которых выпадает нечётное число очков. На гранях кубика есть три нечётных числа: 1, 3, 5. Таким образом, число благоприятных исходов $m=3$.
Вероятность события C: $P(C) = \frac{m}{n} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

г) D: «выпадает число очков, кратное 3»
Событию D благоприятствуют исходы, при которых выпавшее число очков делится на 3. Среди чисел от 1 до 6 таких чисел два: 3 и 6. Таким образом, число благоприятных исходов $m=2$.
Вероятность события D: $P(D) = \frac{m}{n} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$.

163. Задачи Даламбера.

а) Монета бросается два раза. Какова вероятность того, что хотя бы один раз выпадет герб?

б) Монета бросается три раза. Какова вероятность того, что герб выпадет по крайней мере один раз?

а)

При двукратном бросании монеты существует $n = 2^2 = 4$ равновероятных исхода. Обозначим герб как «Г», а решку как «Р». Все возможные исходы:

• ГГ (герб, герб)
• ГР (герб, решка)
• РГ (решка, герб)
• РР (решка, решка)

Событие, вероятность которого нужно найти, — «хотя бы один раз выпадет герб». Этому событию благоприятствуют $m=3$ исхода: ГГ, ГР, РГ.

Вероятность события находится по классической формуле вероятности: $P = \frac{m}{n}$.

Подставляя наши значения, получаем:

$P = \frac{3}{4}$

Другой способ решения — через противоположное событие. Противоположным событием будет «герб не выпадет ни разу», то есть оба раза выпадет решка. Этому событию соответствует только один исход — РР. Вероятность этого события равна $\frac{1}{4}$.

Вероятность искомого события равна разности между 1 и вероятностью противоположного события:

$P = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

Ответ: $\frac{3}{4}$

б)

При троекратном бросании монеты общее число всех равновероятных исходов равно $n = 2^3 = 8$.

Событие, вероятность которого нужно найти, — «герб выпадет по крайней мере один раз». Для решения этой задачи удобнее найти вероятность противоположного события — «герб не выпадет ни разу» (то есть все три раза выпадет решка).

Этому противоположному событию благоприятствует только один исход из восьми возможных — РРР.

Вероятность того, что герб не выпадет ни разу, равна:

$P(\text{нет герба}) = \frac{1}{8}$

Тогда вероятность искомого события (что герб выпадет по крайней мере один раз) равна разности между 1 и вероятностью противоположного события:

$P(\text{хотя бы один герб}) = 1 - P(\text{нет герба}) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$

Ответ: $\frac{7}{8}$

164. Из ящика, где находятся 2 чёрных и 5 белых шаров, вынут на- угад один шар. Какова вероятность того, что вынут:

а) чёрный шар;

б) белый шар?

Для решения этой задачи воспользуемся классическим определением вероятности. Вероятность события $P$ равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов $m$ к общему числу всех равновозможных исходов $n$.

Формула для расчёта вероятности: $P = \frac{m}{n}$.

Сначала определим общее число шаров в ящике. В ящике находятся 2 чёрных и 5 белых шаров.

Общее число шаров (равновозможных исходов) $n$ равно:

$n = 2 + 5 = 7$.

Теперь рассчитаем вероятность для каждого случая.

а) чёрный шар;

Событие заключается в том, что вынут чёрный шар. Число благоприятствующих этому событию исходов $m$ равно количеству чёрных шаров, то есть $m = 2$.

Вероятность вынуть чёрный шар:

$P(\text{чёрный}) = \frac{m}{n} = \frac{2}{7}$.

Ответ: $\frac{2}{7}$

б) белый шар?

Событие заключается в том, что вынут белый шар. Число благоприятствующих этому событию исходов $m$ равно количеству белых шаров, то есть $m = 5$.

Вероятность вынуть белый шар:

$P(\text{белый}) = \frac{m}{n} = \frac{5}{7}$.

Ответ: $\frac{5}{7}$

165. Подбросьте монету 50 раз. Сколько раз выпал орёл?

Этот вопрос относится к области теории вероятностей. Результат подбрасывания монеты является случайным событием, поэтому невозможно дать абсолютно точный ответ, сколько раз выпадет орёл в конкретной серии из 50 бросков. Каждый такой эксперимент может дать разный результат.

Тем не менее, мы можем рассчитать наиболее вероятное количество выпадений орла, используя математическое ожидание.

1. Вероятность одного события. При одном броске идеальной монеты есть два равновероятных исхода: «орёл» и «решка». Вероятность выпадения орла равна:

$P(орёл) = \frac{1}{2}$

2. Математическое ожидание. Это среднее значение случайной величины, которое мы ожидаем получить. Для серии независимых испытаний (бросков монеты) оно вычисляется по формуле:

$E(X) = n \times p$

где:

• $n$ — общее количество испытаний (в данном случае, 50 бросков).
• $p$ — вероятность успеха в одном испытании (вероятность выпадения орла, равная $\frac{1}{2}$).

3. Расчёт. Подставим наши значения в формулу:

$E(X) = 50 \times \frac{1}{2} = 25$

Таким образом, математическое ожидание числа выпадений орла при 50 бросках составляет 25. Это означает, что 25 — наиболее вероятный результат. В реальном эксперименте число выпавших орлов будет, скорее всего, близко к 25, но может и отличаться.

Ответ: Точное количество выпадений орла предсказать невозможно, так как это случайный процесс. Однако теоретически наиболее вероятное количество выпадений орла равно 25.

166. На двух карточках написали буквы А и Д, положили карточки на стол буквами вниз в произвольном порядке (рис. 19, а). Какова вероятность того, что после переворачивания карточек получится слово «ДА» (рис. 19, б)?

166.

Вероятность события вычисляется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу всех равновозможных исходов.

У нас есть две карточки с буквами А и Д. Общее число возможных способов расположить эти две карточки (общее число исходов) равно числу перестановок из двух элементов.

Общее число исходов $N$ равно $2!$ (факториал двух).

$N = 2! = 1 \times 2 = 2$.

Возможные варианты расположения карточек: «АД» и «ДА». Всего 2 равновозможных исхода.

Благоприятным исходом является тот, при котором получается слово «ДА». Такой исход только один. Следовательно, число благоприятных исходов $m = 1$.

Вероятность $P$ данного события равна:

$P = \frac{m}{N} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

167.

На трех карточках написаны буквы Е, Н, Т. Карточки раскладывают в произвольном порядке.

Общее число возможных исходов $N$ равно числу перестановок из трех различных элементов.

$N = 3! = 1 \times 2 \times 3 = 6$.

Всего существует 6 возможных комбинаций букв: ЕНТ, ЕТН, НЕТ, НТЕ, ТЕН, ТНЕ.

Благоприятным является только один исход — получение слова «НЕТ». Таким образом, число благоприятных исходов $m = 1$.

Вероятность $P$ того, что получится слово «НЕТ», вычисляется по формуле:

$P = \frac{m}{N} = \frac{1}{6}$

Ответ: $\frac{1}{6}$

168.

На четырех карточках написаны буквы К, О, Л, Я. Карточки раскладывают в произвольном порядке.

Общее число возможных исходов $N$ равно числу перестановок из четырех различных элементов.

$N = 4! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 = 24$.

Благоприятным является только один исход — получение имени «КОЛЯ». Следовательно, число благоприятных исходов $m = 1$.

Вероятность $P$ того, что получится имя «КОЛЯ», вычисляется по формуле:

$P = \frac{m}{N} = \frac{1}{24}$

Ответ: $\frac{1}{24}$

167. На трёх карточках написали буквы Е, Н, Т, положили карточки на стол буквами вниз в произвольном порядке. Какова вероятность того, что после переворачивания карточек получится слово «НЕТ»?

Для решения этой задачи используется классическое определение вероятности. Вероятность события $P$ вычисляется как отношение числа благоприятных исходов $m$ к общему числу всех равновозможных исходов $n$:

$P = \frac{m}{n}$

Сначала найдем общее число всех возможных исходов $n$. У нас есть три различные карточки с буквами Е, Н, Т. Общее число исходов равно числу всех возможных способов расположить эти три карточки в ряд, то есть числу перестановок из трёх элементов.

Число перестановок из $k$ элементов вычисляется по формуле $k!$ (k-факториал). В нашем случае $k=3$, поэтому:

$n = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$

Таким образом, существует 6 возможных способов разложить карточки. Вот они: ЕНТ, ЕТН, НЕТ, НТЕ, ТЕН, ТНЕ.

Далее найдем число благоприятных исходов $m$. Благоприятный исход — это тот, при котором получается слово «НЕТ». Из всех шести возможных комбинаций только одна является словом «НЕТ». Следовательно, число благоприятных исходов:

$m = 1$

Теперь мы можем рассчитать искомую вероятность:

$P(\text{«НЕТ»}) = \frac{m}{n} = \frac{1}{6}$

Ответ: $\frac{1}{6}$

168. На четырёх карточках написали буквы К, О, Л, Я, положили карточки на стол буквами вниз в произвольном порядке. Какова вероятность того, что после переворачивания карточек получится имя КОЛЯ?

Для решения задачи по теории вероятностей нам нужно определить общее количество возможных исходов и количество благоприятных исходов.

Вероятность события вычисляется по классической формуле:

$P = \frac{m}{n}$, где

• $m$ — число благоприятных исходов (когда получается слово "КОЛЯ").
• $n$ — общее число всех возможных исходов (все возможные комбинации букв).

1. Сначала найдем общее число возможных исходов ($n$). У нас есть 4 разные буквы: К, О, Л, Я. Количество способов, которыми можно расположить 4 различных предмета в ряд, равно числу перестановок из 4 элементов. Оно вычисляется как факториал числа 4:

$n = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.

Таким образом, существует 24 возможных способа разложить карточки.

2. Теперь найдем число благоприятных исходов ($m$). Благоприятный исход — это тот, при котором карточки образуют имя "КОЛЯ". Это только одна конкретная последовательность букв. Следовательно, число благоприятных исходов равно 1.

$m = 1$.

3. Наконец, вычислим вероятность, подставив наши значения в формулу:

$P = \frac{m}{n} = \frac{1}{24}$.

Ответ: $\frac{1}{24}$

169. На четырёх карточках написали буквы А, С, А, Ш, положили карточки на стол буквами вниз в произвольном порядке. Какова вероятность того, что после переворачивания карточек получится имя САША?

Для решения этой задачи воспользуемся классическим определением вероятности, согласно которому вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу всех равновозможных исходов.

1. Найдем общее число всех возможных исходов.

У нас есть четыре карточки с буквами: А, С, А, Ш. Общее число исходов — это количество всех возможных перестановок (способов расположения) этих четырех букв. Поскольку буква "А" повторяется дважды, это является перестановкой с повторениями. Общее число перестановок $N$ для набора из $n$ элементов, где некоторые элементы повторяются, вычисляется по формуле:

$N = \frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdot ... \cdot n_k!}$

В нашем случае всего $n=4$ карточки. Из них:

• буква "А" повторяется 2 раза ($n_A = 2$);
• буква "С" встречается 1 раз ($n_C = 1$);
• буква "Ш" встречается 1 раз ($n_Ш = 1$).

Подставим эти значения в формулу:

$N = \frac{4!}{2! \cdot 1! \cdot 1!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \times 1 \times 1} = \frac{24}{2} = 12$

Таким образом, существует 12 различных способов расположить эти четыре карточки. Это и есть общее число всех возможных исходов.

2. Найдем число благоприятных исходов.

Благоприятный исход — это тот, при котором карточки образуют имя "САША". Такой вариант расположения букв (С, А, Ш, А) только один.

Следовательно, число благоприятных исходов равно 1.

3. Вычислим вероятность.

Вероятность $P$ того, что получится имя "САША", равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$P = \frac{\text{Число благоприятных исходов}}{\text{Общее число исходов}} = \frac{1}{12}$

Ответ: $\frac{1}{12}$

170. Синоптики обещают на следующей неделе 2 солнечных дня и 5 пасмурных. Какое событие более вероятно: «воскресенье — солнечный день» или «воскресенье — пасмурный день»?

Для решения этой задачи необходимо сравнить вероятности двух событий: «воскресенье — солнечный день» и «воскресенье — пасмурный день». Вероятность события определяется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу всех равновозможных исходов.

В неделе 7 дней. По условию, на следующей неделе ожидается 2 солнечных дня и 5 пасмурных дней. Мы предполагаем, что любой из 7 дней недели с равной вероятностью может быть солнечным или пасмурным в соответствии с общим количеством таких дней.

1. Найдем вероятность события A: «воскресенье — солнечный день».
Общее число дней в неделе (общее число исходов) равно 7.
Число солнечных дней (благоприятных исходов) равно 2.
Вероятность того, что воскресенье будет солнечным, равна:

$P(A) = \frac{2}{7}$

2. Найдем вероятность события B: «воскресенье — пасмурный день».
Общее число дней в неделе по-прежнему равно 7.
Число пасмурных дней (благоприятных исходов) равно 5.
Вероятность того, что воскресенье будет пасмурным, равна:

$P(B) = \frac{5}{7}$

3. Сравним вероятности.
Сравнивая полученные значения, мы видим, что $\frac{5}{7} > \frac{2}{7}$.
Это означает, что вероятность того, что воскресенье будет пасмурным, выше, чем вероятность того, что оно будет солнечным.

Ответ: более вероятно событие «воскресенье — пасмурный день».

171. Из 28 костей домино выбирают наугад одну кость (на рисунке 20 изображена кость с суммой очков 11). Какова вероятность выбрать кость с суммой очков:

a) 0;

б) 2;

в) 6;

г) 10?

Рис. 20

Для решения задачи воспользуемся классической формулой вероятности: $P = \frac{m}{n}$, где $n$ – общее число возможных исходов, а $m$ – число исходов, благоприятствующих событию.

В стандартном наборе домино 28 костей, следовательно, общее число возможных исходов $n=28$.

а) Найдём вероятность выбрать кость с суммой очков 0.
Сумму очков, равную 0, имеет только одна кость в наборе: (0, 0).
Число благоприятствующих исходов $m = 1$.
Вероятность этого события равна: $P = \frac{1}{28}$.
Ответ: $\frac{1}{28}$.

б) Найдём вероятность выбрать кость с суммой очков 2.
Сумму очков, равную 2, имеют две кости: (0, 2) и (1, 1).
Число благоприятствующих исходов $m = 2$.
Вероятность этого события равна: $P = \frac{2}{28} = \frac{1}{14}$.
Ответ: $\frac{1}{14}$.

в) Найдём вероятность выбрать кость с суммой очков 6.
Сумму очков, равную 6, имеют четыре кости: (0, 6), (1, 5), (2, 4) и (3, 3).
Число благоприятствующих исходов $m = 4$.
Вероятность этого события равна: $P = \frac{4}{28} = \frac{1}{7}$.
Ответ: $\frac{1}{7}$.

г) Найдём вероятность выбрать кость с суммой очков 10.
Сумму очков, равную 10, имеют две кости: (4, 6) и (5, 5).
Число благоприятствующих исходов $m = 2$.
Вероятность этого события равна: $P = \frac{2}{28} = \frac{1}{14}$.
Ответ: $\frac{1}{14}$.