Номер 418, страница 84 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Целые числа. Дополнения к главе 2. Занимательные задачи - номер 418, страница 84.

Условие.

418. Можно ли расставить в клетках таблицы, состоящей из трёх строк и четырёх столбцов, целые числа так, чтобы сумма чисел:

а) в каждой строке была равна $ -20 $, а в каждом столбце $ -15 $;

б) в каждой строке была равна $ -20 $, а в каждом столбце $ -16 $;

в) в каждой строке была положительной, а в каждом столбце — отрицательной?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

а) Посчитаем сумму всех чисел в таблице (обозначим её $S$) двумя способами.
1. Суммируя по строкам: в таблице 3 строки, и сумма чисел в каждой из них равна -20. Следовательно, общая сумма всех чисел $S = 3 \times (-20) = -60$.
2. Суммируя по столбцам: в таблице 4 столбца, и сумма чисел в каждом из них равна -15. Следовательно, общая сумма всех чисел $S = 4 \times (-15) = -60$.
Поскольку результаты, полученные двумя способами, совпадают ($-60 = -60$), то такое расположение чисел возможно. Например, если в каждой ячейке таблицы поставить число -5, то все условия будут выполнены: сумма в каждой строке будет $4 \times (-5) = -20$, а в каждом столбце $3 \times (-5) = -15$.
Ответ: да, можно.

б) Посчитаем сумму всех чисел в таблице ($S$) двумя способами.
1. Суммируя по строкам: 3 строки с суммой -20 в каждой. Отсюда $S = 3 \times (-20) = -60$.
2. Суммируя по столбцам: 4 столбца с суммой -16 в каждом. Отсюда $S = 4 \times (-16) = -64$.
Сумма всех чисел в таблице не может быть одновременно равна -60 и -64. Полученное противоречие означает, что расставить числа требуемым образом невозможно.
Ответ: нет, нельзя.

в) Обозначим сумму всех чисел в таблице как $S$.
1. По условию, сумма чисел в каждой из трёх строк — положительное целое число, то есть она не меньше 1. Тогда сумма всех чисел в таблице $S$ будет не меньше, чем $1 + 1 + 1 = 3$. Таким образом, $S \ge 3$.
2. С другой стороны, сумма чисел в каждом из четырёх столбцов — отрицательное целое число, то есть она не больше -1. Тогда сумма всех чисел в таблице $S$ будет не больше, чем $4 \times (-1) = -4$. Таким образом, $S \le -4$.
Мы получили противоречие: сумма всех чисел $S$ должна быть одновременно и положительной ($S \ge 3$), и отрицательной ($S \le -4$), что невозможно.
Ответ: нет, нельзя.