Номер 406, страница 81 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Математика, 6 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2019 - 2022

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.

Тип: Учебник

Серия: мгу - школе

Издательство: Просвещение

Год издания: 2019 - 2022

Цвет обложки: фиолетовый, зелёный в сеточку

ISBN: 978-5-09-087625-4

Допущено Министерством просвещения Российской Федерации

Популярные ГДЗ в 6 классе

Дополнения к главе 2. Фигуры на плоскости, симметричные относительно точки. Глава 2. Целые числа - номер 406, страница 81.

№406 (с. 81)
Условие. №406 (с. 81)
скриншот условия
Математика, 6 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2019 - 2022, страница 81, номер 406, Условие

406. Докажите, что любая прямая, проходящая через центр симметрии фигуры, делит её на две равные части.

Решение 1. №406 (с. 81)
Математика, 6 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2019 - 2022, страница 81, номер 406, Решение 1
Решение 2. №406 (с. 81)
Математика, 6 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2019 - 2022, страница 81, номер 406, Решение 2
Решение 3. №406 (с. 81)
Математика, 6 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2019 - 2022, страница 81, номер 406, Решение 3
Решение 4. №406 (с. 81)
Математика, 6 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2019 - 2022, страница 81, номер 406, Решение 4
Решение 5. №406 (с. 81)
Математика, 6 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2019 - 2022, страница 81, номер 406, Решение 5
Решение 6. №406 (с. 81)
Математика, 6 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2019 - 2022, страница 81, номер 406, Решение 6
Решение 7. №406 (с. 81)
Математика, 6 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2019 - 2022, страница 81, номер 406, Решение 7
Решение 8. №406 (с. 81)
Математика, 6 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2019 - 2022, страница 81, номер 406, Решение 8
Решение 9. №406 (с. 81)

Пусть $F$ — это фигура, а точка $O$ — её центр симметрии. По определению, это означает, что для любой точки $A$, принадлежащей фигуре $F$, симметричная ей относительно точки $O$ точка $A'$ также принадлежит фигуре $F$. Преобразование, которое отображает каждую точку $A$ в симметричную ей точку $A'$ относительно центра $O$, называется центральной симметрией $S_O$. Таким образом, фигура $F$ симметрична относительно своего центра $O$, что можно записать как $S_O(F) = F$.

Пусть $l$ — это произвольная прямая, проходящая через центр симметрии $O$. Эта прямая делит фигуру $F$ на две части, которые мы обозначим $F_1$ и $F_2$. Нам нужно доказать, что эти две части равны, то есть конгруэнтны. Две фигуры считаются равными (конгруэнтными), если одну можно перевести в другую с помощью движения (изометрии), то есть преобразования, сохраняющего расстояния. Центральная симметрия является одним из видов движения.

Рассмотрим преобразование центральной симметрии $S_O$ относительно точки $O$. Докажем, что это преобразование отображает часть $F_1$ на часть $F_2$.

Прямая $l$ делит плоскость на две замкнутые полуплоскости $H_1$ и $H_2$. Тогда части фигуры можно определить как $F_1 = F \cap H_1$ и $F_2 = F \cap H_2$.

Возьмём произвольную точку $P$, принадлежащую части $F_1$. Так как $P \in F_1$, то $P \in F$ и $P \in H_1$. По определению центра симметрии, точка $P' = S_O(P)$ также принадлежит фигуре $F$. Поскольку прямая $l$ проходит через центр симметрии $O$, преобразование $S_O$ отображает полуплоскость $H_1$ на полуплоскость $H_2$. Следовательно, точка $P'$ лежит в полуплоскости $H_2$. Таким образом, точка $P'$ принадлежит и фигуре $F$, и полуплоскости $H_2$, а значит, принадлежит части $F_2$. Поскольку $P$ была произвольной точкой из $F_1$, мы показали, что образ всей части $F_1$ при симметрии $S_O$ содержится в $F_2$: $S_O(F_1) \subseteq F_2$.

Теперь докажем обратное. Возьмём произвольную точку $Q$, принадлежащую части $F_2$. Аналогично, так как $Q \in F_2$, то $Q \in F$ и $Q \in H_2$. Её образ при центральной симметрии $Q' = S_O(Q)$ также принадлежит фигуре $F$. И так как $Q$ лежит в полуплоскости $H_2$, её образ $Q'$ будет лежать в полуплоскости $H_1$. Следовательно, $Q' \in F_1$. Это означает, что любая точка $Q$ из $F_2$ является образом некоторой точки $Q'$ из $F_1$ (ведь $S_O(Q') = S_O(S_O(Q)) = Q$). Таким образом, $F_2 \subseteq S_O(F_1)$.

Из того, что $S_O(F_1) \subseteq F_2$ и $F_2 \subseteq S_O(F_1)$, следует, что $S_O(F_1) = F_2$.

Поскольку центральная симметрия является движением (изометрией), она сохраняет размеры и форму фигуры. Следовательно, если одна часть фигуры ($F_1$) может быть преобразована в другую ($F_2$) с помощью центральной симметрии, то эти две части равны (конгруэнтны).

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по математике за 6 класс, для упражнения номер 406 расположенного на странице 81 к учебнику серии мгу - школе 2019 - 2022 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по математике к упражнению №406 (с. 81), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) учебного пособия издательства Просвещение.