Номер 400, страница 81 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Целые числа. Дополнения к главе 2. Фигуры на плоскости, симметричные относительно точки - номер 400, страница 81.

Условие.

400. По рисунку 50 определите, какой фигуре симметричен относительно точки $O$:

а) треугольник $BCO$;

б) треугольник $ADC$;

в) треугольник $CNO$;

г) прямоугольник $ABCD$;

д) четырёхугольник $DCNM$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Для решения задачи воспользуемся определением центральной симметрии. Две точки $A$ и $A'$ называются симметричными относительно точки $O$ (центра симметрии), если $O$ является серединой отрезка $AA'$. Фигура $F'$ называется симметричной фигуре $F$ относительно точки $O$, если она состоит из всех точек $M'$, симметричных точкам $M$ фигуры $F$ относительно точки $O$.

На рисунке 50, к которому отсылает задача, обычно изображается прямоугольник $ABCD$, диагонали которого $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Эта точка является центром симметрии прямоугольника. Для пунктов, где упоминаются точки $N$ и $M$, предполагается, что они расположены на противоположных сторонах фигуры (например, $N$ на $CD$, а $M$ на $AB$) таким образом, что точка $O$ является серединой отрезка $MN$.

а) треугольник BCO

Чтобы найти фигуру, симметричную треугольнику $BCO$ относительно точки $O$, найдём точки, симметричные каждой из его вершин. Точка, симметричная вершине $B$ относительно $O$, — это вершина $D$, так как $O$ — середина диагонали $BD$. Точка, симметричная вершине $C$, — это вершина $A$, так как $O$ — середина диагонали $AC$. Точка $O$ симметрична сама себе. Таким образом, треугольнику $BCO$ симметричен треугольник $DAO$.

Ответ: треугольник $DAO$.

б) треугольник ADC

Найдём точки, симметричные вершинам треугольника $ADC$ относительно точки $O$. Точка, симметричная вершине $A$, — это вершина $C$. Точка, симметричная вершине $D$, — это вершина $B$. Точка, симметричная вершине $C$, — это вершина $A$. Следовательно, треугольнику $ADC$ симметричен треугольник $CBA$.

Ответ: треугольник $CBA$.

в) треугольник CNO

Найдём точки, симметричные вершинам треугольника $CNO$ относительно точки $O$. Точка, симметричная вершине $C$, — это вершина $A$. Точка, симметричная точке $N$ (расположенной на стороне $CD$), — это точка $M$ (расположенная на стороне $AB$), так как по условию построения на рисунке $O$ является серединой отрезка $MN$. Точка $O$ симметрична сама себе. Значит, треугольнику $CNO$ симметричен треугольник $AMO$.

Ответ: треугольник $AMO$.

г) прямоугольник ABCD

Найдём точки, симметричные вершинам прямоугольника $ABCD$ относительно центра $O$. Вершина $A$ симметрична вершине $C$, вершина $B$ — вершине $D$, вершина $C$ — вершине $A$, и вершина $D$ — вершине $B$. Таким образом, при симметрии относительно точки $O$ прямоугольник $ABCD$ отображается сам на себя. Это означает, что он является центрально-симметричной фигурой.

Ответ: прямоугольник $ABCD$.

д) четырёхугольник DCNM

Найдём точки, симметричные вершинам четырёхугольника $DCNM$ относительно точки $O$. Точка, симметричная вершине $D$, — это вершина $B$. Точка, симметричная вершине $C$, — это вершина $A$. Точка, симметричная точке $N$, — это точка $M$. Точка, симметричная точке $M$, — это точка $N$. Следовательно, четырёхугольнику $DCNM$ симметричен четырёхугольник $BAMN$.

Ответ: четырёхугольник $BAMN$.