Номер 493, страница 97 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

3.3. Сравнение рациональных чисел. Глава 3. Рациональные числа - номер 493, страница 97.

Условие.

493. Можно ли назвать 10 дробей, больших одной из данных дробей, но меньших другой:

а) $\frac{39}{40}$ и $-\frac{1}{40}$;

б) $-\frac{3}{4}$ и $-\frac{1}{4}$?

Можно ли назвать 100, 1000, 10 000 таких дробей?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

а) $-\frac{39}{40}$ и $-\frac{1}{40}$

Сначала сравним данные дроби. Так как оба числа отрицательные, больше то, модуль которого меньше. $|\,-\frac{1}{40}\,| < |\,-\frac{39}{40}\,|$, следовательно, $-\frac{1}{40} > -\frac{39}{40}$. Нам нужно найти 10 дробей $x$, удовлетворяющих неравенству: $-\frac{39}{40} < x < -\frac{1}{40}$.

У этих дробей уже есть общий знаменатель 40. Мы можем искать дроби с таким же знаменателем. Числители таких дробей должны быть целыми числами между -39 и -1. Такими числами являются -38, -37, -36, ..., -3, -2. Всего таких чисел $38 - 2 + 1 = 37$. Поскольку $37 > 10$, мы можем легко назвать 10 таких дробей. Например: $-\frac{38}{40}, -\frac{37}{40}, -\frac{36}{40}, -\frac{35}{40}, -\frac{34}{40}, -\frac{33}{40}, -\frac{32}{40}, -\frac{31}{40}, -\frac{30}{40}, -\frac{29}{40}$.

Чтобы найти 100, 1000 или 10 000 таких дробей, мы можем привести исходные дроби к большему общему знаменателю, умножив числитель и знаменатель на одно и то же число. Например, чтобы найти 100 дробей, умножим числитель и знаменатель на 3:
$-\frac{39}{40} = -\frac{39 \times 3}{40 \times 3} = -\frac{117}{120}$
$-\frac{1}{40} = -\frac{1 \times 3}{40 \times 3} = -\frac{3}{120}$
Теперь мы ищем дроби между $-\frac{117}{120}$ и $-\frac{3}{120}$. Количество целых числителей между -117 и -3 равно $117 - 3 - 1 = 113$. Поскольку $113 > 100$, можно назвать 100 таких дробей.

Этот же принцип, основанный на свойстве плотности рациональных чисел (между любыми двумя различными рациональными числами существует бесконечно много других рациональных чисел), работает для любого количества дробей. Чтобы найти $N$ дробей, достаточно умножить числитель и знаменатель исходных дробей на такое число $k$, чтобы разница между новыми числителями была больше $N$. Таким образом, можно назвать и 10, и 100, и 1000, и 10 000 таких дробей.

Ответ: да, можно назвать 10 дробей. Да, можно назвать 100, 1000, 10 000 таких дробей.

б) $-\frac{3}{4}$ и $-\frac{1}{4}$

Сравним дроби: так как $|\,-\frac{1}{4}\,| < |\,-\frac{3}{4}\,|$, то $-\frac{1}{4} > -\frac{3}{4}$. Ищем 10 дробей $x$, для которых выполняется неравенство: $-\frac{3}{4} < x < -\frac{1}{4}$.

У дробей общий знаменатель 4. Между числителями -3 и -1 находится только одно целое число: -2. Это дает нам только одну дробь $-\frac{2}{4}$. Чтобы найти больше дробей, приведем исходные дроби к большему общему знаменателю. Нам нужно найти 10 дробей, значит, между числителями должно быть не менее 10 целых чисел (т.е. разница между числителями должна быть больше 10). Умножим числитель и знаменатель исходных дробей на 6 (можно выбрать любое целое число $k$, такое что $2k-1 \geq 10$):
$-\frac{3}{4} = -\frac{3 \times 6}{4 \times 6} = -\frac{18}{24}$
$-\frac{1}{4} = -\frac{1 \times 6}{4 \times 6} = -\frac{6}{24}$
Теперь мы ищем дроби между $-\frac{18}{24}$ и $-\frac{6}{24}$. Целые числители могут быть от -17 до -7. Количество таких чисел: $17 - 7 + 1 = 11$. Поскольку $11 > 10$, мы можем назвать 10 таких дробей. Например: $-\frac{17}{24}, -\frac{16}{24}, -\frac{15}{24}, -\frac{14}{24}, -\frac{13}{24}, -\frac{12}{24}, -\frac{11}{24}, -\frac{10}{24}, -\frac{9}{24}, -\frac{8}{24}$.

Как и в предыдущем пункте, чтобы найти 100, 1000 или 10 000 дробей, нужно просто выбрать достаточно большой множитель для числителя и знаменателя, чтобы создать достаточно "пространства" между новыми числителями. Например, для 100 дробей можно умножить на 51. Между любыми двумя разными дробями всегда можно вставить сколько угодно других дробей.

Ответ: да, можно назвать 10 дробей. Да, можно назвать 100, 1000, 10 000 таких дробей.