Страница 47 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

202. Как называют числа, расположенные в ряду целых чисел:

а) справа от нуля?

б) слева от нуля?

а) Ряд целых чисел ($Z$) представляет собой множество, включающее отрицательные числа, ноль и положительные числа: $Z = \{\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots\}$. На числовой прямой числа, расположенные справа от нуля, — это числа, которые больше нуля. Это последовательность $1, 2, 3, \dots$ и так далее. Такие числа называются положительными целыми числами. Также их называют натуральными числами.
Ответ: положительные целые числа (или натуральные числа).

б) Числа, которые в ряду целых чисел расположены слева от нуля, — это числа, которые меньше нуля. На числовой прямой они находятся левее точки отсчета (нуля). Это последовательность $-1, -2, -3, \dots$ и так далее. Такие числа называются отрицательными целыми числами.
Ответ: отрицательные целые числа.

203. Является ли число $0$:

а) положительным;

б) отрицательным?

Число 0 является точкой отсчета на числовой прямой и разделяет положительные и отрицательные числа. Оно не относится ни к одной из этих категорий.

а) Положительным называется число, которое строго больше нуля. Математически это записывается как $a > 0$. Для числа 0 это условие не выполняется, так как неравенство $0 > 0$ является ложным. Таким образом, 0 не является положительным числом.
Ответ: нет.

б) Отрицательным называется число, которое строго меньше нуля. Математически это записывается как $a < 0$. Для числа 0 это условие также не выполняется, так как неравенство $0 < 0$ является ложным. Таким образом, 0 не является отрицательным числом.
Ответ: нет.

204. Прочитайте числа: $+2$, $-3$, $0$, $+7$, $-9$.

а) Какие из этих чисел расположены в ряду целых чисел справа от нуля; слева от нуля?

б) Какие из этих чисел являются положительными; отрицательными?

а) Какие из этих чисел расположены в ряду целых чисел справа от нуля; слева от нуля?

На числовой прямой справа от нуля находятся числа, которые больше нуля. Это положительные числа. Из представленного списка это числа $ +2 $ и $ +7 $.
Слева от нуля находятся числа, которые меньше нуля. Это отрицательные числа. Из представленного списка это числа $ -3 $ и $ -9 $.
Число $ 0 $ является точкой отсчета и не относится ни к числам справа от нуля, ни к числам слева от нуля.

Ответ: справа от нуля: $ +2, +7 $; слева от нуля: $ -3, -9 $.

б) Какие из этих чисел являются положительными; отрицательными?

Положительными числами называют числа, которые больше нуля. В записи они имеют знак «+» или не имеют знака вовсе. В данном случае это числа $ +2 $ и $ +7 $.
Отрицательными числами называют числа, которые меньше нуля. В записи они всегда имеют знак «−». В данном случае это числа $ -3 $ и $ -9 $.
Число $ 0 $ не является ни положительным, ни отрицательным.

Ответ: положительные: $ +2, +7 $; отрицательные: $ -3, -9 $.

205. Прочитайте записи и объясните их смысл:

Москва $-2^\circ$, Калуга $-8^\circ$,

Тверь $+3^\circ$.

Эти записи представляют собой данные о температуре воздуха в трёх городах. Для обозначения температуры используются числа со знаками «+» (плюс) или «–» (минус), которые показывают, является ли температура положительной (выше нуля) или отрицательной (ниже нуля). Символ «°» обозначает градусы, в данном контексте — градусы Цельсия.

• Знак «–» перед числом означает температуру ниже $0^\circ\text{C}$ (мороз).
• Знак «+» перед числом означает температуру выше $0^\circ\text{C}$ (тепло).

Москва $-2^\circ$

Эта запись читается как «минус два градуса». Она означает, что в городе Москва температура воздуха составляет 2 градуса ниже нуля.

Ответ: В Москве 2 градуса мороза.

Калуга $-8^\circ$

Эта запись читается как «минус восемь градусов». Она означает, что в городе Калуга температура воздуха составляет 8 градусов ниже нуля.

Ответ: В Калуге 8 градусов мороза.

Тверь $+3^\circ$

Эта запись читается как «плюс три градуса». Она означает, что в городе Тверь температура воздуха составляет 3 градуса выше нуля.

Ответ: В Твери 3 градуса тепла.

206. Используя знаки «+» и «–», запишите:

а) $3^\circ$ тепла;

б) $4^\circ$ тепла;

в) $6^\circ$ выше нуля;

г) $2^\circ$ мороза;

д) $5^\circ$ ниже нуля;

е) $1^\circ$ холода.

а) Для обозначения температуры выше нуля, какой является "тепло", используется знак «+». Таким образом, 3° тепла записывается как положительное число.

Ответ: $+{3}^{\circ}$

б) Аналогично предыдущему пункту, "4° тепла" — это температура выше нуля, поэтому для ее записи используется знак «+».

Ответ: $+{4}^{\circ}$

в) Выражение "6° выше нуля" прямо указывает на положительное значение температуры. Следовательно, мы используем знак «+».

Ответ: $+{6}^{\circ}$

г) Для обозначения температуры ниже нуля, такой как "мороз", используется знак «-». Таким образом, 2° мороза записывается как отрицательное число.

Ответ: $-{2}^{\circ}$

д) Выражение "5° ниже нуля" прямо указывает на отрицательное значение температуры. Следовательно, мы используем знак «-».

Ответ: $-{5}^{\circ}$

е) Температура "1° холода" также означает, что она ниже нуля, поэтому для ее записи используется знак «-».

Ответ: $-{1}^{\circ}$

207. Приведите пример:

а) конечного множества чисел;

б) бесконечного множества чисел.

а) конечного множества чисел;

Конечное множество — это множество, которое содержит определенное, конечное число элементов. Это означает, что мы можем пересчитать все его элементы, и этот процесс счета завершится. Количество элементов в конечном множестве (его мощность) выражается натуральным числом или нулем (в случае пустого множества).

В качестве примера конечного множества чисел можно рассмотреть множество $A$ — множество четных чисел, которые меньше 11.

Элементами этого множества будут числа: 2, 4, 6, 8, 10.

В математической записи это множество выглядит так:

$A = \{2, 4, 6, 8, 10\}$

В данном множестве ровно 5 элементов. Так как мы можем точно указать их количество, это множество является конечным.

Другой пример — множество $B$ — множество делителей числа 24.

$B = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\}$

Это множество содержит 8 элементов, следовательно, оно также конечное.

Ответ: Множество четных чисел меньше 11: $\{2, 4, 6, 8, 10\}$.

б) бесконечного множества чисел.

Бесконечное множество — это множество, которое не является конечным. Это означает, что процесс перечисления его элементов никогда не может быть завершен, так как в нем содержится неограниченное число элементов.

Классическим и наиболее простым примером бесконечного множества чисел является множество всех натуральных чисел, которое обозначается символом $\mathbb{N}$.

Это множество состоит из чисел, используемых при счете: 1, 2, 3, 4, и так далее до бесконечности.

В математической записи это множество выглядит так:

$\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, 5, \dots\}$

Особенность этого множества в том, что для любого натурального числа $n$ всегда существует следующее за ним натуральное число $n+1$. Поэтому мы никогда не сможем перечислить все его элементы, и множество является бесконечным.

Другие примеры бесконечных множеств: множество всех целых чисел $\mathbb{Z} = \{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\}$; множество всех чисел, кратных 5: $\{5, 10, 15, 20, \dots\}$.

Ответ: Множество всех натуральных чисел: $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, \dots\}$.