Номер 492, страница 97 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

3.3. Сравнение рациональных чисел. Глава 3. Рациональные числа - номер 492, страница 97.

Условие.

492. Существуют ли дроби $p \over q$, для которых верно неравенство $- {2 \over 5} < {p \over q} < - {1 \over 5}$? Если существуют, то найдите три такие дроби.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Существуют ли дроби $\frac{p}{q}$, для которых верно неравенство $-\frac{2}{5} < \frac{p}{q} < -\frac{1}{5}$? Если существуют, то найдите три такие дроби.

Да, такие дроби существуют. Согласно свойству плотности рациональных чисел, между любыми двумя различными дробями всегда находится бесконечное множество других дробей.

Чтобы найти такие дроби, удобно привести исходные дроби к общему знаменателю, который будет больше исходного. Это позволит нам "расширить" промежуток между числителями и найти подходящие значения.

Рассмотрим заданное неравенство: $-\frac{2}{5} < \frac{p}{q} < -\frac{1}{5}$.

Приведем дроби к общему знаменателю, например, 20. Для этого умножим числитель и знаменатель каждой из них на 4:

$-\frac{2}{5} = -\frac{2 \cdot 4}{5 \cdot 4} = -\frac{8}{20}$

$-\frac{1}{5} = -\frac{1 \cdot 4}{5 \cdot 4} = -\frac{4}{20}$

Теперь неравенство можно записать в виде: $-\frac{8}{20} < \frac{p}{q} < -\frac{4}{20}$.

Теперь нам нужно найти дроби со знаменателем 20, числители которых являются целыми числами, находящимися между -8 и -4. Такими числителями являются -7, -6 и -5.

Следовательно, в качестве примера можно привести следующие три дроби:

1. $-\frac{7}{20}$

2. $-\frac{6}{20}$, эту дробь можно сократить до $-\frac{3}{10}$

3. $-\frac{5}{20}$, эту дробь можно сократить до $-\frac{1}{4}$

Проверим найденные дроби, представив их и границы интервала в виде десятичных дробей: $-\frac{2}{5} = -0.4$ и $-\frac{1}{5} = -0.2$. Наше неравенство: $-0.4 < \frac{p}{q} < -0.2$.

Найденные дроби: $-\frac{7}{20} = -0.35$; $-\frac{3}{10} = -0.3$; $-\frac{1}{4} = -0.25$.

Поскольку $-0.4 < -0.35 < -0.2$, $-0.4 < -0.3 < -0.2$ и $-0.4 < -0.25 < -0.2$, все три дроби удовлетворяют исходному неравенству.

Ответ: Да, существуют. Например: $-\frac{7}{20}$, $-\frac{3}{10}$, $-\frac{1}{4}$.