Номер 496, страница 97 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 3. Рациональные числа. 3.3. Сравнение рациональных чисел - номер 496, страница 97.

Условие.

496. Как можно сравнить дроби, не приводя их к общему положительному знаменателю, если числители этих дробей одинаковые положительные целые числа?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Чтобы сравнить дроби с одинаковыми положительными целыми числителями, не приводя их к общему знаменателю, необходимо сравнить их знаменатели. Правило сравнения звучит следующим образом: из двух дробей с одинаковыми положительными числителями больше та, у которой знаменатель меньше, и, соответственно, меньше та дробь, у которой знаменатель больше.

Рассмотрим логическое объяснение этого правила. Знаменатель дроби показывает, на сколько равных частей разделено некое целое, а числитель — сколько таких частей взято. Если числители у двух дробей одинаковы, это означает, что мы берем одинаковое количество частей. Однако размер этих частей будет разным, так как он зависит от знаменателя.

Чем на большее число частей мы делим целое (то есть, чем больше знаменатель), тем меньше размер каждой отдельной части. И наоборот, чем меньше знаменатель, тем крупнее каждая часть.

Например, сравним дроби $\frac{5}{7}$ и $\frac{5}{9}$.
В обоих случаях мы берем 5 частей. В дроби $\frac{5}{7}$ целое разделено на 7 частей. В дроби $\frac{5}{9}$ целое разделено на 9 частей. Части, полученные при делении на 7, будут крупнее частей, полученных при делении на 9. Следовательно, 5 более крупных частей будут больше, чем 5 более мелких частей. Таким образом, $\frac{5}{7} > \frac{5}{9}$, потому что знаменатель $7$ меньше знаменателя $9$.

Математически это можно доказать, сравнив две дроби $\frac{a}{b}$ и $\frac{a}{c}$, где $a, b, c$ — положительные целые числа. Предположим, что $b < c$. Умножим обе части этого неравенства на положительное число $\frac{1}{bc}$: $b \cdot \frac{1}{bc} < c \cdot \frac{1}{bc}$ $\frac{b}{bc} < \frac{c}{bc}$ $\frac{1}{c} < \frac{1}{b}$ Теперь умножим обе части на положительный числитель $a$: $a \cdot \frac{1}{c} < a \cdot \frac{1}{b}$ $\frac{a}{c} < \frac{a}{b}$ Это доказывает, что если знаменатель $b$ меньше знаменателя $c$, то дробь $\frac{a}{b}$ будет больше дроби $\frac{a}{c}$.

Ответ: Из двух дробей с одинаковыми положительными числителями больше та дробь, у которой знаменатель меньше.