Страница 130 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

666. Длина, ширина и высота прямоугольного параллелепипеда $a, b, c$. Запишите формулу объёма прямоугольного параллелепипеда. Вычислите объём при:

а) $a = 2$ см, $b = 3$ см, $c = 5$ см;

б) $a = \frac{2}{5}$ см, $b = 4$ см, $c = 5$ см.

Объём прямоугольного параллелепипеда (V) равен произведению его длины (a), ширины (b) и высоты (c). Формула для вычисления объёма выглядит следующим образом:

$V = a \cdot b \cdot c$

Вычислим объём для заданных значений.

а) Подставим в формулу значения $a = 2$ см, $b = 3$ см, $c = 5$ см:
$V = 2 \text{ см} \cdot 3 \text{ см} \cdot 5 \text{ см} = 6 \text{ см}^2 \cdot 5 \text{ см} = 30 \text{ см}^3$.
Ответ: $30 \text{ см}^3$.

б) Подставим в формулу значения $a = \frac{2}{5}$ см, $b = 4$ см, $c = 5$ см:
$V = \frac{2}{5} \text{ см} \cdot 4 \text{ см} \cdot 5 \text{ см} = (\frac{2}{5} \cdot 5) \cdot 4 \text{ см}^3 = 2 \cdot 4 \text{ см}^3 = 8 \text{ см}^3$.
Ответ: $8 \text{ см}^3$.

667. Ребро куба $a$. Запишите формулу объёма куба. Вычислите объём при:

а) $a = 4 \text{ см}$;

б) $a = 5 \text{ см}$;

в) $a = 10 \text{ см}$.

Формула для вычисления объёма ($V$) куба с ребром, длина которого равна $a$, выглядит следующим образом:

$V = a^3$

Используя эту формулу, вычислим объём для каждого из заданных случаев.

а) При $a = 4$ см

Подставляем значение длины ребра в формулу:

$V = 4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 16 \cdot 4 = 64$ (см$^3$)

Ответ: $64$ см$^3$.

б) При $a = 5$ см

Подставляем значение длины ребра в формулу:

$V = 5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 25 \cdot 5 = 125$ (см$^3$)

Ответ: $125$ см$^3$.

в) При $a = 10$ см

Подставляем значение длины ребра в формулу:

$V = 10^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 100 \cdot 10 = 1000$ (см$^3$)

Ответ: $1000$ см$^3$.

668. Составьте буквенное выражение для вычисления площади $S$ фигуры (рис. 67).

а) $S = a^2$

б) $S = ab$

в) $S = a(b-d) + cd$

г) $S = bc - (b-d)(c-a)$

д) $S = dc - a(c-b)$

е) $S = ab - c(b-d)$

Рис. 67

а)

Фигура является квадратом со стороной $a$. Площадь квадрата равна квадрату его стороны. Следовательно, формула для вычисления площади $S$ имеет вид: $S = a \cdot a = a^2$.

Ответ: $S = a^2$.

б)

Фигура является прямоугольником со сторонами $a$ и $b$. Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. Следовательно, формула для вычисления площади $S$ имеет вид: $S = ab$.

Ответ: $S = ab$.

в)

Фигуру можно представить как сумму двух прямоугольников. Площадь первого прямоугольника со сторонами $a$ и $b$ равна $S_1 = ab$. Площадь второго прямоугольника со сторонами $c$ и $d$ равна $S_2 = cd$. Общая площадь фигуры $S$ равна сумме площадей этих двух прямоугольников: $S = S_1 + S_2 = ab + cd$.

Ответ: $S = ab + cd$.

г)

Эту фигуру можно разделить на два прямоугольника, проведя вертикальную линию. В результате получатся два прямоугольника: левый со сторонами $a$ и $d$ (его площадь $S_1 = ad$) и правый со сторонами $c$ и $b$ (его площадь $S_2 = cb$). Общая площадь фигуры $S$ равна сумме их площадей: $S = S_1 + S_2 = ad + cb$.

Ответ: $S = ad + cb$.

д)

Площадь этой фигуры можно найти двумя способами: сложением площадей составляющих ее частей или вычитанием.

1. Способ сложения. Фигуру можно разбить на три прямоугольника: центральный нижний со сторонами $a$ и $b$ (площадь $S_1 = ab$) и два боковых прямоугольника высотой $c$ и общей шириной $d-a$ (их суммарная площадь $S_2 = c(d-a)$). Общая площадь $S$ равна их сумме: $S = S_1 + S_2 = ab + c(d-a)$.

2. Способ вычитания. Можно представить фигуру как большой прямоугольник со сторонами $d$ и $c$ (площадь $S_{большой} = dc$), из которого сверху вырезан прямоугольник со сторонами $a$ и $c-b$ (площадь $S_{вырез} = a(c-b)$). Общая площадь $S$ равна их разности: $S = S_{большой} - S_{вырез} = dc - a(c-b)$.

Оба выражения являются верными и эквивалентными.

Ответ: $S = c(d-a) + ab$ (или $S = dc - a(c-b)$).

е)

Фигуру можно разделить на два прямоугольника. Первый прямоугольник имеет стороны $c$ и $d$, его площадь $S_1 = cd$. Второй прямоугольник имеет стороны $a$ и $b$, его площадь $S_2 = ab$. Общая площадь фигуры $S$ равна сумме площадей этих двух прямоугольников: $S = S_1 + S_2 = ab + cd$.

Ответ: $S = ab + cd$.

Решите задачу, составляя числовое выражение (669—671):

669. а) Купили 7 тетрадей по 50 к. и 2 ручки по 3 р. Сколько заплатили за покупку?

б) Купили 4 линейки по 40 к. и 3 угольника по 80 к. Сколько сдачи получили с 5 р.?

а) Чтобы найти, сколько заплатили за покупку, нужно сложить стоимость тетрадей и стоимость ручек. Для составления единого числового выражения переведем все в одну единицу измерения — копейки. В одном рубле 100 копеек, следовательно, цена одной ручки составляет $3 \text{ р.} = 300 \text{ к.}$
Стоимость всех тетрадей: $7 \times 50$ к.
Стоимость всех ручек: $2 \times 300$ к.
Числовое выражение для общей стоимости покупки:
$7 \times 50 + 2 \times 300 = 350 + 600 = 950$ к.
Переведем итоговую сумму в рубли и копейки: $950 \text{ к.} = 9 \text{ р. } 50 \text{ к.}$
Ответ: 9 р. 50 к.

б) Чтобы найти размер сдачи, необходимо из уплаченной суммы вычесть общую стоимость покупки. Составим числовое выражение, посчитав все в копейках.
Стоимость всех линеек: $4 \times 40 = 160$ к.
Стоимость всех угольников: $3 \times 80 = 240$ к.
Общая стоимость покупки: $160 + 240 = 400$ к.
Уплаченная сумма: $5 \text{ р.} = 5 \times 100 = 500$ к.
Числовое выражение для нахождения сдачи:
$500 - (4 \times 40 + 3 \times 80) = 500 - (160 + 240) = 500 - 400 = 100$ к.
Переведем сдачу в рубли: $100 \text{ к.} = 1 \text{ р.}$
Ответ: 1 р.

670. а) Турист ехал $2 \text{ ч}$ на поезде со скоростью $60 \text{ км/ч}$ и шёл пешком $3 \text{ ч}$ со скоростью $5 \text{ км/ч}$. Какое расстояние преодолел турист за $5 \text{ ч}$?

б) Длина маршрута $400 \text{ км}$. Турист ехал $4 \text{ ч}$ поездом со скоростью $65 \text{ км/ч}$ и $2 \text{ ч}$ автобусом со скоростью $60 \text{ км/ч}$. За сколько часов он пройдёт остаток пути пешком, если будет идти со скоростью $5 \text{ км/ч}$?

а)

Чтобы найти общее расстояние, которое преодолел турист, нужно сложить расстояние, которое он проехал на поезде, и расстояние, которое он прошёл пешком.

1. Сначала найдём расстояние, пройденное на поезде. Для этого умножим скорость поезда на время в пути:

$S_{поезд} = v \cdot t = 60 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 120 \text{ км}$

2. Затем найдём расстояние, которое турист прошёл пешком:

$S_{пешком} = v \cdot t = 5 \text{ км/ч} \cdot 3 \text{ ч} = 15 \text{ км}$

3. Теперь сложим оба расстояния, чтобы найти общий путь. Общее время в пути составляет $2 + 3 = 5$ часов, что соответствует условию задачи.

$S_{общий} = S_{поезд} + S_{пешком} = 120 \text{ км} + 15 \text{ км} = 135 \text{ км}$

Ответ: за 5 часов турист преодолел 135 км.

б)

Чтобы найти, за сколько часов турист пройдёт остаток пути, нужно сначала определить, какое расстояние ему осталось пройти. Для этого из общей длины маршрута вычтем расстояние, уже преодолённое на поезде и автобусе.

1. Найдём расстояние, которое турист проехал на поезде:

$S_{поезд} = v \cdot t = 65 \text{ км/ч} \cdot 4 \text{ ч} = 260 \text{ км}$

2. Найдём расстояние, которое турист проехал на автобусе:

$S_{автобус} = v \cdot t = 60 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 120 \text{ км}$

3. Найдём общее расстояние, которое турист уже преодолел:

$S_{пройдено} = S_{поезд} + S_{автобус} = 260 \text{ км} + 120 \text{ км} = 380 \text{ км}$

4. Теперь найдём оставшееся расстояние:

$S_{остаток} = S_{общий} - S_{пройдено} = 400 \text{ км} - 380 \text{ км} = 20 \text{ км}$

5. Зная оставшееся расстояние и скорость ходьбы туриста, найдём время, которое ему потребуется, чтобы пройти этот путь:

$t = \frac{S}{v} = \frac{20 \text{ км}}{5 \text{ км/ч}} = 4 \text{ ч}$

Ответ: турист пройдёт остаток пути за 4 часа.