Страница 58 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

275. а) $1 + (-2) + 3 + (-4) + \dots + 9 + (-10);$

б) $1 + (-2) + 3 + (-4) + \dots + 99 + (-100);$

В) $(-1) + 2 + (-3) + 4 + \dots + (-9) + 10;$

Г) $(-1) + 2 + (-3) + 4 + \dots + (-99) + 100.$

а) $1 + (-2) + 3 + (-4) + ... + 9 + (-10)$

Чтобы найти значение этого выражения, сгруппируем слагаемые попарно: первое со вторым, третье с четвертым и так далее.

$(1 + (-2)) + (3 + (-4)) + (5 + (-6)) + (7 + (-8)) + (9 + (-10))$

Сумма каждой пары равна -1:

$1 + (-2) = -1$
$3 + (-4) = -1$
...
$9 + (-10) = -1$

Всего в выражении 10 слагаемых, значит, мы получим $10 / 2 = 5$ пар.

Сумма будет равна: $(-1) + (-1) + (-1) + (-1) + (-1) = 5 \cdot (-1) = -5$.

Ответ: -5

б) $1 + (-2) + 3 + (-4) + ... + 99 + (-100)$

Этот пример решается аналогично предыдущему. Сгруппируем слагаемые попарно.

$(1 + (-2)) + (3 + (-4)) + \ldots + (99 + (-100))$

Сумма каждой пары также равна -1. Всего в выражении 100 слагаемых, следовательно, количество пар будет $100 / 2 = 50$.

Итоговая сумма равна произведению количества пар на сумму одной пары:

$50 \cdot (-1) = -50$

Ответ: -50

в) $(-1) + 2 + (-3) + 4 + ... + (-9) + 10$

Сгруппируем слагаемые попарно:

$(-1 + 2) + (-3 + 4) + (-5 + 6) + (-7 + 8) + (-9 + 10)$

Сумма каждой пары равна 1:

$-1 + 2 = 1$
$-3 + 4 = 1$
...
$-9 + 10 = 1$

Всего в выражении 10 слагаемых, значит, мы получим $10 / 2 = 5$ пар.

Сумма будет равна: $1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5 \cdot 1 = 5$.

Ответ: 5

г) $(-1) + 2 + (-3) + 4 + ... + (-99) + 100$

Решаем аналогично предыдущему примеру, группируя слагаемые попарно.

$(-1 + 2) + (-3 + 4) + \ldots + (-99 + 100)$

Сумма каждой пары равна 1. Всего в выражении 100 слагаемых, следовательно, количество пар будет $100 / 2 = 50$.

Итоговая сумма равна произведению количества пар на сумму одной пары:

$50 \cdot 1 = 50$

Ответ: 50

276. Даны числа: 9, -11, 10. Убедитесь, что сумма любых двух соседних чисел отрицательна, а сумма всех трёх чисел положительна. Напишите в строчку три числа так, чтобы сумма любых двух соседних чисел была положительна, а сумма трёх чисел была отрицательна.

Убедитесь, что сумма любых двух соседних чисел отрицательна, а сумма всех трёх чисел положительна.
Даны числа в последовательности: 9, –11, 10. Проверим выполнение условий для этой последовательности.
1. Сумма первого и второго соседних чисел: $9 + (-11) = 9 - 11 = -2$. Результат является отрицательным числом.
2. Сумма второго и третьего соседних чисел: $-11 + 10 = -1$. Результат также является отрицательным числом.
Таким образом, сумма любых двух соседних чисел отрицательна.
3. Теперь найдем сумму всех трёх чисел: $9 + (-11) + 10 = -2 + 10 = 8$. Результат является положительным числом.
Все условия, указанные в задаче для чисел 9, -11, 10, выполняются.
Ответ: Проверка подтверждает, что для последовательности 9, -11, 10 сумма соседних чисел отрицательна (–2 и –1), а сумма всех трёх чисел положительна (8).

Напишите в строчку три числа так, чтобы сумма любых двух соседних чисел была положительна, а сумма трёх чисел была отрицательна.
Пусть искомые числа – это $a, b$ и $c$, расположенные в строчку в этом порядке. Они должны удовлетворять следующим трём условиям:
1) $a + b > 0$
2) $b + c > 0$
3) $a + b + c < 0$
Чтобы эти условия выполнялись одновременно, два числа должны быть отрицательными, а одно — положительным. Причем положительное число $b$ должно стоять между двумя отрицательными $a$ и $c$.
Из условий (1) и (2) следует, что положительное число $b$ должно быть по модулю больше каждого из отрицательных чисел: $b > |a|$ и $b > |c|$.
Из условия (3) следует, что $a+b+c < 0$, что можно переписать как $b < -(a+c)$, что для отрицательных $a$ и $c$ равносильно $b < |a| + |c|$.
Итак, нам нужно найти такое положительное число $b$, которое больше модуля каждого из отрицательных чисел $a$ и $c$, но при этом меньше суммы их модулей.
Подберем числа, удовлетворяющие этим требованиям. Например, возьмем $a=-8$ и $c=-9$.
Тогда нам нужно найти $b$ такое, что $b > |-8|$, $b > |-9|$ и $b < |-8| + |-9|$.
Получаем, что $b$ должно удовлетворять неравенству $9 < b < 17$.
Выберем любое число из этого интервала, например, $b=12$.
Таким образом, мы получили последовательность чисел: -8, 12, -9.
Проверим её:
Сумма первой пары соседних чисел: $-8 + 12 = 4$. Так как $4 > 0$, первое условие выполнено.
Сумма второй пары соседних чисел: $12 + (-9) = 3$. Так как $3 > 0$, второе условие выполнено.
Сумма всех трёх чисел: $-8 + 12 + (-9) = 4 - 9 = -5$. Так как $-5 < 0$, третье условие выполнено.
Существует бесконечное множество таких троек чисел.
Ответ: например, –8, 12, –9.

277. Убедитесь, что для чисел $5, -4, -2, 5, -4, -2, 5$ сумма любых трёх соседних чисел отрицательна, а сумма всех чисел положительна. Напишите в строчку семь чисел так, чтобы сумма любых трёх соседних чисел была положительна, а сумма всех чисел была отрицательна.

Убедитесь, что для чисел 5, –4, –2, 5, –4, –2, 5 сумма любых трёх соседних чисел отрицательна, а сумма всех чисел положительна.

Дан ряд чисел: 5, –4, –2, 5, –4, –2, 5.
1. Проверим сумму каждых трёх соседних чисел в ряду:
$5 + (-4) + (-2) = 5 - 4 - 2 = -1$
$(-4) + (-2) + 5 = -6 + 5 = -1$
$(-2) + 5 + (-4) = -2 + 1 = -1$
$5 + (-4) + (-2) = 5 - 6 = -1$
$(-4) + (-2) + 5 = -6 + 5 = -1$
Все полученные суммы равны -1, то есть они отрицательны, что соответствует условию.
2. Проверим сумму всех чисел ряда:
$5 + (-4) + (-2) + 5 + (-4) + (-2) + 5 = 3$
Сумма всех чисел равна 3, то есть она положительна, что также соответствует условию.
Ответ: Утверждение для данного ряда чисел верно.

Напишите в строчку семь чисел так, чтобы сумма любых трёх соседних чисел была положительна, а сумма всех чисел была отрицательна.

Для построения такого ряда чисел можно использовать аналогию с первым заданием, но с противоположными знаками. Возьмём ряд, составленный из чисел –5, 4, 2. Полный ряд из семи чисел будет выглядеть так: –5, 4, 2, –5, 4, 2, –5.
Проверим выполнение условий для этого ряда.
1. Сумма любых трёх соседних чисел:
$(-5) + 4 + 2 = 1$
$4 + 2 + (-5) = 1$
$2 + (-5) + 4 = 1$
$(-5) + 4 + 2 = 1$
$4 + 2 + (-5) = 1$
Все суммы трёх соседних чисел равны 1, что является положительным числом. Первое условие выполняется.
2. Сумма всех семи чисел:
$(-5) + 4 + 2 + (-5) + 4 + 2 + (-5) = -3$
Сумма всех чисел равна -3, что является отрицательным числом. Второе условие также выполняется.
Ответ: Примером такого ряда чисел может быть –5, 4, 2, –5, 4, 2, –5.

278. Запишите и вычислите:

a) сумму чисел $17$ и $-23$;

б) сумму чисел $-20$ и $4$;

в) сумму числа, противоположного $-13$, и числа $-225$;

г) сумму числа $-26$ и числа, противоположного $-12$.

а) Чтобы найти сумму чисел 17 и -23, нужно сложить эти числа. Запишем выражение: $17 + (-23)$.
При сложении чисел с разными знаками, из модуля большего числа вычитается модуль меньшего, и ставится знак числа с большим модулем.
$|17| = 17$, а $|-23| = 23$.
Так как $23 > 17$, результат будет иметь знак минус.
$17 + (-23) = -(23 - 17) = -6$.
Ответ: -6

б) Чтобы найти сумму чисел -20 и 4, запишем выражение: $-20 + 4$.
Складываем числа с разными знаками. Модуль числа -20 равен 20, а модуль числа 4 равен 4.
$|-20| = 20$, а $|4| = 4$.
Так как $20 > 4$, результат будет иметь знак минус.
$-20 + 4 = -(20 - 4) = -16$.
Ответ: -16

в) Сначала найдем число, противоположное числу -13. Противоположным для отрицательного числа является такое же положительное число. Таким образом, число, противоположное -13, это 13.
Теперь найдем сумму этого числа (13) и числа -225. Запишем выражение: $13 + (-225)$.
$|13| = 13$, а $|-225| = 225$.
Так как $225 > 13$, результат будет иметь знак минус.
$13 + (-225) = -(225 - 13) = -212$.
Ответ: -212

г) Сначала найдем число, противоположное числу -12. Противоположным числу -12 является число 12.
Теперь найдем сумму числа -26 и полученного числа 12. Запишем выражение: $-26 + 12$.
$|-26| = 26$, а $|12| = 12$.
Так как $26 > 12$, результат будет иметь знак минус.
$-26 + 12 = -(26 - 12) = -14$.
Ответ: -14

279. К числу $a$ прибавьте число, противоположное $b$:

а) $a = 12$, $b = -7$;

б) $a = 13$, $b = 16$;

в) $a = 15$, $b = 7$;

г) $a = 24$, $b = 13$;

д) $a = -14$, $b = 7$;

е) $a = -29$, $b = 40$;

ж) $a = -24$, $b = -13$;

з) $a = -16$, $b = -18$.

По условию задачи, к числу $a$ нужно прибавить число, противоположное числу $b$. Это означает, что для каждого пункта нужно вычислить значение выражения $a + (-b)$.

а) Дано: $a = 12$, $b = -7$.

Число, противоположное $b$, равно $-(-7) = 7$.

Вычисляем сумму: $12 + 7 = 19$.

Ответ: 19

б) Дано: $a = 13$, $b = 16$.

Число, противоположное $b$, равно $-16$.

Вычисляем сумму: $13 + (-16) = 13 - 16 = -3$.

Ответ: -3

в) Дано: $a = 15$, $b = 7$.

Число, противоположное $b$, равно $-7$.

Вычисляем сумму: $15 + (-7) = 15 - 7 = 8$.

Ответ: 8

г) Дано: $a = 24$, $b = 13$.

Число, противоположное $b$, равно $-13$.

Вычисляем сумму: $24 + (-13) = 24 - 13 = 11$.

Ответ: 11

д) Дано: $a = -14$, $b = 7$.

Число, противоположное $b$, равно $-7$.

Вычисляем сумму: $-14 + (-7) = -14 - 7 = -21$.

Ответ: -21

е) Дано: $a = -29$, $b = 40$.

Число, противоположное $b$, равно $-40$.

Вычисляем сумму: $-29 + (-40) = -29 - 40 = -69$.

Ответ: -69

ж) Дано: $a = -24$, $b = -13$.

Число, противоположное $b$, равно $-(-13) = 13$.

Вычисляем сумму: $-24 + 13 = -11$.

Ответ: -11

з) Дано: $a = -16$, $b = -18$.

Число, противоположное $b$, равно $-(-18) = 18$.

Вычисляем сумму: $-16 + 18 = 2$.

Ответ: 2

280. Перепишите, заменив $x$ числом так, чтобы получилось верное равенство:

а) $(-6) + (-7) = x;$
б) $-8 + x = -10;$
в) $-8 + x = -3;$
г) $-8 + x = 0;$
д) $-8 + x = -8;$
е) $x + 5 = 10;$
ж) $x + 5 = 0;$
з) $x + 5 = -3;$
и) $x + 5 = -8.$

а) В данном равенстве $x$ равен сумме двух отрицательных чисел: $-6$ и $-7$. Сумма двух отрицательных чисел есть число отрицательное, модуль которого равен сумме модулей слагаемых.
$x = (-6) + (-7) = -(6 + 7) = -13$.
Ответ: $-13$

б) В данном уравнении $x$ является неизвестным слагаемым. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы $(-10)$ вычесть известное слагаемое $(-8)$.
$x = -10 - (-8)$
$x = -10 + 8$
$x = -2$
Ответ: $-2$

в) Чтобы найти неизвестное слагаемое $x$, нужно из суммы $(-3)$ вычесть известное слагаемое $(-8)$.
$x = -3 - (-8)$
$x = -3 + 8$
$x = 5$
Ответ: $5$

г) Чтобы найти неизвестное слагаемое $x$, нужно из суммы $0$ вычесть известное слагаемое $(-8)$.
$x = 0 - (-8)$
$x = 0 + 8$
$x = 8$
Ответ: $8$

д) Чтобы найти неизвестное слагаемое $x$, нужно из суммы $(-8)$ вычесть известное слагаемое $(-8)$.
$x = -8 - (-8)$
$x = -8 + 8$
$x = 0$
Ответ: $0$

е) Чтобы найти неизвестное слагаемое $x$, нужно из суммы $10$ вычесть известное слагаемое $5$.
$x = 10 - 5$
$x = 5$
Ответ: $5$

ж) Чтобы найти неизвестное слагаемое $x$, нужно из суммы $0$ вычесть известное слагаемое $5$.
$x = 0 - 5$
$x = -5$
Ответ: $-5$

з) Чтобы найти неизвестное слагаемое $x$, нужно из суммы $(-3)$ вычесть известное слагаемое $5$.
$x = -3 - 5$
$x = -8$
Ответ: $-8$

и) Чтобы найти неизвестное слагаемое $x$, нужно из суммы $(-8)$ вычесть известное слагаемое $5$.
$x = -8 - 5$
$x = -13$
Ответ: $-13$