Страница 82 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

409. Дан отрезок $AB$ и точка $O$ вне этого отрезка. Постройте отрезок $A_1B_1$, симметричный отрезку $AB$, так, чтобы точки $A$ и $A_1$, $B$ и $B_1$ были симметричны относительно точки $O$. Соедините точки $A$ и $B_1$, $A_1$ и $B$. Укажите все пары отрезков, симметричных друг другу относительно точки $O$. Какие из построенных отрезков симметричны сами себе относительно точки $O$?

Сначала выполним все необходимые построения.
1. Чтобы построить точку $A_1$, симметричную точке $A$ относительно точки $O$, проведем луч $AO$ и отложим на нем за точкой $O$ отрезок $OA_1$, равный отрезку $OA$. Точка $O$ является серединой отрезка $AA_1$.
2. Аналогично построим точку $B_1$, симметричную точке $B$ относительно точки $O$. Проведем луч $BO$ и отложим на нем отрезок $OB_1$, равный отрезку $OB$. Точка $O$ является серединой отрезка $BB_1$.
3. Соединим точки $A_1$ и $B_1$. Отрезок $A_1B_1$ симметричен отрезку $AB$ относительно точки $O$.
4. Соединим точки $A$ и $B_1$, а также $A_1$ и $B$.

В результате построения мы получили четырехугольник $ABA_1B_1$, диагонали которого $AA_1$ и $BB_1$ пересекаются в точке $O$ и делятся этой точкой пополам. Следовательно, четырехугольник $ABA_1B_1$ является параллелограммом.

Укажите все пары отрезков, симметричных друг другу относительно точки O. Поскольку точки $A$ и $A_1$, а также $B$ и $B_1$ попарно симметричны относительно центра $O$, то и отрезки, соединяющие их, будут симметричны. Первая пара — это исходный отрезок и построенный ему симметричный: $AB$ и $A_1B_1$. Вторая пара — это стороны полученного параллелограмма $AB_1$ и $A_1B$. Точка, симметричная $A$, это $A_1$; точка, симметричная $B_1$, это $B$. Значит, отрезок $AB_1$ симметричен отрезку $A_1B$. Ответ: ($AB$, $A_1B_1$) и ($AB_1$, $A_1B$).

Какие из построенных отрезков симметричны сами себе относительно точки O? Отрезок симметричен сам себе относительно некоторой точки, если эта точка является его серединой. В нашем построении точка $O$ является центром симметрии. Рассмотрим все построенные отрезки: $AB, A_1B_1, AB_1, A_1B$, а также диагонали $AA_1$ и $BB_1$. По построению точка $O$ является серединой отрезков $AA_1$ и $BB_1$. Остальные отрезки не проходят через точку $O$ (если $O$ не лежит на отрезке $AB$) или точка $O$ не является их серединой. Ответ: $AA_1$ и $BB_1$.

410. Дан треугольник $ABC$. Постройте треугольник, симметричный треугольнику $ABC$ относительно точки $A$.

Чтобы построить треугольник, симметричный треугольнику $ABC$ относительно точки $A$, необходимо для каждой вершины исходного треугольника ($A, B$ и $C$) найти соответствующую ей симметричную точку относительно центра симметрии — точки $A$. Пусть искомый треугольник будет $A'B'C'$.

По определению, точка $X'$ симметрична точке $X$ относительно центра $O$, если точка $O$ является серединой отрезка $XX'$.

Выполним построение по шагам:

1. Находим точку $A'$, симметричную вершине $A$. Так как центр симметрии совпадает с самой точкой $A$, то точка, симметричная $A$ относительно себя самой, есть сама точка $A$. Таким образом, вершина $A'$ совпадает с вершиной $A$.

2. Строим точку $B'$, симметричную вершине $B$. Для этого проводим луч из точки $B$ через точку $A$. На продолжении этого луча за точку $A$ откладываем отрезок $AB'$, равный по длине отрезку $AB$. В результате точка $A$ станет серединой отрезка $BB'$.

3. Строим точку $C'$, симметричную вершине $C$. Аналогично предыдущему шагу, проводим луч из точки $C$ через точку $A$. На продолжении этого луча за точку $A$ откладываем отрезок $AC'$, равный по длине отрезку $AC$. В результате точка $A$ станет серединой отрезка $CC'$.

4. Соединяем полученные точки $A'$, $B'$ и $C'$ отрезками. Так как $A'$ совпадает с $A$, то искомый треугольник — это треугольник $AB'C'$.

Ответ: Искомым треугольником является треугольник $AB'C'$, где вершина $A$ — общая с исходным треугольником, вершина $B'$ лежит на прямой $BA$ так, что $A$ является серединой отрезка $BB'$, а вершина $C'$ лежит на прямой $CA$ так, что $A$ является серединой отрезка $CC'$.

411. Постройте треугольник, симметричный треугольнику $ABC$ относительно точки $O$, лежащей на стороне $AB$.

Для построения треугольника, симметричного треугольнику $ABC$ относительно точки $O$, необходимо построить точки $A'$, $B'$ и $C'$, симметричные соответственно вершинам $A$, $B$ и $C$ относительно точки $O$. Искомый треугольник $A'B'C'$ будет состоять из этих точек.

Точка $X'$ называется симметричной точке $X$ относительно центра $O$, если точка $O$ является серединой отрезка $XX'$. Для построения точки $X'$ нужно провести луч $XO$ и на его продолжении за точку $O$ отложить отрезок $OX'$, равный отрезку $XO$.

Построение выполняется в следующем порядке:

1. Находим точку $A'$, симметричную точке $A$. Так как точка $O$ лежит на отрезке $AB$, проводим луч $AO$ и продолжаем его за точку $O$. На этом продолжении откладываем отрезок $OA' = AO$. Точка $A'$ будет лежать на прямой $AB$.
2. Находим точку $B'$, симметричную точке $B$. Аналогично, проводим луч $BO$ и продолжаем его за точку $O$. На этом продолжении откладываем отрезок $OB' = BO$. Точка $B'$ также будет лежать на прямой $AB$.
3. Находим точку $C'$, симметричную точке $C$. Проводим луч $CO$ и на его продолжении за точку $O$ откладываем отрезок $OC' = CO$.
4. Соединяем полученные точки $A'$, $B'$ и $C'$ отрезками. Треугольник $A'B'C'$ является симметричным треугольнику $ABC$ относительно точки $O$.

В результате построения получается треугольник $A'B'C'$, равный треугольнику $ABC$. Сторона $A'B'$ нового треугольника лежит на той же прямой, что и сторона $AB$.

Ответ: Алгоритм построения искомого треугольника: 1. Для каждой вершины исходного треугольника ($A$, $B$, $C$) находим симметричную ей точку ($A'$, $B'$, $C'$) относительно центра $O$. Для этого проводим луч из вершины через точку $O$ и на его продолжении откладываем отрезок, равный расстоянию от вершины до $O$. 2. Соединяем полученные точки $A'$, $B'$, $C'$ отрезками, получая искомый треугольник $A'B'C'$.

412. Из прямоугольника вырезали квадрат (рис. 53). Постройте прямую, которая делит площадь закрашенной фигуры пополам.

Рис. 53

Для решения этой задачи воспользуемся свойством центральной симметрии. Любая прямая, проходящая через центр симметрии фигуры, делит ее площадь пополам. И прямоугольник, и квадрат являются центрально-симметричными фигурами. Их центры симметрии — это точки пересечения их диагоналей.

Пусть площадь прямоугольника равна $S_п$, а площадь вырезанного квадрата — $S_к$. Тогда площадь закрашенной фигуры $S_ф = S_п - S_к$.

Если мы проведем прямую через центры симметрии обеих фигур, то эта прямая разделит площадь прямоугольника на две равные части по $S_п/2$ и одновременно разделит площадь квадрата на две равные части по $S_к/2$. В результате площадь каждой из двух частей закрашенной фигуры, на которые ее разделит эта прямая, будет равна:

$\frac{S_п}{2} - \frac{S_к}{2} = \frac{S_п - S_к}{2} = \frac{S_ф}{2}$

Таким образом, чтобы разделить площадь закрашенной фигуры пополам, нужно построить прямую, проходящую через центры симметрии прямоугольника и квадрата.

1. Найдем центр симметрии прямоугольника.
Прямоугольник занимает область размером 11 на 6 клеток. Введем систему координат, приняв за начало левый нижний узел сетки на рисунке. Тогда углы прямоугольника находятся в точках $(1, 1)$ и $(12, 7)$. Центр симметрии прямоугольника $O_п$ — это середина его диагонали. Координаты центра: $x_п = \frac{1+12}{2} = 6.5$ $y_п = \frac{1+7}{2} = 4$ Таким образом, центр прямоугольника $O_п$ имеет координаты $(6.5; 4)$.

2. Найдем центр симметрии квадрата.
Вершины квадрата в выбранной системе координат находятся в точках: нижняя $(6, 2)$, левая $(4, 4)$, правая $(9, 5)$ и верхняя $(7, 7)$. Центр симметрии квадрата $O_к$ — это середина его диагонали. Найдем координаты по диагонали, соединяющей нижнюю и верхнюю вершины: $x_к = \frac{6+7}{2} = \frac{13}{2} = 6.5$ $y_к = \frac{2+7}{2} = \frac{9}{2} = 4.5$ Таким образом, центр квадрата $O_к$ имеет координаты $(6.5; 4.5)$.

3. Построим искомую прямую.
Искомая прямая должна проходить через обе найденные точки: $O_п(6.5; 4)$ и $O_к(6.5; 4.5)$. Поскольку у обеих точек одинаковая абсцисса (координата $x$), то прямая, проходящая через них, является вертикальной и задается уравнением $x = 6.5$. Эта прямая проходит ровно посередине между шестой и седьмой вертикальными линиями сетки (считая слева).

Ответ: Искомая прямая — это прямая, проходящая через центры симметрии прямоугольника и квадрата. На данном рисунке это вертикальная линия, расположенная ровно посередине между 6-й и 7-й вертикальными линиями сетки (считая от левого края прямоугольника).

413. Вороне как-то Бог послал кусочек сыра... Предположим, что, в отличие от героини известной басни, наша Ворона захотела разделить сыр поровну с Лисицей. Как она должна разрезать по прямой кусок сыра, если этот кусок имеет форму прямоугольника с круглой дыркой (рис. 54)? (Толщина куска сыра во всех местах одна и та же.)

Рис. 54

Чтобы разделить кусок сыра на две равные части, необходимо провести разрез по прямой линии так, чтобы эта линия разделила площадь фигуры на две равные половины. Поскольку толщина сыра по условию везде одинакова, равенство площадей будет означать и равенство объемов.

Площадь куска сыра $S_{сыра}$ представляет собой разность площади прямоугольника $S_{прямоугольника}$ и площади круглого отверстия $S_{круга}$:

$S_{сыра} = S_{прямоугольника} - S_{круга}$

Ключевым свойством для решения этой задачи является то, что любая прямая, проходящая через центр симметрии фигуры, делит её площадь на две равные части.

1. Центром симметрии прямоугольника является точка пересечения его диагоналей. Обозначим эту точку как $O_1$. Любая прямая, проведенная через точку $O_1$, делит площадь прямоугольника пополам.

2. Центром симметрии круга является его геометрический центр. Обозначим эту точку как $O_2$. Любая прямая, проведенная через точку $O_2$, делит площадь круга пополам.

Для того чтобы разделить площадь сыра пополам, необходимо провести такую прямую, которая одновременно разделит пополам и площадь прямоугольника, и площадь круглого отверстия. Такой прямой является линия, проходящая через оба центра симметрии — $O_1$ и $O_2$.

Пусть через точки $O_1$ и $O_2$ проведена прямая. Она разделит прямоугольник на две равные части площадью $\frac{1}{2}S_{прямоугольника}$ каждая, и одновременно разделит круг на два полукруга площадью $\frac{1}{2}S_{круга}$ каждый. Тогда площадь каждого из двух получившихся кусков сыра будет одинаковой и равной:

$S_{1} = \frac{1}{2}S_{прямоугольника} - \frac{1}{2}S_{круга} = \frac{1}{2}(S_{прямоугольника} - S_{круга})$

$S_{2} = \frac{1}{2}S_{прямоугольника} - \frac{1}{2}S_{круга} = \frac{1}{2}(S_{прямоугольника} - S_{круга})$

Следовательно, $S_{1} = S_{2} = \frac{1}{2}S_{сыра}$, и сыр будет разделен поровну.

Ответ: Ворона должна разрезать сыр по прямой линии, проходящей через центр прямоугольника (точку пересечения его диагоналей) и центр круглого отверстия.