Страница 43 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

185. 2 землекопа за $2 \text{ ч}$ выкопают $2 \text{ м}$ канавы. Сколько землекопов за $5 \text{ ч}$ выкопают $5 \text{ м}$ канавы?

Чтобы решить эту задачу, давайте сначала определим производительность (скорость работы) одного землекопа.

1. Находим производительность двух землекопов.
По условию, 2 землекопа за 2 часа выкапывают 2 метра канавы. Чтобы найти, сколько они выкапывают за 1 час, разделим объем работы на время:
$2 \text{ м} \div 2 \text{ ч} = 1 \text{ м/ч}$.
Таким образом, два землекопа вместе копают со скоростью 1 метр в час.

2. Находим производительность одного землекопа.
Если два землекопа вместе выкапывают 1 метр в час, то один землекоп работает в два раза медленнее:
$1 \text{ м/ч} \div 2 \text{ землекопа} = 0.5 \text{ м/ч}$.
Итак, производительность одного землекопа составляет 0.5 метра в час.

3. Определяем требуемую производительность для второй ситуации.
Нужно выкопать 5 метров канавы за 5 часов. Необходимая общая скорость работы составляет:
$5 \text{ м} \div 5 \text{ ч} = 1 \text{ м/ч}$.

4. Находим необходимое количество землекопов.
Чтобы обеспечить общую производительность 1 м/ч, зная, что один землекоп обеспечивает 0.5 м/ч, нужно разделить требуемую производительность на производительность одного землекопа:
$1 \text{ м/ч} \div 0.5 \text{ м/ч на землекопа} = 2 \text{ землекопа}$.

Ответ: 2 землекопа.

186. Из «Всеобщей арифметики» И. Ньютона. Если писец может за 8 дней написать 15 листов, сколько понадобится писцов, чтобы написать 405 листов за 9 дней?

Для решения этой задачи нужно определить производительность труда одного писца, а затем рассчитать, сколько писцов потребуется для выполнения указанного объема работы в новый срок.

1. Сначала найдем производительность одного писца. Производительность — это количество работы (листов), выполняемое за единицу времени (день). Из условия известно, что 1 писец за 8 дней пишет 15 листов. Значит, его производительность $P_1$ составляет: $P_1 = \frac{15 \text{ листов}}{8 \text{ дней}} = \frac{15}{8}$ листа в день.

2. Теперь определим, какая общая производительность необходима, чтобы написать 405 листов за 9 дней. Обозначим эту общую производительность как $P_{общ}$. $P_{общ} = \frac{405 \text{ листов}}{9 \text{ дней}} = 45$ листов в день. Это та скорость, с которой должны работать все писцы вместе.

3. Чтобы найти необходимое количество писцов $N$, нужно общую требуемую производительность разделить на производительность одного писца: $N = \frac{P_{общ}}{P_1} = \frac{45}{\frac{15}{8}}$

Для деления на дробь нужно умножить на обратную ей дробь: $N = 45 \cdot \frac{8}{15} = \frac{45 \cdot 8}{15}$

Сокращаем 45 и 15 (45 / 15 = 3): $N = 3 \cdot 8 = 24$

Таким образом, для выполнения работы потребуется 24 писца.

Ответ: 24 писца.

187. Переписчик в течение 4 дней может переписать 40 листов, работая по 9 ч в день. Во сколько дней он перепишет 60 листов, работая по 12 ч в день?

Для решения этой задачи необходимо последовательно выполнить несколько шагов: сначала определить производительность работы переписчика, а затем, используя это значение, рассчитать время, необходимое для выполнения нового объема работы.

1. Вычисление производительности

Сначала найдем общее количество часов, которое переписчик потратил на переписку 40 листов. Он работал 4 дня по 9 часов в день.

Общее время работы: $4 \text{ дня} \times 9 \frac{\text{часов}}{\text{день}} = 36 \text{ часов}$.

Теперь можем вычислить производительность (скорость работы), то есть количество листов, которое он переписывает за один час:

Производительность = $\frac{\text{Объем работы}}{\text{Время}} = \frac{40 \text{ листов}}{36 \text{ часов}} = \frac{10}{9} \frac{\text{листов}}{\text{час}}$.

2. Расчет времени для новой задачи

Теперь определим, сколько всего часов потребуется, чтобы переписать 60 листов с той же производительностью.

Необходимое время = $\frac{\text{Новый объем работы}}{\text{Производительность}} = \frac{60 \text{ листов}}{\frac{10}{9} \frac{\text{листов}}{\text{час}}} = 60 \times \frac{9}{10} = 54 \text{ часа}$.

3. Определение итогового количества дней

По условию, для выполнения новой задачи переписчик будет работать по 12 часов в день. Чтобы найти искомое количество дней, разделим общее необходимое время на количество рабочих часов в день:

Количество дней = $\frac{54 \text{ часа}}{12 \frac{\text{часов}}{\text{день}}} = 4,5 \text{ дня}$.

Ответ: 4,5 дня.

188. У хозяйки спросили: «Хорошо ли несутся ваши куры?» — «Считайте сами, — был ответ, — полторы курицы за полтора дня несут полтора яйца, а всего у меня 12 кур». Сколько яиц несут куры в день?

Для решения задачи определим производительность (количество яиц в день) одной курицы, а затем найдем, сколько яиц несут все 12 кур.

1. Сколько яиц несут полторы курицы за один день?
По условию, $1.5$ курицы за $1.5$ дня несут $1.5$ яйца. Чтобы найти, сколько яиц они несут за один день, нужно разделить количество яиц на количество дней:
$1.5 \text{ яйца} \div 1.5 \text{ дня} = 1 \text{ яйцо в день}$.
Таким образом, производительность $1.5$ кур составляет 1 яйцо в день.

2. Какова производительность одной курицы?
Если $1.5$ курицы несут 1 яйцо в день, то одна курица за тот же день снесет в $1.5$ раза меньше яиц. Рассчитаем производительность одной курицы:
$1 \text{ яйцо} \div 1.5 \text{ курицы} = 1 \div \frac{3}{2} = 1 \times \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$ яйца в день.

3. Сколько яиц несут 12 кур в день?
Теперь, зная, что одна курица несет $\frac{2}{3}$ яйца в день, мы можем рассчитать, сколько яиц снесут 12 кур:
$12 \text{ кур} \times \frac{2}{3} \frac{\text{яйца}}{\text{день}} = \frac{12 \times 2}{3} = \frac{24}{3} = 8$ яиц в день.

Ответ: 8 яиц.

189. Зарплата в 100 условных единиц повысилась на 10 %, потом ещё на 10 %. На сколько процентов повысилась зарплата за 2 раза?

Для того чтобы найти, на сколько процентов повысилась зарплата за 2 раза, необходимо последовательно рассчитать каждое повышение.

Шаг 1: Расчет зарплаты после первого повышения

Начальная зарплата составляет 100 условных единиц. Первое повышение составляет 10%.

Найдем 10% от 100:

$100 \cdot \frac{10}{100} = 10$ условных единиц.

Теперь зарплата составляет:

$100 + 10 = 110$ условных единиц.

Шаг 2: Расчет зарплаты после второго повышения

Второе повышение на 10% рассчитывается уже от новой суммы в 110 условных единиц.

Найдем 10% от 110:

$110 \cdot \frac{10}{100} = 11$ условных единиц.

Итоговая зарплата после двух повышений:

$110 + 11 = 121$ условная единица.

Шаг 3: Расчет общего процентного повышения

Чтобы найти общее повышение в процентах, нужно сравнить итоговую зарплату (121) с начальной (100).

Разница в условных единицах составляет:

$121 - 100 = 21$ условная единица.

Теперь выразим эту разницу в процентах по отношению к начальной зарплате:

$\frac{\text{увеличение}}{\text{начальная зарплата}} \cdot 100\% = \frac{21}{100} \cdot 100\% = 21\%$

Таким образом, зарплата за 2 раза повысилась на 21%.

Ответ: 21%.

190. Цена товара в 100 условных единиц понизилась на 10 %, потом ещё на 10 %. На сколько процентов понизилась цена товара за 2 раза?

Для решения этой задачи необходимо последовательно рассчитать изменение цены товара.

Шаг 1: Вычисление цены после первого понижения.

Первоначальная цена товара составляет 100 условных единиц. Цена понижается на 10%.
Чтобы найти новую цену, можно вычислить 10% от 100 и вычесть это значение, либо сразу найти 90% от первоначальной цены ($100\% - 10\% = 90\%$).
Сумма скидки: $100 \times \frac{10}{100} = 10$ условных единиц.
Цена после первого понижения: $100 - 10 = 90$ условных единиц.

Шаг 2: Вычисление цены после второго понижения.

Второе понижение на 10% рассчитывается от новой цены, то есть от 90 условных единиц.
Сумма второй скидки: $90 \times \frac{10}{100} = 9$ условных единиц.
Итоговая цена после двух понижений: $90 - 9 = 81$ условная единица.

Шаг 3: Вычисление общего процентного понижения.

Чтобы найти, на сколько процентов понизилась цена в итоге, нужно сравнить конечную цену с первоначальной.
Общее изменение цены в условных единицах: $100 - 81 = 19$ условных единиц.
Теперь найдем, какой процент составляет это изменение от первоначальной цены (100 у.е.):
$\frac{\text{Общее изменение}}{\text{Первоначальная цена}} \times 100\% = \frac{19}{100} \times 100\% = 19\%$

Таким образом, общее понижение цены за два раза составило 19%.

Ответ: 19%.

191. Цена товара в 100 условных единиц сначала понизилась на $10\%$, потом повысилась на $10\%$. На сколько процентов понизилась или повысилась цена товара за 2 раза?

Чтобы определить, на сколько процентов изменилась цена товара, выполним вычисления по шагам.

1. Первое изменение: понижение цены на 10%.
Начальная цена товара — 100 условных единиц. Найдем, на сколько условных единиц цена понизилась:
$100 \times \frac{10}{100} = 10$ условных единиц.
Вычислим новую цену после понижения:
$100 - 10 = 90$ условных единиц.

2. Второе изменение: повышение цены на 10%.
Теперь цена повышается на 10% от текущей стоимости в 90 условных единиц. Найдем, на сколько условных единиц цена повысилась:
$90 \times \frac{10}{100} = 9$ условных единиц.
Вычислим конечную цену товара:
$90 + 9 = 99$ условных единиц.

3. Определение общего процентного изменения.
Первоначальная цена была 100 условных единиц, а конечная стала 99 условных единиц. Найдем абсолютное изменение цены:
$100 - 99 = 1$ условная единица.
Чтобы найти процентное изменение, нужно разделить абсолютное изменение на начальную цену и умножить на 100%.
$\frac{1}{100} \times 100\% = 1\%$
Так как конечная цена (99) оказалась меньше начальной (100), то итоговая цена понизилась.

Ответ: Цена товара понизилась на 1%.

192. Цена товара в 100 условных единиц сначала повысилась на 10 %, потом понизилась на 10 %. На сколько процентов понизилась или повысилась цена товара за 2 раза?

Для решения этой задачи необходимо последовательно рассчитать изменение цены товара.

1. Расчет цены после повышения на 10%.
Начальная цена товара составляет 100 условных единиц. Сначала цена повысилась на 10%. Найдем величину повышения: $100 \times \frac{10}{100} = 10$ условных единиц. Цена после повышения составила: $100 + 10 = 110$ условных единиц.

2. Расчет цены после понижения на 10%.
Затем цена понизилась на 10% от новой цены, то есть от 110 условных единиц. Найдем величину понижения: $110 \times \frac{10}{100} = 11$ условных единиц. Итоговая цена после понижения составила: $110 - 11 = 99$ условных единиц.

3. Определение общего изменения цены в процентах.
Начальная цена была 100 условных единиц, а итоговая цена стала 99 условных единиц. Найдем абсолютное изменение цены: $100 - 99 = 1$ условная единица. Теперь найдем, какой процент это составляет от начальной цены: $\frac{\text{абсолютное изменение}}{\text{начальная цена}} \times 100\% = \frac{1}{100} \times 100\% = 1\%$. Поскольку итоговая цена (99) меньше начальной (100), цена понизилась.

Ответ: Цена товара понизилась на 1%.

193. Известно, что площади равных фигур равны и площадь фигуры равна сумме площадей составляющих её частей. Вычислите площадь (рис. 22):

а) прямоугольника $ABCD$;

б) треугольника $ABC$;

в) треугольника $ADC$.

Для решения задачи воспользуемся рисунком, на котором фигура изображена на клетчатой бумаге. Примем площадь одной клетки за 1 квадратную единицу.

а)Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. Из рисунка видно, что стороны прямоугольника $ABCD$ равны 5 и 3 условным единицам. Следовательно, площадь прямоугольника $S_{ABCD}$ вычисляется по формуле:
$S_{ABCD} = AD \cdot AB = 5 \cdot 3 = 15$ (квадратных единиц).
Ответ: 15.

б)Диагональ $AC$ делит прямоугольник $ABCD$ на два равных прямоугольных треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$. Согласно условию, площади равных фигур равны. Также площадь всей фигуры равна сумме площадей ее частей. Таким образом, площадь треугольника $ABC$ составляет половину площади прямоугольника $ABCD$.
$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot 15 = 7,5$ (квадратных единиц).
Также площадь прямоугольного треугольника можно найти как половину произведения его катетов:
$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5 = 7,5$ (квадратных единиц).
Ответ: 7,5.

в)Как было указано в пункте б), треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$ равны. Следовательно, их площади также равны.
$S_{\triangle ADC} = S_{\triangle ABC} = 7,5$ (квадратных единиц).
Проверим вычислением через катеты $AD$ и $DC$:
$S_{\triangle ADC} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot DC = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 3 = 7,5$ (квадратных единиц).
Ответ: 7,5.

194. Вычислите площадь многоугольника (длины сторон в сантиметрах указаны на рисунке 23).

A B

3 см

D 2 см C

Рис. 22

а) 5

5

6

3

б) 10

2

4

6

Рис. 23

а)

Для вычисления площади данного многоугольника можно использовать метод разбиения фигуры на более простые части. Разобьем многоугольник на два прямоугольника, проведя вертикальную линию от внутреннего угла.

В результате мы получим два прямоугольника:

1. Первый (левый) прямоугольник со сторонами 5 см и 5 см.

2. Второй (правый) прямоугольник со сторонами 6 см и 3 см.

Площадь прямоугольника вычисляется по формуле $S = a \times b$, где $a$ и $b$ — длины его смежных сторон.

Площадь первого прямоугольника ($S_1$) равна:

$S_1 = 5 \text{ см} \times 5 \text{ см} = 25 \text{ см}^2$

Площадь второго прямоугольника ($S_2$) равна:

$S_2 = 6 \text{ см} \times 3 \text{ см} = 18 \text{ см}^2$

Общая площадь многоугольника ($S$) равна сумме площадей этих двух прямоугольников:

$S = S_1 + S_2 = 25 \text{ см}^2 + 18 \text{ см}^2 = 43 \text{ см}^2$

Ответ: $43 \text{ см}^2$

б)

Этот многоугольник можно представить как три прямоугольника, которые расположены друг над другом и выровнены по левому краю. Их ширины составляют 2 см (верхний), 4 см (средний) и 6 см (нижний). Общая высота всей фигуры равна 10 см.

В условии задачи не указаны высоты каждого из трех прямоугольников. Однако можно заметить, что их ширины (2, 4, 6) образуют арифметическую прогрессию. В подобных задачах, при отсутствии других данных, часто предполагается, что недостающие размеры (в данном случае, высоты) равны между собой. Исходя из этого предположения, высота каждого из трех прямоугольников будет одинаковой.

Найдем высоту одного прямоугольника ($h$):

$h = 10 \text{ см} \div 3 = \frac{10}{3} \text{ см}$

Теперь вычислим площадь каждого прямоугольника и сложим их, чтобы найти общую площадь.

Площадь верхнего прямоугольника: $S_1 = 2 \text{ см} \times \frac{10}{3} \text{ см} = \frac{20}{3} \text{ см}^2$.

Площадь среднего прямоугольника: $S_2 = 4 \text{ см} \times \frac{10}{3} \text{ см} = \frac{40}{3} \text{ см}^2$.

Площадь нижнего прямоугольника: $S_3 = 6 \text{ см} \times \frac{10}{3} \text{ см} = \frac{60}{3} \text{ см}^2 = 20 \text{ см}^2$.

Общая площадь многоугольника ($S$) равна сумме площадей этих трех прямоугольников:

$S = S_1 + S_2 + S_3 = \frac{20}{3} + \frac{40}{3} + 20 = \frac{60}{3} + 20 = 20 + 20 = 40 \text{ см}^2$.

Ответ: $40 \text{ см}^2$