Номер 602, страница 118 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

3.8. Изображение рациональных чисел на координатной оси. Глава 3. Рациональные числа - номер 602, страница 118.

Условие.

602. Найдите координаты точек, делящих отрезок $AB$ на три равные части, если:

a) $A(5)$, $B(9\frac{1}{2})$;

б) $A(\frac{1}{3})$, $B(\frac{2}{9})$;

в) $A(\frac{1}{2})$, $B(3\frac{1}{6})$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Для нахождения координат точек, делящих отрезок $AB$ на три равные части, воспользуемся формулами деления отрезка в заданном отношении. Пусть искомые точки $C$ и $D$ расположены на отрезке $AB$ так, что $AC = CD = DB$.

Точка $C$, ближайшая к точке $A$, делит отрезок $AB$ в отношении $1:2$, и её координата $x_C$ вычисляется по формуле: $x_C = \frac{2x_A + x_B}{3}$.

Точка $D$, ближайшая к точке $B$, делит отрезок $AB$ в отношении $2:1$, и её координата $x_D$ вычисляется по формуле: $x_D = \frac{x_A + 2x_B}{3}$.

а) Даны точки $A(5)$ и $B(9\frac{1}{2})$.

Координаты концов отрезка: $x_A = 5$ и $x_B = 9\frac{1}{2} = 9.5$.

Найдем координату первой точки $C$:

$x_C = \frac{2 \cdot 5 + 9\frac{1}{2}}{3} = \frac{10 + 9.5}{3} = \frac{19.5}{3} = 6.5 = 6\frac{1}{2}$

Найдем координату второй точки $D$:

$x_D = \frac{5 + 2 \cdot 9\frac{1}{2}}{3} = \frac{5 + 2 \cdot \frac{19}{2}}{3} = \frac{5 + 19}{3} = \frac{24}{3} = 8$

Искомые точки имеют координаты $6\frac{1}{2}$ и $8$.

Ответ: $6\frac{1}{2}$ и $8$.

б) Даны точки $A(\frac{1}{3})$ и $B(\frac{2}{9})$.

Координаты концов отрезка: $x_A = \frac{1}{3}$ и $x_B = \frac{2}{9}$.

Найдем координату первой искомой точки (ближе к $A$):

$x_C = \frac{2 \cdot \frac{1}{3} + \frac{2}{9}}{3} = \frac{\frac{2}{3} + \frac{2}{9}}{3} = \frac{\frac{6}{9} + \frac{2}{9}}{3} = \frac{\frac{8}{9}}{3} = \frac{8}{27}$

Найдем координату второй искомой точки (ближе к $B$):

$x_D = \frac{\frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{2}{9}}{3} = \frac{\frac{1}{3} + \frac{4}{9}}{3} = \frac{\frac{3}{9} + \frac{4}{9}}{3} = \frac{\frac{7}{9}}{3} = \frac{7}{27}$

Так как $x_A = \frac{1}{3} = \frac{9}{27} > x_B = \frac{2}{9} = \frac{6}{27}$, точки на прямой расположены в порядке $B, D, C, A$. Координаты искомых точек - $\frac{7}{27}$ и $\frac{8}{27}$.

Ответ: $\frac{7}{27}$ и $\frac{8}{27}$.

в) Даны точки $A(\frac{1}{2})$ и $B(3\frac{1}{6})$.

Координаты концов отрезка: $x_A = \frac{1}{2}$ и $x_B = 3\frac{1}{6} = \frac{19}{6}$.

Найдем координату первой точки $C$:

$x_C = \frac{2 \cdot \frac{1}{2} + 3\frac{1}{6}}{3} = \frac{1 + \frac{19}{6}}{3} = \frac{\frac{6}{6} + \frac{19}{6}}{3} = \frac{\frac{25}{6}}{3} = \frac{25}{18} = 1\frac{7}{18}$

Найдем координату второй точки $D$:

$x_D = \frac{\frac{1}{2} + 2 \cdot 3\frac{1}{6}}{3} = \frac{\frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{19}{6}}{3} = \frac{\frac{1}{2} + \frac{19}{3}}{3} = \frac{\frac{3}{6} + \frac{38}{6}}{3} = \frac{\frac{41}{6}}{3} = \frac{41}{18} = 2\frac{5}{18}$

Искомые точки имеют координаты $1\frac{7}{18}$ и $2\frac{5}{18}$.

Ответ: $1\frac{7}{18}$ и $2\frac{5}{18}$.