Страница 127 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

648. В хозяйстве имеются куры и овцы. Сколько тех и других, если известно, что у них всех вместе:

а) 19 голов и 46 ног;

б) 30 голов и 74 ноги?

Для решения задачи составим систему уравнений для каждого случая. Пусть $x$ — количество кур, а $y$ — количество овец. У каждой курицы 2 ноги, а у каждой овцы — 4. Каждое животное имеет по одной голове.

а)

По условию в хозяйстве 19 голов и 46 ног. Составим систему уравнений:

1. Уравнение по количеству голов: $x + y = 19$

2. Уравнение по количеству ног: $2x + 4y = 46$

Получаем систему:

$\begin{cases} x + y = 19 \\ 2x + 4y = 46 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $x$: $x = 19 - y$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$2(19 - y) + 4y = 46$

Раскроем скобки и решим уравнение:

$38 - 2y + 4y = 46$

$2y = 46 - 38$

$2y = 8$

$y = 4$

Таким образом, в хозяйстве 4 овцы.

Теперь найдем количество кур, подставив значение $y$ в выражение для $x$:

$x = 19 - 4 = 15$

В хозяйстве 15 кур.

Проверим: 15 кур и 4 овцы. Всего голов: $15 + 4 = 19$. Всего ног: $15 \cdot 2 + 4 \cdot 4 = 30 + 16 = 46$. Все условия выполнены.

Ответ: 15 кур и 4 овцы.

б)

По условию в хозяйстве 30 голов и 74 ноги. Составим систему уравнений:

1. Уравнение по количеству голов: $x + y = 30$

2. Уравнение по количеству ног: $2x + 4y = 74$

Получаем систему:

$\begin{cases} x + y = 30 \\ 2x + 4y = 74 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $x$: $x = 30 - y$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$2(30 - y) + 4y = 74$

Раскроем скобки и решим уравнение:

$60 - 2y + 4y = 74$

$2y = 74 - 60$

$2y = 14$

$y = 7$

Таким образом, в хозяйстве 7 овец.

Теперь найдем количество кур, подставив значение $y$ в выражение для $x$:

$x = 30 - 7 = 23$

В хозяйстве 23 курицы.

Проверим: 23 курицы и 7 овец. Всего голов: $23 + 7 = 30$. Всего ног: $23 \cdot 2 + 7 \cdot 4 = 46 + 28 = 74$. Все условия выполнены.

Ответ: 23 курицы и 7 овец.

649. У пятнадцати треугольников и четырёхугольников 53 угла. Сколько треугольников и четырёхугольников в отдельности?

Для решения этой задачи можно использовать два способа: логический и алгебраический.

Решение 1 (логический способ)

1. Давайте предположим, что все 15 фигур — это треугольники. У каждого треугольника по 3 угла.

Тогда общее количество углов было бы: $15 \times 3 = 45$ углов.

2. По условию задачи у нас 53 угла. Найдем разницу между фактическим и предполагаемым количеством углов.

$53 - 45 = 8$ углов.

3. Эта "лишняя" разница в 8 углов возникла из-за того, что некоторые фигуры на самом деле не треугольники, а четырёхугольники. У четырёхугольника на 1 угол больше, чем у треугольника ($4 - 3 = 1$).

4. Каждая замена воображаемого треугольника на реальный четырёхугольник добавляет 1 угол к общему числу. Чтобы получить разницу в 8 углов, нужно сделать 8 таких замен.

Следовательно, количество четырёхугольников равно 8.

5. Теперь найдем количество треугольников. Всего фигур 15.

$15 - 8 = 7$ треугольников.

Проверка: 7 треугольников имеют $7 \times 3 = 21$ угол. 8 четырёхугольников имеют $8 \times 4 = 32$ угла. Всего углов: $21 + 32 = 53$. Всё верно.

Ответ: 7 треугольников и 8 четырёхугольников.

Решение 2 (алгебраический способ)

1. Введем переменные:

Пусть $x$ — количество треугольников.

Пусть $y$ — количество четырёхугольников.

2. Составим систему уравнений на основе условий задачи:

Первое уравнение (общее количество фигур): $x + y = 15$

Второе уравнение (общее количество углов): $3x + 4y = 53$

3. Решим эту систему. Из первого уравнения выразим $x$: $x = 15 - y$.

4. Подставим это выражение во второе уравнение:

$3(15 - y) + 4y = 53$

$45 - 3y + 4y = 53$

$45 + y = 53$

$y = 53 - 45$

$y = 8$. Таким образом, у нас 8 четырёхугольников.

5. Теперь найдем $x$, подставив значение $y$ в первое уравнение:

$x + 8 = 15$

$x = 15 - 8$

$x = 7$. Таким образом, у нас 7 треугольников.

Ответ: 7 треугольников и 8 четырёхугольников.

650. a) Сумму в 74 р. заплатили девятнадцатью монетами по 2 р. и 5 р. Сколько было монет по 2 р.?

б) Если разменять 27 рублей на гривенники и двухгривенные¹ так, чтобы всех монет было 170, то сколько будет гривенников и сколько двухгривенных?

а)

Обозначим количество монет по 2 рубля как $x$, а количество монет по 5 рублей — как $y$. Исходя из условий задачи, можно составить систему из двух уравнений:

1. Общее количество монет равно 19: $x + y = 19$.
2. Общая сумма денег равна 74 рубля: $2x + 5y = 74$.

Выразим $y$ из первого уравнения: $y = 19 - x$.

Теперь подставим это выражение во второе уравнение, чтобы найти $x$:

$2x + 5(19 - x) = 74$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:

$2x + 95 - 5x = 74$
$95 - 3x = 74$
$3x = 95 - 74$
$3x = 21$
$x = \frac{21}{3}$
$x = 7$

Таким образом, количество монет по 2 рубля составляет 7 штук. Ответ: 7 монет по 2 р.

б)

Для удобства вычислений переведем рубли в копейки и определим номинал старинных монет.
В 1 рубле 100 копеек, следовательно, 27 рублей = $27 \times 100 = 2700$ копеек.
Номинал гривенника — 10 копеек.
Номинал двугривенного — 20 копеек.

Пусть $g$ — это количество гривенников, а $d$ — количество двугривенных. Составим систему уравнений на основе условий задачи:

1. Общее количество монет равно 170: $g + d = 170$.
2. Общая сумма равна 2700 копеек: $10g + 20d = 2700$.

Сначала упростим второе уравнение, разделив все его члены на 10:

$g + 2d = 270$.

Теперь у нас есть система: $\begin{cases} g + d = 170 \\ g + 2d = 270 \end{cases}$

Выразим $g$ из первого уравнения: $g = 170 - d$.

Подставим это выражение во второе, упрощенное, уравнение:

$(170 - d) + 2d = 270$
$170 + d = 270$
$d = 270 - 170$
$d = 100$

Мы нашли количество двугривенных — их 100 штук. Теперь найдем количество гривенников:

$g = 170 - d = 170 - 100 = 70$

Итак, было 70 гривенников и 100 двугривенных. Ответ: 70 гривенников и 100 двугривенных.

651. Из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого. Спросил некто учителя:

— Сколько имеешь учеников у себя в учении, ибо хочу отдать тебе в учение своего сына?

Учитель же отвечал ему:

— Если придёт ко мне ещё столько, сколько имею, да ещё половина и ещё четверть и ещё твой сын, то будет у меня 100 учеников.

Сколько учеников было у учителя?

Для решения этой задачи необходимо составить уравнение. Обозначим за $x$ первоначальное количество учеников у учителя.

В условии говорится, что если к текущему количеству учеников прибавить ещё столько же, ещё половину, ещё четверть и ещё одного ученика (сына), то общее количество станет равно 100. Запишем это в виде математического выражения:

• Текущее количество учеников: $x$
• Ещё столько же: $+x$
• Ещё половина: $+\frac{1}{2}x$
• Ещё четверть: $+\frac{1}{4}x$
• Ещё сын: $+1$

Сумма всех этих частей равна 100. Составим уравнение:

$x + x + \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}x + 1 = 100$

Теперь решим это уравнение. Сначала сложим все слагаемые, содержащие переменную $x$:

$2x + \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}x + 1 = 100$

Чтобы сложить дроби, приведём их к общему знаменателю 4:

$\frac{8x}{4} + \frac{2x}{4} + \frac{x}{4} + 1 = 100$

Теперь выполним сложение дробей:

$\frac{11x}{4} + 1 = 100$

Перенесём 1 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$\frac{11x}{4} = 100 - 1$

$\frac{11x}{4} = 99$

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 4 и разделим на 11:

$x = \frac{99 \cdot 4}{11}$

Сокращаем 99 и 11:

$x = 9 \cdot 4$

$x = 36$

Таким образом, у учителя изначально было 36 учеников.

Проверим решение: если к 36 ученикам прибавить еще 36, еще половину от 36 (то есть 18), еще четверть от 36 (то есть 9) и еще 1 (сына), то получится: $36 + 36 + 18 + 9 + 1 = 100$. Решение верное.

Ответ: 36

652. (Греция.)

— Скажи мне, знаменитый Пифагор, сколько учеников посещают твою школу и слушают твои беседы?

— Вот сколько, — ответил философ, — половина изучает математику, четверть музыку, седьмая часть пребывает в молчании и, кроме того, есть ещё три женщины.

Для решения этой задачи обозначим общее число учеников Пифагора переменной $x$.

Согласно условию, ученики делятся на следующие группы:
- Половина изучает математику: $\frac{1}{2}x$
- Четверть изучает музыку: $\frac{1}{4}x$
- Седьмая часть пребывает в молчании: $\frac{1}{7}x$
- И, кроме того, три женщины: $3$

Сумма всех этих частей составляет общее число учеников $x$. Можем составить уравнение:
$\frac{1}{2}x + \frac{1}{4}x + \frac{1}{7}x + 3 = x$

Для решения уравнения перенесем все слагаемые с переменной $x$ в одну сторону:
$3 = x - \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}x - \frac{1}{7}x$

Чтобы выполнить вычитание, приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 2, 4 и 7 равно 28.
$3 = \frac{28x}{28} - \frac{14x}{28} - \frac{7x}{28} - \frac{4x}{28}$
$3 = \frac{(28 - 14 - 7 - 4)x}{28}$
$3 = \frac{3x}{28}$

Теперь найдем значение $x$:
$3 \cdot 28 = 3x$
$84 = 3x$
$x = \frac{84}{3}$
$x = 28$

Следовательно, у Пифагора было 28 учеников.

Проверим ответ:
Изучают математику: $\frac{1}{2} \cdot 28 = 14$ учеников.
Изучают музыку: $\frac{1}{4} \cdot 28 = 7$ учеников.
Пребывают в молчании: $\frac{1}{7} \cdot 28 = 4$ ученика.
Женщины: 3.
Всего: $14 + 7 + 4 + 3 = 28$ учеников.

Ответ: 28 учеников.