Номер 144, страница 34 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Дополнения к главе 1. Задачи на перебор всех возможных вариантов. Глава 1. Отношения, пропорции, проценты - номер 144, страница 34.

Условие.

144. Запишите все двузначные числа, в записи которых используют-ся цифры:

а) 1, 3, 9 без повторения;

б) 1, 3, 9 с повторением;

в) 2, 4, 6 без повторения;

г) 2, 4, 6 с повторением.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

а) 1, 3, 9 без повторения

Для составления двузначных чисел из цифр 1, 3, 9 без повторения, необходимо выбрать одну цифру для разряда десятков и другую, отличную от первой, для разряда единиц. Это задача на нахождение числа размещений без повторений из 3 элементов по 2.

• Если первая цифра (десятки) – 1, то вторая (единицы) может быть 3 или 9. Получаем числа: 13, 19.
• Если первая цифра – 3, то вторая может быть 1 или 9. Получаем числа: 31, 39.
• Если первая цифра – 9, то вторая может быть 1 или 3. Получаем числа: 91, 93.

Количество таких чисел можно найти по формуле размещений: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$. В нашем случае $n=3$, $k=2$, поэтому $A_3^2 = \frac{3!}{(3-2)!} = 3 \times 2 = 6$ чисел.

Ответ: 13, 19, 31, 39, 91, 93.

б) 1, 3, 9 с повторением

Если цифры в записи числа могут повторяться, то для выбора цифры в разряде десятков есть 3 варианта (1, 3 или 9), и для выбора цифры в разряде единиц также есть 3 варианта. Это задача на нахождение числа размещений с повторениями.

• С цифрой 1 в разряде десятков можно составить числа: 11, 13, 19.
• С цифрой 3 в разряде десятков можно составить числа: 31, 33, 39.
• С цифрой 9 в разряде десятков можно составить числа: 91, 93, 99.

Общее количество таких чисел можно найти по формуле $n^k$, где $n=3$, $k=2$. Итого: $3^2 = 9$ чисел.

Ответ: 11, 13, 19, 31, 33, 39, 91, 93, 99.

в) 2, 4, 6 без повторения

Аналогично пункту а), составляем двузначные числа из цифр 2, 4, 6 так, чтобы цифры не повторялись.

• Если первая цифра – 2, то вторая может быть 4 или 6. Получаем числа: 24, 26.
• Если первая цифра – 4, то вторая может быть 2 или 6. Получаем числа: 42, 46.
• Если первая цифра – 6, то вторая может быть 2 или 4. Получаем числа: 62, 64.

Всего можно составить $A_3^2 = \frac{3!}{(3-2)!} = 6$ чисел.

Ответ: 24, 26, 42, 46, 62, 64.

г) 2, 4, 6 с повторением

Аналогично пункту б), составляем двузначные числа из цифр 2, 4, 6 с возможностью их повторения.

• С цифрой 2 в разряде десятков можно составить числа: 22, 24, 26.
• С цифрой 4 в разряде десятков можно составить числа: 42, 44, 46.
• С цифрой 6 в разряде десятков можно составить числа: 62, 64, 66.

Общее количество таких чисел равно $3^2 = 9$.

Ответ: 22, 24, 26, 42, 44, 46, 62, 64, 66.