Страница 54 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

248. С помощью ряда целых чисел определите сумму:

а) $(+3) + (+2)$;

б) $(+3) + (-2)$;

в) $(-3) + (+2)$;

г) $(-3) + (-2)$.

Для определения суммы с помощью ряда целых чисел (числовой прямой) необходимо выполнить следующие действия. Начальной точкой является 0. Прибавление положительного числа соответствует перемещению вправо по числовой прямой, а прибавление отрицательного числа — перемещению влево.

а) $(+3) + (+2)$

Начинаем движение из точки 0. Первое слагаемое $(+3)$ означает, что нужно переместиться на 3 единицы вправо. Оказываемся в точке 3. Второе слагаемое $(+2)$ означает, что из текущего положения (точки 3) нужно переместиться еще на 2 единицы вправо. В результате мы попадаем в точку 5.

Вычисление: $(+3) + (+2) = 3 + 2 = 5$.

Ответ: 5

б) $(+3) + (-2)$

Начинаем движение из точки 0. Первое слагаемое $(+3)$ означает перемещение на 3 единицы вправо, в точку 3. Второе слагаемое $(-2)$ означает, что из точки 3 нужно переместиться на 2 единицы влево. В результате мы попадаем в точку 1.

Вычисление: $(+3) + (-2) = 3 - 2 = 1$.

Ответ: 1

в) $(-3) + (+2)$

Начинаем движение из точки 0. Первое слагаемое $(-3)$ означает перемещение на 3 единицы влево, в точку -3. Второе слагаемое $(+2)$ означает, что из точки -3 нужно переместиться на 2 единицы вправо. В результате мы попадаем в точку -1.

Вычисление: $(-3) + (+2) = -3 + 2 = -1$.

Ответ: -1

г) $(-3) + (-2)$

Начинаем движение из точки 0. Первое слагаемое $(-3)$ означает перемещение на 3 единицы влево, в точку -3. Второе слагаемое $(-2)$ означает, что из точки -3 нужно переместиться еще на 2 единицы влево. В результате мы попадаем в точку -5.

Вычисление: $(-3) + (-2) = -3 - 2 = -5$.

Ответ: -5

249. Как сложить два числа:

а) с одинаковыми знаками;

б) с разными знаками?

а) с одинаковыми знаками

Чтобы сложить два числа с одинаковыми знаками, нужно сложить их модули (абсолютные величины) и перед полученным результатом поставить их общий знак.

1. Сложение двух положительных чисел.
Например, сложим $7$ и $5$. Оба числа положительные, их общий знак «+». Складываем их модули: $|7| + |5| = 7 + 5 = 12$. Результат будет положительным.
$7 + 5 = 12$

2. Сложение двух отрицательных чисел.
Например, сложим $-7$ и $-5$. Оба числа отрицательные, их общий знак «–». Складываем их модули: $|-7| + |-5| = 7 + 5 = 12$. Перед результатом ставим общий знак «–».
$(-7) + (-5) = -(7 + 5) = -12$

Ответ: Чтобы сложить два числа с одинаковыми знаками, надо сложить их модули и поставить перед суммой их общий знак.

б) с разными знаками

Чтобы сложить два числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший и перед полученной разностью поставить знак того числа, модуль которого больше.

Пример 1:
Сложим числа $-12$ и $8$. У них разные знаки. Найдем их модули: $|-12| = 12$ и $|8| = 8$. Модуль числа $-12$ больше модуля числа $8$ ($12 > 8$), значит, у результата будет знак «–». Теперь из большего модуля вычитаем меньший: $12 - 8 = 4$.
$-12 + 8 = -(12 - 8) = -4$

Пример 2:
Сложим числа $15$ и $-6$. У них разные знаки. Найдем их модули: $|15| = 15$ и $|-6| = 6$. Модуль числа $15$ больше модуля числа $-6$ ($15 > 6$), значит, у результата будет знак «+» (который можно не писать). Теперь из большего модуля вычитаем меньший: $15 - 6 = 9$.
$15 + (-6) = 15 - 6 = 9$

Если модули чисел с разными знаками равны, то их сумма равна нулю.
Пример 3:
$-9 + 9 = 0$

Ответ: Чтобы сложить два числа с разными знаками, надо из большего модуля вычесть меньший и поставить перед полученным числом знак того слагаемого, модуль которого больше.

250. Чему равна сумма противоположных чисел?

Противоположные числа — это два числа, которые имеют одинаковый модуль (абсолютную величину), но разные знаки. Для любого числа $a$ противоположным ему является число $-a$.

Сумма противоположных чисел всегда равна нулю. Это можно доказать с помощью простого алгебраического выражения:
$a + (-a) = a - a = 0$

Это правило справедливо для всех действительных чисел.
Например:
Сумма чисел 8 и -8: $8 + (-8) = 0$.
Сумма чисел -4.5 и 4.5: $-4.5 + 4.5 = 0$.
Сумма числа 0 и противоположного ему 0: $0 + 0 = 0$.

Следовательно, каким бы ни было число, его сумма с противоположным ему числом всегда будет равна нулю.
Ответ: 0

251. Чему равна сумма целого числа и нуля?

Чему равна сумма целого числа и нуля?

Сумма любого целого числа и нуля всегда равна самому этому целому числу. Это одно из основных свойств сложения в математике, известное как "свойство нуля" или свойство "аддитивной идентичности". Ноль является нейтральным элементом для операции сложения, то есть его добавление к любому числу не изменяет это число.

Целые числа — это множество чисел, включающее в себя все натуральные числа (например, 1, 2, 3, ...), противоположные им отрицательные числа (например, -1, -2, -3, ...) и само число ноль.

Если мы обозначим любое целое число переменной $a$, то это правило можно записать в виде общей формулы:
$a + 0 = a$

Рассмотрим несколько примеров, чтобы проиллюстрировать это правило:
- Если взять положительное целое число, например 42, то сумма будет: $42 + 0 = 42$.
- Если взять отрицательное целое число, например -15, то сумма будет: $-15 + 0 = -15$.
- Если взять само число ноль (которое также является целым), то сумма будет: $0 + 0 = 0$.

Во всех случаях результат сложения с нулем равен исходному целому числу.

Ответ: Сумма целого числа и нуля равна самому этому целому числу.

252. Используя правило сложения, вычислите:

a) $+7 + (+9) = +(7 + 9) = \ldots;$

б) $-4 + (-6) = -(6 + 4) = \ldots;$

в) $-5 + (-6);$

г) $-5 + (-9);$

д) $-6 + (-1);$

е) $-1 + (-6).$

a) Чтобы сложить два положительных числа, нужно сложить их модули (абсолютные величины) и перед результатом поставить знак «+». В данном примере уже показано применение этого правила.

Выполним сложение модулей:

$+7 + (+9) = +(7 + 9) = 16$

Ответ: $16$.

б) Чтобы сложить два отрицательных числа, нужно сложить их модули и перед результатом поставить знак «−». В данном примере это правило также уже применено.

Выполним сложение модулей:

$-4 + (-6) = -(4 + 6) = -10$

Ответ: $-10$.

в) Складываем два отрицательных числа: $-5$ и $-6$. Согласно правилу сложения чисел с одинаковыми знаками, мы должны сложить их модули и поставить перед суммой их общий знак (минус).

Модуль числа $-5$ равен $5$. Модуль числа $-6$ равен $6$.

Складываем модули: $5 + 6 = 11$.

Ставим знак минус перед результатом: $-11$.

Таким образом: $-5 + (-6) = -(5 + 6) = -11$.

Ответ: $-11$.

г) Складываем два отрицательных числа: $-5$ и $-9$. Применяем то же правило: складываем их модули и ставим знак минус.

Складываем модули: $5 + 9 = 14$.

Ставим знак минус перед результатом: $-14$.

Таким образом: $-5 + (-9) = -(5 + 9) = -14$.

Ответ: $-14$.

д) Складываем два отрицательных числа: $-6$ и $-1$. Правило то же: сложить модули и поставить знак минус.

Складываем модули: $6 + 1 = 7$.

Ставим знак минус перед результатом: $-7$.

Таким образом: $-6 + (-1) = -(6 + 1) = -7$.

Ответ: $-7$.

е) Складываем два отрицательных числа: $-1$ и $-6$. Складываем их модули и ставим знак минус.

Складываем модули: $1 + 6 = 7$.

Ставим знак минус перед результатом: $-7$.

Таким образом: $-1 + (-6) = -(1 + 6) = -7$.

Ответ: $-7$.

Вычислите (253–254):

?253.

a) $-1 + (-2)$;

б) $-2 + (-1)$;

в) $-2 + (-4)$;

г) $-5 + (-1)$;

д) $-3 + (-8)$;

е) $-4 + (-11)$.

Для решения данных примеров используется правило сложения двух отрицательных чисел: чтобы сложить два отрицательных числа, нужно сложить их модули (абсолютные величины) и перед полученной суммой поставить знак «минус».

254. a) $-9 + (-2)$;

б) $-7 + (-3)$;

в) $-13 + (-8)$;

г) $+12 + (+23)$;

д) $-25 + (-7)$;

е) $+18 + (+42)$.

а) В данном примере необходимо сложить два отрицательных числа: $-9$ и $-2$.

Правило сложения чисел с одинаковыми знаками гласит: чтобы сложить два отрицательных числа, нужно сложить их модули (абсолютные величины) и перед полученной суммой поставить знак «минус».

Модуль числа $-9$ равен $9$, то есть $|-9| = 9$.

Модуль числа $-2$ равен $2$, то есть $|-2| = 2$.

Складываем модули: $9 + 2 = 11$.

Ставим перед результатом знак «минус»: $-11$.

Таким образом, $-9 + (-2) = -(9 + 2) = -11$.

Ответ: $-11$

б) В этом примере мы также складываем два отрицательных числа: $-7$ и $-3$.

Применяем правило сложения чисел с одинаковыми знаками. Сначала находим сумму их модулей.

$|-7| = 7$

$|-3| = 3$

Сумма модулей: $7 + 3 = 10$.

Так как оба слагаемых отрицательны, ставим перед результатом знак «минус».

Следовательно, $-7 + (-3) = -(7 + 3) = -10$.

Ответ: $-10$

в) Здесь требуется найти сумму двух отрицательных чисел: $-13$ и $-8$.

Действуем по тому же правилу: складываем модули этих чисел и ставим знак «минус».

Модули чисел: $|-13| = 13$ и $|-8| = 8$.

Их сумма: $13 + 8 = 21$.

Результат будет отрицательным: $-21$.

Вычисление: $-13 + (-8) = -(13 + 8) = -21$.

Ответ: $-21$

г) В этом примере нужно сложить два положительных числа: $+12$ и $+23$.

Сложение двух положительных чисел — это обычное арифметическое сложение. Знак «плюс» перед положительным числом обычно опускается.

Выражение можно записать как $12 + 23$.

Выполняем сложение: $12 + 23 = 35$.

Ответ: $35$

д) Необходимо сложить два отрицательных числа: $-25$ и $-7$.

Используем правило сложения чисел с одинаковыми знаками. Находим сумму их модулей.

$|-25| = 25$

$|-7| = 7$

Сумма модулей: $25 + 7 = 32$.

Поскольку исходные числа отрицательные, результат также будет отрицательным.

Таким образом, $-25 + (-7) = -(25 + 7) = -32$.

Ответ: $-32$

е) Требуется найти сумму двух положительных чисел: $+18$ и $+42$.

Это стандартная операция сложения. Выражение можно переписать без знаков «плюс» перед числами.

$18 + 42 = 60$.

Ответ: $60$

255. Используя правило сложения, вычислите:

а) $ +7 + (-6) = +(7 - 6) = +1 $, так как $ |7| > |-6| $;

б) $ -18 + (+12) = -(18 - 12) = -6 $, так как $ |-18| > |12| $.

в) $ -8 + (+9); $

г) $ +8 + (-9); $

д) $ +12 + (-15); $

е) $ -13 + (+18); $

ж) $ -2 + (+18); $

з) $ +25 + (-32). $

в) $-8 + (+9)$

Чтобы сложить два числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший и поставить перед полученным числом знак того слагаемого, модуль которого больше. В данном случае, $|+9| > |-8|$, поэтому знак результата будет «+».

$-8 + (+9) = +(9 - 8) = +1$

Ответ: $+1$

г) $+8 + (-9)$

Сравниваем модули чисел: $|-9| > |+8|$. Знак результата будет «-». Вычитаем из большего модуля меньший.

$+8 + (-9) = -(9 - 8) = -1$

Ответ: $-1$

д) $+12 + (-15)$

Сравниваем модули чисел: $|-15| > |+12|$. Знак результата будет «-». Вычитаем из большего модуля меньший.

$+12 + (-15) = -(15 - 12) = -3$

Ответ: $-3$

е) $-13 + (+18)$

Сравниваем модули чисел: $|+18| > |-13|$. Знак результата будет «+». Вычитаем из большего модуля меньший.

$-13 + (+18) = +(18 - 13) = +5$

Ответ: $+5$

ж) $-2 + (+18)$

Сравниваем модули чисел: $|+18| > |-2|$. Знак результата будет «+». Вычитаем из большего модуля меньший.

$-2 + (+18) = +(18 - 2) = +16$

Ответ: $+16$

з) $+25 + (-32)$

Сравниваем модули чисел: $|-32| > |+25|$. Знак результата будет «-». Вычитаем из большего модуля меньший.

$+25 + (-32) = -(32 - 25) = -7$

Ответ: $-7$

256. Найдите сумму:

а) $-1 + (+2);$ б) $+5 + (-2);$ в) $-4 + (+1);$

г) $-8 + (+2);$ д) $+7 + (-9);$ е) $-10 + (+4).$

Замечание. Для упрощения записи суммы у положительных слагаемых обычно опускают знак «+» и скобки. Например, вместо $+3 + (+8)$ пишут $3 + 8$, т. е.

$+3 + (+8) = 3 + 8$

Аналогично $-5 + (+9) = -5 + 9.$

$-5 + (+9) = -5 + 9$

а) Чтобы найти сумму чисел с разными знаками, $-1$ и $+2$, нужно из большего модуля вычесть меньший и поставить перед полученным числом знак того слагаемого, модуль которого больше. В данном случае, $|+2| = 2$ и $|-1| = 1$. Так как $2 > 1$, то из 2 вычитаем 1 и ставим знак «+» (знак числа $+2$).

$ -1 + (+2) = 2 - 1 = 1 $

Ответ: 1

б) Складываем числа с разными знаками: $+5$ и $-2$. Находим их модули: $|+5| = 5$ и $|-2| = 2$. Так как $5 > 2$, из 5 вычитаем 2 и ставим знак «+», поскольку у числа с большим модулем ($+5$) знак «+».

$ +5 + (-2) = 5 - 2 = 3 $

Ответ: 3

в) Складываем числа с разными знаками: $-4$ и $+1$. Модули чисел равны $|-4| = 4$ и $|+1| = 1$. Так как $4 > 1$, из 4 вычитаем 1 и ставим знак «-», поскольку у числа с большим модулем ($-4$) знак «-».

$ -4 + (+1) = -(4 - 1) = -3 $

Ответ: -3

г) Складываем числа с разными знаками: $-8$ и $+2$. Модули чисел равны $|-8| = 8$ и $|+2| = 2$. Так как $8 > 2$, из 8 вычитаем 2 и ставим знак «-», поскольку у числа с большим модулем ($-8$) знак «-».

$ -8 + (+2) = -(8 - 2) = -6 $

Ответ: -6

д) Складываем числа с разными знаками: $+7$ и $-9$. Модули чисел равны $|+7| = 7$ и $|-9| = 9$. Так как $9 > 7$, из 9 вычитаем 7 и ставим знак «-», поскольку у числа с большим модулем ($-9$) знак «-».

$ +7 + (-9) = -(9 - 7) = -2 $

Ответ: -2

е) Складываем числа с разными знаками: $-10$ и $+4$. Модули чисел равны $|-10| = 10$ и $|+4| = 4$. Так как $10 > 4$, из 10 вычитаем 4 и ставим знак «-», поскольку у числа с большим модулем ($-10$) знак «-».

$ -10 + (+4) = -(10 - 4) = -6 $

Ответ: -6