Страница 68 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

344. Запишите произведение в виде суммы (разности):

а) $5 \cdot (38 + 17) = 5 \cdot 38 + 5 \cdot 17;$

б) $17 \cdot (31 + 16);$

в) $(28 + 37) \cdot 56;$

г) $(72 + 98) \cdot 12;$

д) $(49 - 17) \cdot 12;$

е) $8 \cdot (57 - 38);$

ж) $17 \cdot (28 + 31).$

Для решения данной задачи используется распределительное свойство умножения относительно сложения и вычитания. Это свойство позволяет представить произведение числа и суммы (или разности) в виде суммы (или разности) произведений.

Формулы распределительного свойства:

1. Относительно сложения: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$ или $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$.

2. Относительно вычитания: $a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c$ или $(a - b) \cdot c = a \cdot c - b \cdot c$.

Применим эти правила к каждому из выражений.

б) В выражении $17 \cdot (31 + 16)$ мы умножаем число 17 на сумму чисел 31 и 16. Используя распределительное свойство, умножаем 17 на каждое слагаемое в скобках и складываем полученные произведения.

$17 \cdot (31 + 16) = 17 \cdot 31 + 17 \cdot 16$

Ответ: $17 \cdot 31 + 17 \cdot 16$.

в) В выражении $(28 + 37) \cdot 56$ мы умножаем сумму чисел 28 и 37 на число 56. Умножаем каждое слагаемое в скобках на 56 и складываем результаты.

$(28 + 37) \cdot 56 = 28 \cdot 56 + 37 \cdot 56$

Ответ: $28 \cdot 56 + 37 \cdot 56$.

г) В выражении $(72 + 98) \cdot 12$ мы умножаем сумму чисел 72 и 98 на число 12. Умножаем каждое слагаемое в скобках на 12 и складываем результаты.

$(72 + 98) \cdot 12 = 72 \cdot 12 + 98 \cdot 12$

Ответ: $72 \cdot 12 + 98 \cdot 12$.

д) В выражении $(49 - 17) \cdot 12$ мы умножаем разность чисел 49 и 17 на число 12. Используя распределительное свойство для вычитания, умножаем уменьшаемое и вычитаемое на 12 и находим разность полученных произведений.

$(49 - 17) \cdot 12 = 49 \cdot 12 - 17 \cdot 12$

Ответ: $49 \cdot 12 - 17 \cdot 12$.

е) В выражении $8 \cdot (57 - 38)$ мы умножаем число 8 на разность чисел 57 и 38. Умножаем 8 на уменьшаемое и вычитаемое, а затем находим разность результатов.

$8 \cdot (57 - 38) = 8 \cdot 57 - 8 \cdot 38$

Ответ: $8 \cdot 57 - 8 \cdot 38$.

ж) В выражении $17 \cdot (28 + 31)$ мы умножаем число 17 на сумму чисел 28 и 31. Умножаем 17 на каждое слагаемое в скобках и складываем полученные произведения.

$17 \cdot (28 + 31) = 17 \cdot 28 + 17 \cdot 31$

Ответ: $17 \cdot 28 + 17 \cdot 31$.

345. Вынесите общий множитель за скобки:

а) $15 \cdot 12 + 15 \cdot 49 = 15 \cdot (12+49);$

б) $57 \cdot 39 + 57 \cdot 64;$

в) $39 \cdot 12 + 28 \cdot 12;$

г) $73 \cdot 57 + 79 \cdot 57;$

д) $13 \cdot 95 - 13 \cdot 41;$

е) $27 \cdot 48 - 19 \cdot 48;$

ж) $54 \cdot 88 - 54 \cdot 87.$

б) В выражении $57 \cdot 39 + 57 \cdot 64$ оба слагаемых содержат общий множитель 57. Согласно распределительному свойству умножения относительно сложения ($a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)$), мы можем вынести этот множитель за скобки.

$57 \cdot 39 + 57 \cdot 64 = 57 \cdot (39 + 64)$

Ответ: $57 \cdot (39 + 64)$

в) В выражении $39 \cdot 12 + 28 \cdot 12$ общим множителем для обоих слагаемых является число 12. Применим распределительное свойство умножения ($a \cdot c + b \cdot c = (a + b) \cdot c$) и вынесем 12 за скобки.

$39 \cdot 12 + 28 \cdot 12 = (39 + 28) \cdot 12$

Ответ: $(39 + 28) \cdot 12$

г) В выражении $73 \cdot 57 + 79 \cdot 57$ общим множителем является число 57. Вынесем его за скобки, основываясь на распределительном свойстве умножения ($a \cdot c + b \cdot c = (a + b) \cdot c$).

$73 \cdot 57 + 79 \cdot 57 = (73 + 79) \cdot 57$

Ответ: $(73 + 79) \cdot 57$

д) В выражении $13 \cdot 95 - 13 \cdot 41$ уменьшаемое и вычитаемое имеют общий множитель 13. Используя распределительное свойство умножения относительно вычитания ($a \cdot b - a \cdot c = a \cdot (b - c)$), выносим 13 за скобки.

$13 \cdot 95 - 13 \cdot 41 = 13 \cdot (95 - 41)$

Ответ: $13 \cdot (95 - 41)$

е) В выражении $27 \cdot 48 - 19 \cdot 48$ общим множителем является число 48. Применим распределительное свойство умножения относительно вычитания ($a \cdot c - b \cdot c = (a - b) \cdot c$) и вынесем 48 за скобки.

$27 \cdot 48 - 19 \cdot 48 = (27 - 19) \cdot 48$

Ответ: $(27 - 19) \cdot 48$

ж) В выражении $54 \cdot 88 - 54 \cdot 87$ общий множитель равен 54. Вынесем его за скобки, используя распределительное свойство умножения ($a \cdot b - a \cdot c = a \cdot (b - c)$).

$54 \cdot 88 - 54 \cdot 87 = 54 \cdot (88 - 87)$

Ответ: $54 \cdot (88 - 87)$

346. Вычислите удобным способом:

а) $350 \cdot 46 + 250 \cdot 46;$

б) $728 \cdot 49 - 528 \cdot 49;$

в) $52 \cdot 100 - 52 \cdot 99;$

г) $99 \cdot 48 + 1 \cdot 48;$

д) $4300 - 43 \cdot 99;$

е) $999 \cdot 156 + 156;$

ж) $128 \cdot 32 + 872 \cdot 32 - 1000 \cdot 31;$

з) $999 \cdot 999 - 999 \cdot 989 - 9990;$

и) $728 \cdot 359 - 628 \cdot 359 + 641 \cdot 1000.$

а) $350 \cdot 46 + 250 \cdot 46$

Для решения применим распределительное свойство умножения относительно сложения $a \cdot c + b \cdot c = (a+b) \cdot c$. Вынесем общий множитель 46 за скобки:

$(350 + 250) \cdot 46 = 600 \cdot 46 = 27600$

Ответ: 27600.

б) $728 \cdot 49 - 528 \cdot 49$

Применим распределительное свойство умножения относительно вычитания $a \cdot c - b \cdot c = (a-b) \cdot c$. Вынесем общий множитель 49 за скобки:

$(728 - 528) \cdot 49 = 200 \cdot 49 = 9800$

Ответ: 9800.

в) $52 \cdot 100 - 52 \cdot 99$

Вынесем общий множитель 52 за скобки:

$52 \cdot (100 - 99) = 52 \cdot 1 = 52$

Ответ: 52.

г) $99 \cdot 48 + 1 \cdot 48$

Вынесем общий множитель 48 за скобки:

$(99 + 1) \cdot 48 = 100 \cdot 48 = 4800$

Ответ: 4800.

д) $4300 - 43 \cdot 99$

Представим число 4300 в виде произведения $43 \cdot 100$ и вынесем общий множитель 43 за скобки:

$43 \cdot 100 - 43 \cdot 99 = 43 \cdot (100 - 99) = 43 \cdot 1 = 43$

Ответ: 43.

е) $999 \cdot 156 + 156$

Представим второе слагаемое 156 как $1 \cdot 156$ и вынесем общий множитель 156 за скобки:

$999 \cdot 156 + 1 \cdot 156 = (999 + 1) \cdot 156 = 1000 \cdot 156 = 156000$

Ответ: 156000.

ж) $128 \cdot 32 + 872 \cdot 32 - 1000 \cdot 31$

Сначала сгруппируем первые два слагаемых и вынесем общий множитель 32 за скобки:

$(128 + 872) \cdot 32 - 1000 \cdot 31 = 1000 \cdot 32 - 1000 \cdot 31$

Теперь вынесем общий множитель 1000 за скобки:

$1000 \cdot (32 - 31) = 1000 \cdot 1 = 1000$

Ответ: 1000.

з) $999 \cdot 999 - 999 \cdot 989 - 9990$

В первых двух членах вынесем общий множитель 999 за скобки:

$999 \cdot (999 - 989) - 9990 = 999 \cdot 10 - 9990$

Выполним умножение и вычитание:

$9990 - 9990 = 0$

Ответ: 0.

и) $728 \cdot 359 - 628 \cdot 359 + 641 \cdot 1000$

Сгруппируем первые два члена и вынесем за скобки общий множитель 359:

$(728 - 628) \cdot 359 + 641 \cdot 1000 = 100 \cdot 359 + 641 \cdot 1000$

Выполним умножение и сложение:

$35900 + 641000 = 676900$

Ответ: 676900.

347. Запишите распределительный закон для целых чисел $a, b, c$, сформулируйте его.

Распределительный закон (также называемый дистрибутивным законом) связывает операции умножения и сложения для целых чисел. Для любых целых чисел $a$, $b$ и $c$ он может быть записан в виде следующей формулы:

$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$

Словесная формулировка распределительного закона:

Чтобы умножить число на сумму двух других чисел, можно умножить это число на каждое слагаемое в отдельности, а затем сложить полученные произведения.

Этот закон также справедлив и для вычитания:

$a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c$

В этом случае, чтобы умножить число на разность двух чисел, можно умножить это число на уменьшаемое и на вычитаемое, а затем из первого произведения вычесть второе.

Ответ: Распределительный закон для целых чисел $a, b, c$ записывается формулой: $a(b + c) = ab + ac$. Формулировка: чтобы умножить число на сумму двух чисел, нужно это число умножить на каждое слагаемое и полученные результаты сложить.

348. Как называют переход от суммы $a \cdot c + b \cdot c$ к произведению $(a + b) \cdot c$?

Переход от суммы $a \cdot c + b \cdot c$ к произведению $(a + b) \cdot c$ является фундаментальным алгебраическим преобразованием. В исходном выражении мы имеем сумму двух слагаемых: $a \cdot c$ и $b \cdot c$. Можно заметить, что у обоих слагаемых есть общий множитель — это переменная $c$.

Операция, при которой этот общий множитель извлекается из каждого слагаемого и ставится перед скобками (или, как в данном случае, после них), а в скобках записываются оставшиеся части слагаемых, соединенные тем же знаком, называется вынесением общего множителя за скобки.

Это преобразование основано на распределительном (дистрибутивном) законе умножения относительно сложения, который гласит, что для любых чисел $x$, $y$ и $m$ верно равенство: $(x + y) \cdot m = x \cdot m + y \cdot m$. В задаче показано применение этого закона в обратном направлении: $a \cdot c + b \cdot c = (a + b) \cdot c$.

Цель такого преобразования — представить сумму в виде произведения (этот процесс также является частным случаем разложения на множители), что часто используется для упрощения выражений или решения уравнений.

Ответ: вынесение общего множителя за скобки.

349. Проверьте выполнение распределительного закона для чисел $a, b, c:$

а) $a=-5, b=3, c=-10;$

б) $a=-5, b=-3, c=6.$

Распределительный закон умножения относительно сложения (дистрибутивность) утверждает, что для любых чисел $a$, $b$ и $c$ справедливо равенство: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$.

Проверим выполнение этого закона для заданных значений.

а) При $a = -5$, $b = 3$, $c = -10$:

1. Вычислим значение левой части равенства:

$a \cdot (b + c) = -5 \cdot (3 + (-10)) = -5 \cdot (3 - 10) = -5 \cdot (-7) = 35$.

2. Вычислим значение правой части равенства:

$a \cdot b + a \cdot c = (-5) \cdot 3 + (-5) \cdot (-10) = -15 + 50 = 35$.

3. Сравним результаты:

$35 = 35$.

Поскольку левая и правая части равенства равны, распределительный закон для данных чисел выполняется.

Ответ: выполняется.

б) При $a = -5$, $b = -3$, $c = 6$:

1. Вычислим значение левой части равенства:

$a \cdot (b + c) = -5 \cdot (-3 + 6) = -5 \cdot 3 = -15$.

2. Вычислим значение правой части равенства:

$a \cdot b + a \cdot c = (-5) \cdot (-3) + (-5) \cdot 6 = 15 + (-30) = 15 - 30 = -15$.

3. Сравним результаты:

$-15 = -15$.

Поскольку левая и правая части равенства равны, распределительный закон для данных чисел выполняется.

Ответ: выполняется.