Страница 44 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

195. Две фигуры называют равновеликими, если их площади равны.

а) Постройте прямоугольник со сторонами 6 см и 4 см. Постройте два прямоугольника, равновеликие с построенным.

б) Какие стороны может иметь прямоугольник, равновеликий квадрату со стороной 8 см?

в) Какой наибольший периметр имеет прямоугольник, равновеликий квадрату со стороной 10 см?

Стороны прямоугольников выражаются натуральными числами.

а) По определению, равновеликие фигуры имеют равные площади. Сначала найдем площадь прямоугольника со сторонами 6 см и 4 см.
Площадь прямоугольника $S$ вычисляется по формуле $S = a \cdot b$, где $a$ и $b$ – его стороны.
$S = 6 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} = 24 \text{ см}^2$.
Теперь необходимо построить два других прямоугольника с такой же площадью. Согласно условию, их стороны должны быть выражены натуральными числами. Это означает, что нам нужно найти две пары натуральных чисел, произведение которых равно 24.
Найдем все пары множителей для числа 24:
$1 \cdot 24 = 24$
$2 \cdot 12 = 24$
$3 \cdot 8 = 24$
$4 \cdot 6 = 24$
Исходный прямоугольник имеет стороны 4 см и 6 см. В качестве двух других равновеликих прямоугольников мы можем взять, например, прямоугольник со сторонами 2 см и 12 см и прямоугольник со сторонами 3 см и 8 см. Их площади также будут равны 24 см².
Ответ: Можно построить прямоугольники со сторонами 2 см и 12 см, а также 3 см и 8 см (или 1 см и 24 см).

б) Сначала найдем площадь квадрата со стороной 8 см. Площадь квадрата $S$ со стороной $a$ вычисляется по формуле $S = a^2$.
$S = (8 \text{ см})^2 = 64 \text{ см}^2$.
Прямоугольник, равновеликий этому квадрату, должен иметь такую же площадь, то есть 64 см². Нам нужно найти все возможные пары натуральных чисел (длины сторон прямоугольника), произведение которых равно 64.
Пары множителей для числа 64:
$1 \cdot 64 = 64$
$2 \cdot 32 = 64$
$4 \cdot 16 = 64$
$8 \cdot 8 = 64$
Следовательно, стороны такого прямоугольника могут быть: 1 см и 64 см; 2 см и 32 см; 4 см и 16 см; 8 см и 8 см.
Ответ: Прямоугольник, равновеликий квадрату со стороной 8 см, может иметь стороны: 1 см и 64 см; 2 см и 32 см; 4 см и 16 см; 8 см и 8 см.

в) Найдем площадь квадрата со стороной 10 см.
$S = (10 \text{ см})^2 = 100 \text{ см}^2$.
Прямоугольник, равновеликий этому квадрату, должен иметь площадь 100 см². Пусть его стороны равны $a$ и $b$. Тогда $a \cdot b = 100$, где $a$ и $b$ – натуральные числа.
Периметр прямоугольника $P$ вычисляется по формуле $P = 2 \cdot (a + b)$. Нам нужно найти наибольший возможный периметр.
Для этого найдем все пары натуральных чисел $(a, b)$, произведение которых равно 100, и для каждой пары вычислим периметр:
1. Стороны: 1 см и 100 см. Периметр: $P = 2 \cdot (1 + 100) = 2 \cdot 101 = 202$ см.
2. Стороны: 2 см и 50 см. Периметр: $P = 2 \cdot (2 + 50) = 2 \cdot 52 = 104$ см.
3. Стороны: 4 см и 25 см. Периметр: $P = 2 \cdot (4 + 25) = 2 \cdot 29 = 58$ см.
4. Стороны: 5 см и 20 см. Периметр: $P = 2 \cdot (5 + 20) = 2 \cdot 25 = 50$ см.
5. Стороны: 10 см и 10 см. Периметр: $P = 2 \cdot (10 + 10) = 2 \cdot 20 = 40$ см.
Сравнивая полученные значения, видим, что наибольший периметр имеет прямоугольник со сторонами 1 см и 100 см.
Ответ: Наибольший периметр равен 202 см.

ДОКАЗЫВАЕМ

916. Две равные фигуры наложили друг на друга (рис. 24). Докажите, что площади закрашенных фигур равны.

Рис. 24

Обозначим первую фигуру (синий прямоугольник) как $F_1$, а вторую фигуру (коричневый прямоугольник) как $F_2$.

По условию задачи, фигуры $F_1$ и $F_2$ равны. Равные фигуры имеют равные площади. Обозначим эту площадь как $S$. Таким образом, площадь первой фигуры $S_{F_1} = S$, и площадь второй фигуры $S_{F_2} = S$.

Каждая из этих фигур состоит из двух частей:

• Общая часть, где фигуры пересекаются. Обозначим её площадь как $S_{общ}$.
• Непересекающаяся (закрашенная) часть. Обозначим площадь закрашенной части фигуры $F_1$ как $S_1$, а площадь закрашенной части фигуры $F_2$ как $S_2$.

Тогда площадь всей первой фигуры можно выразить как сумму площадей её закрашенной и общей частей:

$S_{F_1} = S_1 + S_{общ}$

Аналогично, площадь всей второй фигуры равна:

$S_{F_2} = S_2 + S_{общ}$

Поскольку $S_{F_1} = S_{F_2} = S$, мы можем приравнять выражения для их площадей:

$S_1 + S_{общ} = S_2 + S_{общ}$

Теперь вычтем из обеих частей этого равенства площадь их общей части $S_{общ}$:

$S_1 = S_2$

Следовательно, площади закрашенных частей фигур равны. Что и требовалось доказать.

Ответ: Площади закрашенных фигур равны, так как каждая из них равна разности между площадью исходной фигуры и площадью их общей части.

197. Вычислите площадь треугольника (рис. 25).

а) б) в) Рис. 25

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}ah$, где $a$ — основание, а $h$ — высота. В данном случае треугольник ABD является прямоугольным, поэтому в качестве основания и высоты можно взять его катеты AD и BD. Примем сторону одной клетки за единицу. По рисунку определяем длины катетов: $AD = 3$, $BD = 4$.
Вычисляем площадь: $S = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$.
Ответ: 6

Треугольник BDC является прямоугольным с катетами DC и BD. Его площадь равна половине произведения длин его катетов. Примем сторону одной клетки за единицу. По рисунку определяем длины катетов: $DC = 4$, $BD = 4$.
Вычисляем площадь: $S = \frac{1}{2} \cdot DC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8$.
Ответ: 8

Для вычисления площади треугольника ABC используем формулу $S = \frac{1}{2}ah$. В качестве основания $a$ возьмем сторону AC, а в качестве высоты $h$ — проведенный к ней перпендикуляр BD. Примем сторону одной клетки за единицу. По рисунку определяем их длины: основание $AC = AD + DC = 3 + 3 = 6$; высота $BD = 4$.
Вычисляем площадь: $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12$.
Ответ: 12

198. На рисунке 26 изображён параллелограмм (четырёхугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны). Вычислите его площадь, если $AD = 3$ см. $BK = 2$ см.

Рис. 26

Площадь параллелограмма ($S$) равна произведению его основания ($a$) на высоту ($h$), проведённую к этому основанию. Формула для расчёта площади выглядит следующим образом: $S = a \cdot h$.

В данной задаче в качестве основания параллелограмма выступает сторона $AD$, а высотой, проведённой к этому основанию, является отрезок $BK$.

Из условия нам известны следующие значения:
Длина основания $AD = 3$ см.
Длина высоты $BK = 2$ см.

Подставим эти значения в формулу для вычисления площади:
$S = AD \cdot BK = 3 \text{ см} \cdot 2 \text{ см} = 6 \text{ см}^2$.

Ответ: 6 см².

199. На рисунке 27 изображена трапеция (четырёхугольник, две стороны которого параллельны, а две другие — не параллельны). Вычислите её площадь, если AD = 5 см, BC = 2 см, BK = 2 см.

Рис. 25

a)

б)

в)

Рис. 26

Рис. 27

Для вычисления площади трапеции используется формула, которая гласит, что площадь равна произведению полусуммы её оснований на высоту. Математически это выражается так:

$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$,

где $a$ и $b$ — это длины параллельных оснований трапеции, а $h$ — её высота.

В данной задаче, рассматривая трапецию ABCD на рисунке 27, мы имеем следующие известные значения из условия:

Длина нижнего основания $a = AD = 5$ см.
Длина верхнего основания $b = BC = 2$ см.
Высота $h = BK = 2$ см. (так как BK перпендикулярен основанию AD).

Теперь подставим эти значения в формулу для вычисления площади:

$S = \frac{AD + BC}{2} \cdot BK$

$S = \frac{5 \text{ см} + 2 \text{ см}}{2} \cdot 2 \text{ см}$

Выполним расчёт:

$S = \frac{7 \text{ см}}{2} \cdot 2 \text{ см} = 7 \text{ см}^2$

Площадь трапеции равна 7 квадратных сантиметров.

Ответ: $7 \text{ см}^2$.