Номер 195, страница 44 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Отношения, пропорции, проценты. Дополнения к главе 1. Занимательные задачи - номер 195, страница 44.

Условие.

195. Две фигуры называют равновеликими, если их площади равны.

а) Постройте прямоугольник со сторонами 6 см и 4 см. Постройте два прямоугольника, равновеликие с построенным.

б) Какие стороны может иметь прямоугольник, равновеликий квадрату со стороной 8 см?

в) Какой наибольший периметр имеет прямоугольник, равновеликий квадрату со стороной 10 см?

Стороны прямоугольников выражаются натуральными числами.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

а) По определению, равновеликие фигуры имеют равные площади. Сначала найдем площадь прямоугольника со сторонами 6 см и 4 см.
Площадь прямоугольника $S$ вычисляется по формуле $S = a \cdot b$, где $a$ и $b$ – его стороны.
$S = 6 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} = 24 \text{ см}^2$.
Теперь необходимо построить два других прямоугольника с такой же площадью. Согласно условию, их стороны должны быть выражены натуральными числами. Это означает, что нам нужно найти две пары натуральных чисел, произведение которых равно 24.
Найдем все пары множителей для числа 24:
$1 \cdot 24 = 24$
$2 \cdot 12 = 24$
$3 \cdot 8 = 24$
$4 \cdot 6 = 24$
Исходный прямоугольник имеет стороны 4 см и 6 см. В качестве двух других равновеликих прямоугольников мы можем взять, например, прямоугольник со сторонами 2 см и 12 см и прямоугольник со сторонами 3 см и 8 см. Их площади также будут равны 24 см².
Ответ: Можно построить прямоугольники со сторонами 2 см и 12 см, а также 3 см и 8 см (или 1 см и 24 см).

б) Сначала найдем площадь квадрата со стороной 8 см. Площадь квадрата $S$ со стороной $a$ вычисляется по формуле $S = a^2$.
$S = (8 \text{ см})^2 = 64 \text{ см}^2$.
Прямоугольник, равновеликий этому квадрату, должен иметь такую же площадь, то есть 64 см². Нам нужно найти все возможные пары натуральных чисел (длины сторон прямоугольника), произведение которых равно 64.
Пары множителей для числа 64:
$1 \cdot 64 = 64$
$2 \cdot 32 = 64$
$4 \cdot 16 = 64$
$8 \cdot 8 = 64$
Следовательно, стороны такого прямоугольника могут быть: 1 см и 64 см; 2 см и 32 см; 4 см и 16 см; 8 см и 8 см.
Ответ: Прямоугольник, равновеликий квадрату со стороной 8 см, может иметь стороны: 1 см и 64 см; 2 см и 32 см; 4 см и 16 см; 8 см и 8 см.

в) Найдем площадь квадрата со стороной 10 см.
$S = (10 \text{ см})^2 = 100 \text{ см}^2$.
Прямоугольник, равновеликий этому квадрату, должен иметь площадь 100 см². Пусть его стороны равны $a$ и $b$. Тогда $a \cdot b = 100$, где $a$ и $b$ – натуральные числа.
Периметр прямоугольника $P$ вычисляется по формуле $P = 2 \cdot (a + b)$. Нам нужно найти наибольший возможный периметр.
Для этого найдем все пары натуральных чисел $(a, b)$, произведение которых равно 100, и для каждой пары вычислим периметр:
1. Стороны: 1 см и 100 см. Периметр: $P = 2 \cdot (1 + 100) = 2 \cdot 101 = 202$ см.
2. Стороны: 2 см и 50 см. Периметр: $P = 2 \cdot (2 + 50) = 2 \cdot 52 = 104$ см.
3. Стороны: 4 см и 25 см. Периметр: $P = 2 \cdot (4 + 25) = 2 \cdot 29 = 58$ см.
4. Стороны: 5 см и 20 см. Периметр: $P = 2 \cdot (5 + 20) = 2 \cdot 25 = 50$ см.
5. Стороны: 10 см и 10 см. Периметр: $P = 2 \cdot (10 + 10) = 2 \cdot 20 = 40$ см.
Сравнивая полученные значения, видим, что наибольший периметр имеет прямоугольник со сторонами 1 см и 100 см.
Ответ: Наибольший периметр равен 202 см.