Номер 406, страница 81 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Целые числа. Дополнения к главе 2. Фигуры на плоскости, симметричные относительно точки - номер 406, страница 81.

Условие.

406. Докажите, что любая прямая, проходящая через центр симметрии фигуры, делит её на две равные части.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Пусть $F$ — это фигура, а точка $O$ — её центр симметрии. По определению, это означает, что для любой точки $A$, принадлежащей фигуре $F$, симметричная ей относительно точки $O$ точка $A'$ также принадлежит фигуре $F$. Преобразование, которое отображает каждую точку $A$ в симметричную ей точку $A'$ относительно центра $O$, называется центральной симметрией $S_O$. Таким образом, фигура $F$ симметрична относительно своего центра $O$, что можно записать как $S_O(F) = F$.

Пусть $l$ — это произвольная прямая, проходящая через центр симметрии $O$. Эта прямая делит фигуру $F$ на две части, которые мы обозначим $F_1$ и $F_2$. Нам нужно доказать, что эти две части равны, то есть конгруэнтны. Две фигуры считаются равными (конгруэнтными), если одну можно перевести в другую с помощью движения (изометрии), то есть преобразования, сохраняющего расстояния. Центральная симметрия является одним из видов движения.

Рассмотрим преобразование центральной симметрии $S_O$ относительно точки $O$. Докажем, что это преобразование отображает часть $F_1$ на часть $F_2$.

Прямая $l$ делит плоскость на две замкнутые полуплоскости $H_1$ и $H_2$. Тогда части фигуры можно определить как $F_1 = F \cap H_1$ и $F_2 = F \cap H_2$.

Возьмём произвольную точку $P$, принадлежащую части $F_1$. Так как $P \in F_1$, то $P \in F$ и $P \in H_1$. По определению центра симметрии, точка $P' = S_O(P)$ также принадлежит фигуре $F$. Поскольку прямая $l$ проходит через центр симметрии $O$, преобразование $S_O$ отображает полуплоскость $H_1$ на полуплоскость $H_2$. Следовательно, точка $P'$ лежит в полуплоскости $H_2$. Таким образом, точка $P'$ принадлежит и фигуре $F$, и полуплоскости $H_2$, а значит, принадлежит части $F_2$. Поскольку $P$ была произвольной точкой из $F_1$, мы показали, что образ всей части $F_1$ при симметрии $S_O$ содержится в $F_2$: $S_O(F_1) \subseteq F_2$.

Теперь докажем обратное. Возьмём произвольную точку $Q$, принадлежащую части $F_2$. Аналогично, так как $Q \in F_2$, то $Q \in F$ и $Q \in H_2$. Её образ при центральной симметрии $Q' = S_O(Q)$ также принадлежит фигуре $F$. И так как $Q$ лежит в полуплоскости $H_2$, её образ $Q'$ будет лежать в полуплоскости $H_1$. Следовательно, $Q' \in F_1$. Это означает, что любая точка $Q$ из $F_2$ является образом некоторой точки $Q'$ из $F_1$ (ведь $S_O(Q') = S_O(S_O(Q)) = Q$). Таким образом, $F_2 \subseteq S_O(F_1)$.

Из того, что $S_O(F_1) \subseteq F_2$ и $F_2 \subseteq S_O(F_1)$, следует, что $S_O(F_1) = F_2$.

Поскольку центральная симметрия является движением (изометрией), она сохраняет размеры и форму фигуры. Следовательно, если одна часть фигуры ($F_1$) может быть преобразована в другую ($F_2$) с помощью центральной симметрии, то эти две части равны (конгруэнтны).

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.