Страница 76 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Рис. 32

390. Дана координатная ось (рис. 32), некоторые её точки обозначены буквами A, B, C, D, E. Укажите координаты этих точек.

Для того чтобы определить координаты точек, указанных на координатной оси, необходимо посмотреть, какому числовому значению соответствует каждая точка.

A: На координатной оси точка A расположена над делением с числом 4. Следовательно, координата точки A равна 4. Ответ: $A(4)$

B: На координатной оси точка B расположена над делением с числом -3. Следовательно, координата точки B равна -3. Ответ: $B(-3)$

C: На координатной оси точка C расположена над делением с числом -5. Следовательно, координата точки C равна -5. Ответ: $C(-5)$

D: На координатной оси точка D расположена над делением с числом 6. Следовательно, координата точки D равна 6. Ответ: $D(6)$

E: На координатной оси точка E расположена над делением с числом 1. Следовательно, координата точки E равна 1. Ответ: $E(1)$

391. Вычислите длину отрезка (рис. 32):

а) $OA$;

б) $OB$;

в) $OC$;

г) $OD$;

д) $AC$;

е) $AE$;

ж) $OE$;

з) $CB$;

и) $DA$;

к) $BE$.

Для решения задачи воспользуемся данными с рисунка 32, на котором изображена координатная прямая с отмеченными точками. Координаты точек следующие: E(-5), C(-3), A(-2), O(0), B(3), D(6).

Длина отрезка на координатной прямой вычисляется как модуль разности координат его концов. Формула для вычисления длины отрезка между точками с координатами $x_1$ и $x_2$ выглядит так: $L = |x_2 - x_1|$.

а) OA

Находим длину отрезка OA, используя координаты точек O(0) и A(-2). Вычисляем по формуле: $OA = |-2 - 0| = |-2| = 2$.

Ответ: 2

б) OB

Находим длину отрезка OB, используя координаты точек O(0) и B(3). Вычисляем по формуле: $OB = |3 - 0| = |3| = 3$.

Ответ: 3

в) OC

Находим длину отрезка OC, используя координаты точек O(0) и C(-3). Вычисляем по формуле: $OC = |-3 - 0| = |-3| = 3$.

Ответ: 3

г) OD

Находим длину отрезка OD, используя координаты точек O(0) и D(6). Вычисляем по формуле: $OD = |6 - 0| = |6| = 6$.

Ответ: 6

д) AC

Находим длину отрезка AC, используя координаты точек A(-2) и C(-3). Вычисляем по формуле: $AC = |-3 - (-2)| = |-3 + 2| = |-1| = 1$.

Ответ: 1

е) AE

Находим длину отрезка AE, используя координаты точек A(-2) и E(-5). Вычисляем по формуле: $AE = |-5 - (-2)| = |-5 + 2| = |-3| = 3$.

Ответ: 3

ж) OE

Находим длину отрезка OE, используя координаты точек O(0) и E(-5). Вычисляем по формуле: $OE = |-5 - 0| = |-5| = 5$.

Ответ: 5

з) CB

Находим длину отрезка CB, используя координаты точек C(-3) и B(3). Вычисляем по формуле: $CB = |3 - (-3)| = |3 + 3| = |6| = 6$.

Ответ: 6

и) DA

Находим длину отрезка DA, используя координаты точек D(6) и A(-2). Вычисляем по формуле: $DA = |-2 - 6| = |-8| = 8$.

Ответ: 8

к) BE

Находим длину отрезка BE, используя координаты точек B(3) и E(-5). Вычисляем по формуле: $BE = |-5 - 3| = |-8| = 8$.

Ответ: 8

392. Изобразите координатную ось (единичный отрезок 1 см). Отметьте на ней точки $A(-5)$, $B(7)$, $C(4)$, $D(-4)$. Вычислите длину отрезка:

а) $OA$;

б) $OB$;

в) $BC$;

г) $BD$;

д) $AD$.

Результаты проверьте с помощью линейки.

Сначала изобразим координатную ось с единичным отрезком 1 см и отметим на ней заданные точки A(-5), B(7), C(4), D(-4), а также начало координат O(0).

Теперь вычислим длины указанных отрезков. Длина отрезка на координатной оси, соединяющего точки с координатами $x_1$ и $x_2$, вычисляется по формуле: $L = |x_2 - x_1|$.

а) OA
Координата точки O (начало координат) равна 0. Координата точки A равна -5. Длина отрезка OA равна модулю разности их координат: $OA = |-5 - 0| = |-5| = 5$. Так как единичный отрезок равен 1 см, длина отрезка OA составляет 5 см.
Ответ: 5 см.

б) OB
Координата точки O равна 0. Координата точки B равна 7.Длина отрезка OB равна: $OB = |7 - 0| = |7| = 7$.Длина отрезка OB составляет 7 см.
Ответ: 7 см.

в) BC
Координата точки B равна 7, координата точки C равна 4.Длина отрезка BC равна: $BC = |4 - 7| = |-3| = 3$.Длина отрезка BC составляет 3 см.
Ответ: 3 см.

г) BD
Координата точки B равна 7, координата точки D равна -4.Длина отрезка BD равна: $BD = |-4 - 7| = |-11| = 11$.Длина отрезка BD составляет 11 см.
Ответ: 11 см.

д) AD
Координата точки A равна -5, координата точки D равна -4.Длина отрезка AD равна: $AD = |-4 - (-5)| = |-4 + 5| = |1| = 1$.Длина отрезка AD составляет 1 см.
Ответ: 1 см.

Проверка с помощью линейки: если начертить координатную ось, где 1 единичный отрезок равен 1 см, и измерить расстояния между отмеченными точками, результаты измерений совпадут с вычисленными значениями.

393. Изобразите координатную ось (единичный отрезок 1 клетка тетради). Отметьте на ней точки $O(0)$, $A(5)$, $B(-8)$, $C(9)$, $D(-2)$.

Вычислите длину отрезка:

а) $OA$;

б) $OB$;

в) $AB$;

г) $AC$;

д) $DC$.

Для вычисления длины отрезка на координатной оси необходимо найти модуль разности координат его концов. Если отрезок имеет концы в точках с координатами $x_1$ и $x_2$, то его длина вычисляется по формуле: $d = |x_2 - x_1|$.

Даны точки: $O(0)$, $A(5)$, $B(-8)$, $C(9)$, $D(-2)$.

а) OA
Найдём длину отрезка $OA$. Координаты точек: $O(0)$ и $A(5)$.
$OA = |5 - 0| = |5| = 5$.
Ответ: 5

б) OB
Найдём длину отрезка $OB$. Координаты точек: $O(0)$ и $B(-8)$.
$OB = |-8 - 0| = |-8| = 8$.
Ответ: 8

в) AB
Найдём длину отрезка $AB$. Координаты точек: $A(5)$ и $B(-8)$.
$AB = |-8 - 5| = |-13| = 13$.
Ответ: 13

г) AC
Найдём длину отрезка $AC$. Координаты точек: $A(5)$ и $C(9)$.
$AC = |9 - 5| = |4| = 4$.
Ответ: 4

д) DC
Найдём длину отрезка $DC$. Координаты точек: $D(-2)$ и $C(9)$.
$DC = |9 - (-2)| = |9 + 2| = |11| = 11$.
Ответ: 11

394. Определите расстояние между точками $m$ и $n$ координатной оси, если:

а) $m = 7, n = -3;$

б) $m = 3, n = -7;$

в) $m = -8, n = 0;$

г) $m = -8, n = 8.$

Расстояние между двумя точками на координатной оси вычисляется как модуль разности их координат. Для точек с координатами $m$ и $n$ расстояние $d$ находится по формуле: $d = |m - n|$.

а)

Находим расстояние между точками с координатами $m = 7$ и $n = -3$:

$d = |7 - (-3)| = |7 + 3| = |10| = 10$.

Ответ: 10

б)

Находим расстояние между точками с координатами $m = 3$ и $n = -7$:

$d = |3 - (-7)| = |3 + 7| = |10| = 10$.

Ответ: 10

в)

Находим расстояние между точками с координатами $m = -8$ и $n = 0$:

$d = |-8 - 0| = |-8| = 8$.

Ответ: 8

г)

Находим расстояние между точками с координатами $m = -8$ и $n = 8$:

$d = |-8 - 8| = |-16| = 16$.

Ответ: 16

395. На координатной оси отмечены точки $0$ и $3$. С помощью циркуля покажите на оси точки $-3$, $6$, $-6$, $9$, $-9$.

Для решения этой задачи мы будем использовать циркуль как инструмент для измерения и откладывания расстояний. Изначально у нас есть две точки на координатной оси: 0 (начало координат) и 3. Расстояние между ними является нашей мерой длины, равной 3 единицам. Мы установим раствор циркуля на это расстояние и будем использовать его для построения всех остальных точек.

Порядок действий:

1. Нарисуйте прямую линию — это будет координатная ось.
2. Отметьте на ней точку 0.
3. Отметьте на ней точку 3 (справа от 0).
4. Установите иглу циркуля в точку 0, а грифель — в точку 3. Теперь раствор циркуля зафиксирован и равен 3 единицам.

Теперь, не меняя раствора циркуля, отметим требуемые точки.

-3

Точка с координатой -3 находится на таком же расстоянии от 0, что и точка 3, но в противоположном (отрицательном) направлении.

1. Поставьте иглу циркуля в точку 0.
2. Проведите дугу так, чтобы она пересекла координатную ось слева от точки 0.
3. Точка пересечения дуги с осью и будет точкой -3.

Ответ: Точка -3 находится на оси на расстоянии, равном отрезку [0, 3], от точки 0 в отрицательном направлении.

6

Координата 6 может быть получена как $3 + 3$. Это означает, что нужно отложить наш измеренный отрезок длиной 3 от точки 3 в положительном направлении (вправо).

1. Поставьте иглу циркуля в точку 3.
2. Проведите дугу так, чтобы она пересекла координатную ось справа от точки 3.
3. Точка пересечения дуги с осью и будет точкой 6.

Ответ: Точка 6 получается путем откладывания отрезка длиной 3 от точки 3 в положительном направлении.

-6

Координата -6 может быть получена как $-3 - 3$. Это означает, что нужно отложить наш измеренный отрезок длиной 3 от точки -3 в отрицательном направлении (влево).

1. Поставьте иглу циркуля в ранее найденную точку -3.
2. Проведите дугу так, чтобы она пересекла координатную ось слева от точки -3.
3. Точка пересечения дуги с осью и будет точкой -6.

Ответ: Точка -6 получается путем откладывания отрезка длиной 3 от точки -3 в отрицательном направлении.

9

Координата 9 может быть получена как $6 + 3$. Это означает, что нужно отложить наш измеренный отрезок длиной 3 от точки 6 в положительном направлении.

1. Поставьте иглу циркуля в ранее найденную точку 6.
2. Проведите дугу так, чтобы она пересекла координатную ось справа от точки 6.
3. Точка пересечения дуги с осью и будет точкой 9.

Ответ: Точка 9 получается путем откладывания отрезка длиной 3 от точки 6 в положительном направлении.

-9

Координата -9 может быть получена как $-6 - 3$. Это означает, что нужно отложить наш измеренный отрезок длиной 3 от точки -6 в отрицательном направлении.

1. Поставьте иглу циркуля в ранее найденную точку -6.
2. Проведите дугу так, чтобы она пересекла координатную ось слева от точки -6.
3. Точка пересечения дуги с осью и будет точкой -9.

Ответ: Точка -9 получается путем откладывания отрезка длиной 3 от точки -6 в отрицательном направлении.