Страница 65 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

325. Запишите выражение разными способами по образцу:

a) $(-8)^3 = (-8) \cdot (-8) \cdot (-8) = -(8 \cdot 8 \cdot 8) = -(8^3) = -8^3;$

б) $-6^3;$

в) $(-5)^4;$

г) $-5^4;$

д) $-7^2;$

е) $(-18)^2.$

б) В выражении $-6^3$ в степень возводится только число 6, а знак минус относится ко всему результату. Так как показатель степени 3 является нечетным числом, это выражение равносильно возведению в куб отрицательного числа $(-6)$.

$-6^3 = -(6 \cdot 6 \cdot 6) = (-6)^3 = -216$.

Ответ: $-6^3 = -(6 \cdot 6 \cdot 6) = (-6)^3 = -216$.

в) В выражении $(-5)^4$ в степень возводится отрицательное число $-5$. Так как показатель степени 4 является четным числом, произведение четного количества отрицательных множителей будет положительным.

$(-5)^4 = (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^4 = 625$.

Ответ: $(-5)^4 = (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) = 5^4 = 625$.

г) В выражении $-5^4$ в степень возводится только число 5, а знак минус относится ко всему результату. Это отличается от выражения $(-5)^4$.

$-5^4 = -(5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5) = -625$.

Ответ: $-5^4 = -(5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5) = -625$.

д) Аналогично предыдущему пункту, в выражении $-7^2$ в степень возводится только число 7, а знак минус относится к результату.

$-7^2 = -(7 \cdot 7) = -49$.

Ответ: $-7^2 = -(7 \cdot 7) = -49$.

е) В выражении $(-18)^2$ в степень возводится отрицательное число $-18$. Так как показатель степени 2 является четным числом, результат будет положительным.

$(-18)^2 = (-18) \cdot (-18) = 18 \cdot 18 = 18^2 = 324$.

Ответ: $(-18)^2 = (-18) \cdot (-18) = 18^2 = 324$.

326. Какое число больше:

а) $-2^2$ или $(-2)^2$;

б) $-3^2$ или $-2^3$;

в) $(-3)^2$ или $(-2)^3$;

г) $(-4)^3$ или $-3^4$?

а) Чтобы сравнить числа $-2^2$ и $(-2)^2$, необходимо вычислить их значения. Важно помнить о порядке действий: возведение в степень выполняется раньше, чем унарный минус (отрицание).
1. Вычисляем $-2^2$. Сначала возводим 2 в квадрат, а затем применяем знак минуса:
$-2^2 = -(2^2) = -(2 \cdot 2) = -4$.
2. Вычисляем $(-2)^2$. Здесь в квадрат возводится число -2, включая его знак:
$(-2)^2 = (-2) \cdot (-2) = 4$.
3. Сравниваем полученные результаты: $4 > -4$.
Следовательно, $(-2)^2 > -2^2$.
Ответ: $(-2)^2$.

б) Сравним числа $-3^2$ и $-2^3$.
1. Вычисляем $-3^2$:
$-3^2 = -(3^2) = -(3 \cdot 3) = -9$.
2. Вычисляем $-2^3$:
$-2^3 = -(2^3) = -(2 \cdot 2 \cdot 2) = -8$.
3. Сравниваем полученные отрицательные числа: $-8$ находится на числовой прямой правее, чем $-9$, поэтому $-8 > -9$.
Следовательно, $-2^3 > -3^2$.
Ответ: $-2^3$.

в) Сравним числа $(-3)^2$ и $(-2)^3$.
1. Вычисляем $(-3)^2$. Отрицательное число в четной степени дает положительный результат:
$(-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = 9$.
2. Вычисляем $(-2)^3$. Отрицательное число в нечетной степени дает отрицательный результат:
$(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 4 \cdot (-2) = -8$.
3. Сравниваем полученные результаты: любое положительное число больше любого отрицательного, поэтому $9 > -8$.
Следовательно, $(-3)^2 > (-2)^3$.
Ответ: $(-3)^2$.

г) Сравним числа $(-4)^3$ и $-3^4$.
1. Вычисляем $(-4)^3$ (отрицательное число в нечетной степени):
$(-4)^3 = (-4) \cdot (-4) \cdot (-4) = 16 \cdot (-4) = -64$.
2. Вычисляем $-3^4$ (возведение в степень перед отрицанием):
$-3^4 = -(3^4) = -(3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3) = -(81) = -81$.
3. Сравниваем полученные отрицательные числа: $-64 > -81$.
Следовательно, $(-4)^3 > -3^4$.
Ответ: $(-4)^3$.

327. Запишите:

а) квадрат числа $-2$;

б) произведение $-4$ и $7$;

в) сумму чисел $-7$ и $7$;

г) куб числа $-10$;

д) четвёртую степень $-5$;

е) разность чисел $-4$ и $-12$.

а) Квадрат числа $-2$ — это результат умножения этого числа на само себя. Это можно записать в виде выражения $(-2)^2$.

Вычисление: $(-2)^2 = (-2) \cdot (-2) = 4$.

Ответ: 4.

б) Произведение чисел $-4$ и $7$ — это результат их умножения. Это можно записать в виде выражения $(-4) \cdot 7$.

Вычисление: $(-4) \cdot 7 = -28$.

Ответ: -28.

в) Сумма чисел $-7$ и $7$ — это результат их сложения. Это можно записать в виде выражения $(-7) + 7$. Числа $-7$ и $7$ являются противоположными, поэтому их сумма равна нулю.

Вычисление: $(-7) + 7 = 0$.

Ответ: 0.

г) Куб числа $-10$ — это результат умножения этого числа на само себя три раза. Это можно записать в виде выражения $(-10)^3$.

Вычисление: $(-10)^3 = (-10) \cdot (-10) \cdot (-10) = 100 \cdot (-10) = -1000$.

Ответ: -1000.

д) Четвёртая степень числа $-5$ — это результат умножения этого числа на само себя четыре раза. Это можно записать в виде выражения $(-5)^4$.

Вычисление: $(-5)^4 = (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) = 25 \cdot 25 = 625$.

Ответ: 625.

е) Разность чисел $-4$ и $-12$ — это результат вычитания второго числа из первого. Это можно записать в виде выражения $(-4) - (-12)$.

Вычисление: $(-4) - (-12) = -4 + 12 = 8$.

Ответ: 8.

328. Вычислите, предварительно указав порядок действий:

а) $3 \cdot (-2)^2;$

б) $-4 \cdot (-3)^3;$

в) $-(-3)^4;$

г) $-(-2)^3;$

д) $-(-5)^2;$

е) $-4 \cdot (-3)^2.$

а) $3 \cdot (-2)^2$
Порядок действий: сначала необходимо выполнить возведение в степень, а затем умножение.
1. Возводим $-2$ во вторую степень: $(-2)^2 = (-2) \cdot (-2) = 4$.
2. Умножаем 3 на полученный результат: $3 \cdot 4 = 12$.
Ответ: 12.

б) $-4 \cdot (-3)^3$
Порядок действий: сначала выполняем возведение в степень, после этого — умножение.
1. Возводим $-3$ в третью степень: $(-3)^3 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = 9 \cdot (-3) = -27$.
2. Умножаем $-4$ на полученный результат: $-4 \cdot (-27) = 108$.
Ответ: 108.

в) $-(-3)^4$
Порядок действий: сначала возводим в степень число в скобках, затем применяем знак минуса перед скобками.
1. Возводим $-3$ в четвертую степень: $(-3)^4 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = 9 \cdot 9 = 81$.
2. Применяем знак минуса к результату: $-(81) = -81$.
Ответ: -81.

г) $-(-2)^3$
Порядок действий: сначала возводим в степень число в скобках, а затем применяем знак минуса, стоящий перед скобками.
1. Возводим $-2$ в третью степень: $(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 4 \cdot (-2) = -8$.
2. Применяем знак минуса к результату: $-(-8) = 8$.
Ответ: 8.

д) $-(-5)^2$
Порядок действий: сначала возводим в степень число в скобках, затем применяем знак минуса перед скобками.
1. Возводим $-5$ во вторую степень: $(-5)^2 = (-5) \cdot (-5) = 25$.
2. Применяем знак минуса к результату: $-(25) = -25$.
Ответ: -25.

е) $-4 \cdot (-3)^2$
Порядок действий: сначала выполняем возведение в степень, затем — умножение.
1. Возводим $-3$ во вторую степень: $(-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = 9$.
2. Умножаем $-4$ на полученный результат: $-4 \cdot 9 = -36$.
Ответ: -36.

329. Найдите число одинаковых слагаемых:

а) $(-2) + (-2) + ... + (-2) = -12;$

б) $(-8) + (-8) + ... + (-8) = -80;$

в) $(-4) + (-4) + ... + (-4) = -20;$

г) $(-3) + (-3) + ... + (-3) = -39.$

а) Чтобы найти число одинаковых слагаемых, необходимо итоговую сумму разделить на значение одного слагаемого. Пусть искомое число слагаемых равно $n$. Тогда данное выражение можно записать в виде произведения:
$n \cdot (-2) = -12$
Чтобы найти $n$, разделим обе части уравнения на $(-2)$:
$n = (-12) \div (-2)$
$n = 6$
Следовательно, в сумме 6 слагаемых.
Ответ: 6.

б) Пусть $n$ — это количество одинаковых слагаемых. Сумму можно представить как произведение числа слагаемых на само слагаемое:
$n \cdot (-8) = -80$
Найдем $n$, разделив сумму на слагаемое:
$n = (-80) \div (-8)$
$n = 10$
Таким образом, в сумме 10 слагаемых.
Ответ: 10.

в) Обозначим искомое число слагаемых через $n$. Тогда сумму можно записать в виде следующего уравнения:
$n \cdot (-4) = -20$
Чтобы найти $n$, разделим итоговую сумму на значение слагаемого:
$n = (-20) \div (-4)$
$n = 5$
Значит, в сумме 5 слагаемых.
Ответ: 5.

г) Пусть $n$ — число одинаковых слагаемых. Запишем данное выражение в виде произведения:
$n \cdot (-3) = -39$
Для нахождения $n$ разделим сумму на значение одного слагаемого:
$n = (-39) \div (-3)$
$n = 13$
Следовательно, в сумме 13 слагаемых.
Ответ: 13.

330. Какие одинаковые слагаемые сложили:

а) $\dots + \dots + \dots + \dots + \dots + \dots = -25;$

б) $\dots + \dots + \dots + \dots + \dots = -40;$

в) $\dots + \dots + \dots + \dots + \dots + \dots + \dots = -36?$

а)

В данном примере сумма пяти одинаковых слагаемых равна -25. Чтобы найти это слагаемое, нужно разделить сумму на количество слагаемых. Обозначим неизвестное слагаемое как $x$.

Уравнение выглядит так:

$x + x + x + x + x = -25$

Это можно записать в виде произведения:

$5 \cdot x = -25$

Теперь найдем $x$:

$x = -25 : 5$

$x = -5$

Следовательно, каждое слагаемое равно -5.

Ответ: -5.

б)

В этом примере сумма четырех одинаковых слагаемых равна -40. Чтобы найти это слагаемое, нужно разделить сумму на количество слагаемых. Обозначим неизвестное слагаемое как $y$.

Уравнение выглядит так:

$y + y + y + y = -40$

Это можно записать в виде произведения:

$4 \cdot y = -40$

Теперь найдем $y$:

$y = -40 : 4$

$y = -10$

Следовательно, каждое слагаемое равно -10.

Ответ: -10.

в)

Здесь сумма шести одинаковых слагаемых равна -36. Чтобы найти это слагаемое, нужно разделить сумму на количество слагаемых. Обозначим неизвестное слагаемое как $z$.

Уравнение выглядит так:

$z + z + z + z + z + z = -36$

Это можно записать в виде произведения:

$6 \cdot z = -36$

Теперь найдем $z$:

$z = -36 : 6$

$z = -6$

Следовательно, каждое слагаемое равно -6.

Ответ: -6.