Страница 63 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

302. а) Что называют произведением двух целых не равных нулю чисел?

б) Чему равно произведение любого целого числа и нуля?

в) Что называют степенью числа $a$ с натуральным показателем $n$?

а) Произведением двух целых не равных нулю чисел называют целое число, модуль которого равен произведению модулей этих чисел. Знак произведения определяется по следующему правилу: если знаки сомножителей одинаковы (оба положительные или оба отрицательные), то произведение положительно; если знаки сомножителей разные, то произведение отрицательно. Например, $ (-7) \cdot (-2) = 14 $, а $ (-7) \cdot 2 = -14 $.
Ответ: произведением двух целых не равных нулю чисел называют целое число, модуль которого равен произведению модулей этих чисел, а знак положителен, если знаки множителей одинаковы, и отрицателен, если знаки множителей различны.

б) Произведение любого целого числа и нуля всегда равно нулю. Это одно из основных свойств умножения, которое можно записать в виде формулы: для любого целого числа $a$ справедливо равенство $a \cdot 0 = 0$.
Ответ: произведение любого целого числа и нуля равно нулю.

в) Степенью числа $a$ с натуральным показателем $n$ называют произведение $n$ множителей, каждый из которых равен $a$. Число $a$ при этом называют основанием степени, а число $n$ — показателем степени. Степень обозначается как $a^n$.
Для натурального показателя $n > 1$ формула выглядит так: $a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ раз}}$.
Для показателя $n=1$ по определению принимают: $a^1 = a$.
Например, $2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$.
Ответ: степенью числа $a$ с натуральным показателем $n$ называют произведение $n$ множителей, каждый из которых равен $a$.

303. Справедливы ли переместительный и сочетательный законы умножения для целых чисел? Сформулируйте их.

Да, переместительный и сочетательный законы умножения справедливы для множества всех целых чисел (положительных, отрицательных и нуля).

Переместительный (коммутативный) закон умножения

Формулировка: Произведение двух целых чисел не изменяется при перестановке множителей.

Для любых целых чисел a и b справедливо равенство:

$a \cdot b = b \cdot a$

Пример:

Сравним произведения $(-7) \cdot 4$ и $4 \cdot (-7)$.
$(-7) \cdot 4 = -28$
$4 \cdot (-7) = -28$
Следовательно, $(-7) \cdot 4 = 4 \cdot (-7)$.

Ответ: Переместительный закон умножения для целых чисел формулируется так: для любых целых чисел a и b верно равенство $a \cdot b = b \cdot a$.

Сочетательный (ассоциативный) закон умножения

Формулировка: Чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел. То есть, результат умножения трёх и более чисел не зависит от порядка выполнения действий.

Для любых целых чисел a, b и c справедливо равенство:

$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$

Пример:

Сравним произведения $((-2) \cdot (-5)) \cdot 6$ и $(-2) \cdot ((-5) \cdot 6)$.
$((-2) \cdot (-5)) \cdot 6 = 10 \cdot 6 = 60$
$(-2) \cdot ((-5) \cdot 6) = (-2) \cdot (-30) = 60$
Следовательно, $((-2) \cdot (-5)) \cdot 6 = (-2) \cdot ((-5) \cdot 6)$.

Ответ: Сочетательный закон умножения для целых чисел формулируется так: для любых целых чисел a, b и c верно равенство $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$.

304. Что получится, если число умножить на $ (-1) $?

При умножении любого числа на $(-1)$ получится число, которое является ему противоположным. Это означает, что абсолютное значение (модуль) числа не изменится, а его знак сменится на противоположный.

Рассмотрим все возможные случаи:

• Если исходное число положительное. При умножении положительного числа на отрицательное число $(-1)$ результат будет отрицательным.
  Например, возьмем число $7$:
  $7 \cdot (-1) = -7$
• Если исходное число отрицательное. При умножении отрицательного числа на отрицательное число $(-1)$ результат будет положительным.
  Например, возьмем число $-15$:
  $(-15) \cdot (-1) = 15$
• Если исходное число — ноль. При умножении нуля на любое число, включая $(-1)$, результат всегда будет ноль.
  $0 \cdot (-1) = 0$

Таким образом, для любого числа $a$ справедливо следующее равенство:
$a \cdot (-1) = -a$

Ответ: получится число, противоположное исходному.

305. Вычислите столбиком:

а) $123 \cdot 9;$

б) $357 \cdot 8;$

в) $256 \cdot 32;$

г) $457 \cdot 48;$

д) $521 \cdot 32;$

е) $439 \cdot 528.$

а) Выполним умножение чисел 123 и 9 столбиком.

 123× 9----- 1107

1. Умножаем единицы: $3 \cdot 9 = 27$. 7 пишем в разряд единиц, 2 запоминаем (переносим в разряд десятков).

2. Умножаем десятки: $2 \cdot 9 = 18$. Прибавляем 2, которые запомнили: $18 + 2 = 20$. 0 пишем в разряд десятков, 2 запоминаем (переносим в разряд сотен).

3. Умножаем сотни: $1 \cdot 9 = 9$. Прибавляем 2, которые запомнили: $9 + 2 = 11$. 1 пишем в разряд сотен, 1 в разряд тысяч.

Ответ: 1107

б) Выполним умножение чисел 357 и 8 столбиком.

 357× 8----- 2856

1. Умножаем единицы: $7 \cdot 8 = 56$. 6 пишем в разряд единиц, 5 запоминаем.

2. Умножаем десятки: $5 \cdot 8 = 40$. Прибавляем 5, которые запомнили: $40 + 5 = 45$. 5 пишем в разряд десятков, 4 запоминаем.

3. Умножаем сотни: $3 \cdot 8 = 24$. Прибавляем 4, которые запомнили: $24 + 4 = 28$. 8 пишем в разряд сотен, 2 в разряд тысяч.

Ответ: 2856

в) Выполним умножение чисел 256 и 32 столбиком.

 256× 32------ 512 + 768------ 8192

1. Умножаем 256 на 2 (единицы второго множителя): $256 \cdot 2 = 512$. Это первое неполное произведение.

2. Умножаем 256 на 3 (десятки второго множителя): $256 \cdot 3 = 768$. Записываем второе неполное произведение под первым, сдвинув на один разряд влево.

3. Складываем неполные произведения: $512 + 7680 = 8192$.

Ответ: 8192

г) Выполним умножение чисел 457 и 48 столбиком.

 457× 48------ 3656 +1828------ 21936

1. Умножаем 457 на 8: $457 \cdot 8 = 3656$.

2. Умножаем 457 на 4: $457 \cdot 4 = 1828$. Записываем результат со сдвигом на один разряд влево.

3. Складываем неполные произведения: $3656 + 18280 = 21936$.

Ответ: 21936

д) Выполним умножение чисел 521 и 32 столбиком.

 521× 32------ 1042 +1563------ 16672

1. Умножаем 521 на 2: $521 \cdot 2 = 1042$.

2. Умножаем 521 на 3: $521 \cdot 3 = 1563$. Записываем результат со сдвигом на один разряд влево.

3. Складываем неполные произведения: $1042 + 15630 = 16672$.

Ответ: 16672

е) Выполним умножение чисел 439 и 528 столбиком.

 439× 528------- 3512 878+ 2195------- 231792

1. Умножаем 439 на 8 (единицы): $439 \cdot 8 = 3512$.

2. Умножаем 439 на 2 (десятки): $439 \cdot 2 = 878$. Записываем результат со сдвигом на один разряд влево.

3. Умножаем 439 на 5 (сотни): $439 \cdot 5 = 2195$. Записываем результат со сдвигом на два разряда влево.

4. Складываем три неполных произведения: $3512 + 8780 + 219500 = 231792$.

Ответ: 231792

306. Вычислите, применяя законы умножения:

а) $24 \cdot 2 \cdot 5;$

б) $47 \cdot 4 \cdot 25;$

в) $53 \cdot 8 \cdot 125;$

г) $2 \cdot 37 \cdot 5;$

д) $25 \cdot 57 \cdot 4;$

е) $8 \cdot 39 \cdot 125.$

а) $24 \cdot 2 \cdot 5$

Для удобства вычисления воспользуемся сочетательным законом умножения ($a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c$) и сгруппируем множители 2 и 5, так как их произведение дает круглое число:

$24 \cdot (2 \cdot 5) = 24 \cdot 10 = 240$

Ответ: 240

б) $47 \cdot 4 \cdot 25$

Применим сочетательный закон умножения, чтобы сгруппировать множители 4 и 25. Это упростит вычисление, так как $4 \cdot 25 = 100$:

$47 \cdot (4 \cdot 25) = 47 \cdot 100 = 4700$

Ответ: 4700

в) $53 \cdot 8 \cdot 125$

Используем сочетательный закон умножения, чтобы сгруппировать 8 и 125. Их произведение равно 1000, что значительно упрощает дальнейшее вычисление:

$53 \cdot (8 \cdot 125) = 53 \cdot 1000 = 53000$

Ответ: 53000

г) $2 \cdot 37 \cdot 5$

Воспользуемся переместительным законом умножения ($a \cdot b = b \cdot a$), чтобы поменять множители 37 и 5 местами, а затем сочетательным законом, чтобы сгруппировать 2 и 5:

$2 \cdot 37 \cdot 5 = 2 \cdot 5 \cdot 37 = (2 \cdot 5) \cdot 37 = 10 \cdot 37 = 370$

Ответ: 370

д) $25 \cdot 57 \cdot 4$

Применим переместительный и сочетательный законы умножения, чтобы сгруппировать множители 25 и 4. Их произведение равно 100:

$25 \cdot 57 \cdot 4 = 25 \cdot 4 \cdot 57 = (25 \cdot 4) \cdot 57 = 100 \cdot 57 = 5700$

Ответ: 5700

е) $8 \cdot 39 \cdot 125$

Используем переместительный и сочетательный законы, чтобы сгруппировать множители 8 и 125, так как их произведение равно 1000:

$8 \cdot 39 \cdot 125 = 8 \cdot 125 \cdot 39 = (8 \cdot 125) \cdot 39 = 1000 \cdot 39 = 39000$

Ответ: 39000

307. Вычислите:

а) $12^2$;

б) $9^3$;

в) $4^4$;

г) $2^5$.

а) Возведение числа в степень означает умножение этого числа на себя указанное количество раз. Чтобы вычислить $12^2$ (двенадцать во второй степени или в квадрате), нужно умножить число 12 само на себя.
$12^2 = 12 \times 12 = 144$.
Ответ: 144

б) Чтобы вычислить $9^3$ (девять в третьей степени или в кубе), нужно умножить число 9 само на себя три раза.
$9^3 = 9 \times 9 \times 9$.
Сначала вычислим произведение первых двух множителей: $9 \times 9 = 81$.
Затем умножим полученный результат на 9: $81 \times 9 = 729$.
Ответ: 729

в) Чтобы вычислить $4^4$ (четыре в четвертой степени), нужно умножить число 4 само на себя четыре раза.
$4^4 = 4 \times 4 \times 4 \times 4$.
Выполним умножение по шагам:
$4 \times 4 = 16$.
$16 \times 4 = 64$.
$64 \times 4 = 256$.
Ответ: 256

г) Чтобы вычислить $2^5$ (два в пятой степени), нужно умножить число 2 само на себя пять раз.
$2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2$.
Выполним умножение последовательно:
$2 \times 2 = 4$.
$4 \times 2 = 8$.
$8 \times 2 = 16$.
$16 \times 2 = 32$.
Ответ: 32

308. Определите знак произведения. Выполните умножение:

а) $(-2)\cdot(+3)$;

б) $(+8)\cdot(-3)$;

в) $(+6)\cdot(-5)$;

г) $(-7)\cdot(+4)$;

д) $(-2)\cdot(-1)$;

е) $(-8)\cdot(-8)$;

ж) $(-7)\cdot(-9)$;

з) $(+9)\cdot(+8)$;

и) $(+10)\cdot(+77)$.

Для определения знака произведения и выполнения умножения, воспользуемся следующими правилами:

• Произведение двух чисел с одинаковыми знаками (оба положительные или оба отрицательные) — число положительное.
• Произведение двух чисел с разными знаками (одно положительное, другое отрицательное) — число отрицательное.

Множители $(-2)$ и $(+3)$ имеют разные знаки. Следовательно, их произведение будет отрицательным числом. Умножим модули чисел: $2 \cdot 3 = 6$.
$(-2) \cdot (+3) = -6$.
Ответ: $-6$.

Множители $(+8)$ и $(-3)$ имеют разные знаки, поэтому произведение будет отрицательным. Умножим их модули: $8 \cdot 3 = 24$.
$(+8) \cdot (-3) = -24$.
Ответ: $-24$.

Множители $(+6)$ и $(-5)$ имеют разные знаки, значит, произведение будет со знаком минус. Умножим модули: $6 \cdot 5 = 30$.
$(+6) \cdot (-5) = -30$.
Ответ: $-30$.

Множители $(-7)$ и $(+4)$ имеют разные знаки. Произведение будет отрицательным. Умножим модули чисел: $7 \cdot 4 = 28$.
$(-7) \cdot (+4) = -28$.
Ответ: $-28$.

Множители $(-2)$ и $(-1)$ имеют одинаковые знаки (оба отрицательные). Следовательно, их произведение будет положительным числом. Умножим модули: $2 \cdot 1 = 2$.
$(-2) \cdot (-1) = 2$.
Ответ: $2$.

Оба множителя, $(-8)$ и $(-8)$, являются отрицательными. Произведение двух отрицательных чисел положительно. Умножим их модули: $8 \cdot 8 = 64$.
$(-8) \cdot (-8) = 64$.
Ответ: $64$.

Множители $(-7)$ и $(-9)$ имеют одинаковые знаки, поэтому произведение будет положительным. Умножим модули: $7 \cdot 9 = 63$.
$(-7) \cdot (-9) = 63$.
Ответ: $63$.

Оба множителя, $(+9)$ и $(+8)$, являются положительными. Произведение будет положительным. Выполним умножение: $9 \cdot 8 = 72$.
$(+9) \cdot (+8) = 72$.
Ответ: $72$.

Множители $(+10)$ и $(+77)$ имеют одинаковые знаки (оба положительные), значит, произведение будет положительным. Умножим числа: $10 \cdot 77 = 770$.
$(+10) \cdot (+77) = 770$.
Ответ: $770$.

309. Выполните умножение:

а) $0 \cdot (-5);$

б) $(+3) \cdot 0;$

в) $(-6) \cdot 0;$

г) $(+49) \cdot 0;$

д) $0 \cdot (-54);$

е) $0 \cdot (+48).$

Для решения всех этих примеров используется основное свойство умножения: произведение любого числа на ноль равно нулю. Это можно записать в виде формулы: $a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0$, где $a$ — любое число.

а) Умножаем ноль на отрицательное число -5. Согласно свойству умножения на ноль, произведение будет равно нулю.

$0 \cdot (-5) = 0$

Ответ: 0

б) Умножаем положительное число +3 на ноль. Результат будет равен нулю.

$(+3) \cdot 0 = 0$

Ответ: 0

в) Умножаем отрицательное число -6 на ноль. В соответствии со свойством умножения на ноль, результат равен нулю.

$(-6) \cdot 0 = 0$

Ответ: 0

г) Умножаем положительное число +49 на ноль. Произведение любого числа и нуля равно нулю.

$(+49) \cdot 0 = 0$

Ответ: 0

д) Умножаем ноль на отрицательное число -54. Результат этого умножения также равен нулю.

$0 \cdot (-54) = 0$

Ответ: 0

е) Умножаем ноль на положительное число +48. Применяя свойство умножения на ноль, получаем ноль.

$0 \cdot (+48) = 0$

Ответ: 0

310. Выполните умножение по образцу:

$(-56) \cdot (-13) = + (56 \cdot 13) = \dots$

$\begin{array}{r} 56 \\ \times 13 \\ \hline \dots \end{array}$

a) $(+45) \cdot (-13);$

б) $(+230) \cdot (-48);$

в) $(-505) \cdot (-8);$

г) $(-358) \cdot (-5);$

д) $(-24) \cdot (-35);$

е) $(-125) \cdot (-160);$

ж) $(-405) \cdot (+28);$

з) $(-72) \cdot (+101);$

и) $(+15) \cdot (+16).$

а) Чтобы умножить два числа с разными знаками, нужно умножить их модули и перед полученным произведением поставить знак «–».
$(+45) \cdot (-13) = -(45 \cdot 13)$
Выполним умножение модулей: $45 \cdot 13 = 45 \cdot (10 + 3) = 450 + 135 = 585$.
Таким образом, $(+45) \cdot (-13) = -585$.
Ответ: -585

б) Произведение двух чисел с разными знаками является отрицательным числом. Для нахождения результата умножим их модули и поставим знак «–».
$(+230) \cdot (-48) = -(230 \cdot 48)$
Выполним умножение модулей: $230 \cdot 48 = 11040$.
$\begin{array}{r}\times\\\,\\+\\ \end{array}\begin{array}{r}230\\48\\\hline 1840\\920\quad\\\hline 11040\end{array}$
Таким образом, $(+230) \cdot (-48) = -11040$.
Ответ: -11040

в) Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом. Для нахождения результата нужно перемножить их модули.
$(-505) \cdot (-8) = +(505 \cdot 8)$
Выполним умножение модулей: $505 \cdot 8 = (500 + 5) \cdot 8 = 4000 + 40 = 4040$.
Таким образом, $(-505) \cdot (-8) = 4040$.
Ответ: 4040

г) Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом. Перемножим их модули.
$(-358) \cdot (-5) = +(358 \cdot 5)$
Выполним умножение модулей: $358 \cdot 5 = 1790$.
Таким образом, $(-358) \cdot (-5) = 1790$.
Ответ: 1790

д) Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом. Перемножим их модули.
$(-24) \cdot (-35) = +(24 \cdot 35)$
Выполним умножение модулей: $24 \cdot 35 = 840$.
$\begin{array}{r}\times\\\,\\+\\ \end{array}\begin{array}{r}24\\35\\\hline 120\\72\quad\\\hline 840\end{array}$
Таким образом, $(-24) \cdot (-35) = 840$.
Ответ: 840

е) Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом. Перемножим их модули.
$(-125) \cdot (-160) = +(125 \cdot 160)$
Выполним умножение модулей: $125 \cdot 160 = 125 \cdot 16 \cdot 10 = 2000 \cdot 10 = 20000$.
Таким образом, $(-125) \cdot (-160) = 20000$.
Ответ: 20000

ж) Произведение двух чисел с разными знаками является отрицательным числом. Умножим их модули и поставим знак «–».
$(-405) \cdot (+28) = -(405 \cdot 28)$
Выполним умножение модулей: $405 \cdot 28 = 11340$.
$\begin{array}{r}\times\\\,\\+\\ \end{array}\begin{array}{r}405\\28\\\hline 3240\\810\quad\\\hline 11340\end{array}$
Таким образом, $(-405) \cdot (+28) = -11340$.
Ответ: -11340

з) Произведение двух чисел с разными знаками является отрицательным числом. Умножим их модули и поставим знак «–».
$(-72) \cdot (+101) = -(72 \cdot 101)$
Выполним умножение модулей: $72 \cdot 101 = 72 \cdot (100+1) = 7200 + 72 = 7272$.
Таким образом, $(-72) \cdot (+101) = -7272$.
Ответ: -7272

и) Произведение двух положительных чисел является положительным числом. Перемножим их модули.
$(+15) \cdot (+16) = +(15 \cdot 16)$
Выполним умножение модулей: $15 \cdot 16 = 15 \cdot (15+1) = 15^2 + 15 = 225 + 15 = 240$.
Таким образом, $(+15) \cdot (+16) = 240$.
Ответ: 240

31. Упростите запись произведения в предыдущем задании.

Для упрощения записи произведения, в котором один и тот же множитель повторяется несколько раз, используется понятие степени. Степенью числа a с натуральным показателем n, большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен a. Это записывается как $a^n$, где a — основание степени, а n — показатель степени. Если показатель степени равен 1, то $a^1 = a$.

Поскольку содержание "предыдущего задания" неизвестно, приведем несколько примеров упрощения записи произведений, которые могли бы быть в нем.

а) $c \cdot c \cdot c \cdot c \cdot c \cdot c$

В данном произведении множитель $c$ повторяется 6 раз. Следовательно, это произведение можно записать в виде степени с основанием $c$ и показателем 6.

$c \cdot c \cdot c \cdot c \cdot c \cdot c = c^6$

Ответ: $c^6$

б) $10 \cdot 10 \cdot 10$

Здесь множитель 10 повторяется 3 раза. Запишем это в виде степени с основанием 10 и показателем 3.

$10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^3$

Ответ: $10^3$

в) $(x + y) \cdot (x + y)$

В этом случае множителем является целое выражение в скобках $(x + y)$. Оно повторяется 2 раза. Значит, основанием степени будет $(x + y)$, а показателем — 2.

$(x + y) \cdot (x + y) = (x + y)^2$

Ответ: $(x + y)^2$

г) $9 \cdot m \cdot m \cdot n \cdot n \cdot n \cdot n$

В этом произведении есть числовой коэффициент 9 и повторяющиеся буквенные множители $m$ и $n$. Упростим запись для каждой группы одинаковых множителей. Множитель $m$ повторяется 2 раза, что записывается как $m^2$. Множитель $n$ повторяется 4 раза, что записывается как $n^4$. Числовой множитель 9 остается без изменений. В алгебраических выражениях знаки умножения между числом и переменными, а также между переменными, принято опускать.

$9 \cdot m \cdot m \cdot n \cdot n \cdot n \cdot n = 9 \cdot m^2 \cdot n^4 = 9m^2n^4$

Ответ: $9m^2n^4$

д) $a \cdot 2 \cdot b \cdot a \cdot b \cdot 2$

Сначала сгруппируем числовые и одинаковые буквенные множители, используя переместительное свойство умножения.

$a \cdot 2 \cdot b \cdot a \cdot b \cdot 2 = (2 \cdot 2) \cdot (a \cdot a) \cdot (b \cdot b)$

Теперь выполним умножение числовых множителей и заменим произведения одинаковых буквенных множителей на степени.

$(2 \cdot 2) \cdot (a \cdot a) \cdot (b \cdot b) = 4 \cdot a^2 \cdot b^2 = 4a^2b^2$

Ответ: $4a^2b^2$

312. Определите знак произведения:

а) $ (-1) \cdot (-1) $;

б) $ (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) $;

в) $ (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) $;

г) $ (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) $.

Для определения знака произведения необходимо посчитать количество отрицательных множителей. Если это количество четное (делится на 2 без остатка), то произведение будет положительным (знак «+»). Если количество отрицательных множителей нечетное, то произведение будет отрицательным (знак «−»).

а) В произведении $ (-1) \cdot (-1) $ содержится два отрицательных множителя. Число 2 является четным, следовательно, результат будет положительным.
Вычисление: $ (-1) \cdot (-1) = 1 $. Знак — плюс.
Ответ: +.

б) В произведении $ (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) $ содержится три отрицательных множителя. Число 3 является нечетным, следовательно, результат будет отрицательным.
Вычисление: $ (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) = 1 \cdot (-1) = -1 $. Знак — минус.
Ответ: −.

в) В произведении $ (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) $ содержится четыре отрицательных множителя. Число 4 является четным, следовательно, результат будет положительным.
Вычисление: $ (-1)^4 = 1 $. Знак — плюс.
Ответ: +.

г) В произведении $ (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) $ содержится семь отрицательных множителей. Число 7 является нечетным, следовательно, результат будет отрицательным.
Вычисление: $ (-1)^7 = -1 $. Знак — минус.
Ответ: −.