Страница 129 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Найдите значение буквенного выражения (659–660):

659. а) $a + b$ при $a = 1, b = 3$;

б) $a - b$ при $a = -2, b = 4$;

в) $2x - y$ при $x = 5, y = 6$;

г) $3x - 2y$ при $x = -1, y = -4$.

а) Подставим значения $a=1$ и $b=3$ в выражение $a+b$:

$1 + 3 = 4$

Ответ: 4

б) Подставим значения $a=-2$ и $b=4$ в выражение $a-b$:

$-2 - 4 = -6$

Ответ: -6

в) Подставим значения $x=5$ и $y=6$ в выражение $2x-y$:

$2 \cdot 5 - 6 = 10 - 6 = 4$

Ответ: 4

г) Подставим значения $x=-1$ и $y=-4$ в выражение $3x-2y$:

$3 \cdot (-1) - 2 \cdot (-4) = -3 - (-8) = -3 + 8 = 5$

Ответ: 5

660. а) $ab$ при $a = \frac{3}{4}$, $b = 1\frac{3}{5}$;

б) $2(a + b)$ при $a = \frac{3}{10}$, $b = 1\frac{1}{2}$;

В) $abc$ при $a = \frac{1}{3}$, $b = 1\frac{1}{2}$, $c = 2$.

а) Найдем значение выражения $ab$ при $a = \frac{3}{4}$ и $b = 1\frac{3}{5}$.
Сначала представим смешанное число $1\frac{3}{5}$ в виде неправильной дроби:
$1\frac{3}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{8}{5}$.
Теперь перемножим дроби:
$ab = \frac{3}{4} \cdot \frac{8}{5} = \frac{3 \cdot 8}{4 \cdot 5}$.
Сократим числитель и знаменатель на 4:
$\frac{3 \cdot 8}{4 \cdot 5} = \frac{3 \cdot 2}{1 \cdot 5} = \frac{6}{5}$.
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:
$\frac{6}{5} = 1\frac{1}{5}$.
Ответ: $1\frac{1}{5}$

б) Найдем значение выражения $2(a+b)$ при $a = \frac{3}{10}$ и $b = 1\frac{1}{2}$.
Сначала выполним сложение в скобках. Представим смешанное число $1\frac{1}{2}$ в виде неправильной дроби:
$1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$.
Теперь сложим дроби $a$ и $b$, приведя их к общему знаменателю 10:
$a + b = \frac{3}{10} + \frac{3}{2} = \frac{3}{10} + \frac{3 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{3}{10} + \frac{15}{10} = \frac{3+15}{10} = \frac{18}{10}$.
Сократим полученную дробь на 2:
$\frac{18}{10} = \frac{9}{5}$.
Теперь умножим результат на 2:
$2 \cdot \frac{9}{5} = \frac{18}{5}$.
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:
$\frac{18}{5} = 3\frac{3}{5}$.
Ответ: $3\frac{3}{5}$

в) Найдем значение выражения $abc$ при $a = \frac{1}{3}$, $b = 1\frac{1}{2}$ и $c=2$.
Представим смешанное число $1\frac{1}{2}$ в виде неправильной дроби:
$1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$.
Теперь перемножим все три числа:
$abc = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} \cdot 2 = \frac{1 \cdot 3 \cdot 2}{3 \cdot 2 \cdot 1}$.
Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе:
$\frac{1 \cdot 3 \cdot 2}{3 \cdot 2} = 1$.
Ответ: $1$

Найдите значение каждого буквенного выражения при указанных значениях $x$ (661–662):

661.

Для нахождения значений буквенных выражений необходимо подставить в них указанные значения переменной $x$ и выполнить вычисления.

$x-1$

Подставим поочередно каждое значение $x$ в выражение $x-1$:

При $x=1$: $1 - 1 = 0$

При $x=3$: $3 - 1 = 2$

При $x=0$: $0 - 1 = -1$

При $x=-1$: $-1 - 1 = -2$

При $x=-5$: $-5 - 1 = -6$

При $x=\frac{1}{3}$: $\frac{1}{3} - 1 = \frac{1}{3} - \frac{3}{3} = -\frac{2}{3}$

Ответ: 0; 2; -1; -2; -6; $-\frac{2}{3}$.

$2x+1$

Подставим поочередно каждое значение $x$ в выражение $2x+1$:

При $x=1$: $2 \cdot 1 + 1 = 2 + 1 = 3$

При $x=3$: $2 \cdot 3 + 1 = 6 + 1 = 7$

При $x=0$: $2 \cdot 0 + 1 = 0 + 1 = 1$

При $x=-1$: $2 \cdot (-1) + 1 = -2 + 1 = -1$

При $x=-5$: $2 \cdot (-5) + 1 = -10 + 1 = -9$

При $x=\frac{1}{3}$: $2 \cdot \frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3} + 1 = \frac{2}{3} + \frac{3}{3} = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}$

Ответ: 3; 7; 1; -1; -9; $1\frac{2}{3}$.

$3-3x$

Подставим поочередно каждое значение $x$ в выражение $3-3x$:

При $x=1$: $3 - 3 \cdot 1 = 3 - 3 = 0$

При $x=3$: $3 - 3 \cdot 3 = 3 - 9 = -6$

При $x=0$: $3 - 3 \cdot 0 = 3 - 0 = 3$

При $x=-1$: $3 - 3 \cdot (-1) = 3 + 3 = 6$

При $x=-5$: $3 - 3 \cdot (-5) = 3 + 15 = 18$

При $x=\frac{1}{3}$: $3 - 3 \cdot \frac{1}{3} = 3 - 1 = 2$

Ответ: 0; -6; 3; 6; 18; 2.

$1+\frac{1}{2}x$

Подставим поочередно каждое значение $x$ в выражение $1+\frac{1}{2}x$:

При $x=1$: $1 + \frac{1}{2} \cdot 1 = 1 + \frac{1}{2} = 1\frac{1}{2}$

При $x=3$: $1 + \frac{1}{2} \cdot 3 = 1 + \frac{3}{2} = 1 + 1\frac{1}{2} = 2\frac{1}{2}$

При $x=0$: $1 + \frac{1}{2} \cdot 0 = 1 + 0 = 1$

При $x=-1$: $1 + \frac{1}{2} \cdot (-1) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

При $x=-5$: $1 + \frac{1}{2} \cdot (-5) = 1 - \frac{5}{2} = \frac{2}{2} - \frac{5}{2} = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2}$

При $x=\frac{1}{3}$: $1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = 1 + \frac{1}{6} = 1\frac{1}{6}$

Ответ: $1\frac{1}{2}$; $2\frac{1}{2}$; 1; $\frac{1}{2}$; $-1\frac{1}{2}$; $1\frac{1}{6}$.

662. Значения x:

$x$: 1, 2, 5, 0, -2, -4

Выражения для вычисления:

$2x$

$x^2$

Для решения задачи необходимо последовательно подставить каждое значение x из верхней строки таблицы в выражения 2x и x² и записать полученные результаты в соответствующие ячейки.

Итоговая заполненная таблица:

663. Стороны прямоугольника $a$ и $b$. Запишите формулу периметра прямоугольника. Вычислите периметр при:

Периметр прямоугольника: $P = 2(a + b)$

а) $a = 2 \text{ см}, b = 3 \text{ см};$

б) $a = 7 \text{ см}, b = 9 \text{ см};$

в) $a = 1 \frac{1}{5} \text{ см}, b = 3 \frac{4}{5} \text{ см};$

г) $a = 2 \frac{1}{2} \text{ см}, b = 3 \frac{1}{4} \text{ см}.$

Периметр прямоугольника (P) — это сумма длин всех его сторон. Если стороны прямоугольника равны a и b, то у него есть две стороны длиной a и две стороны длиной b. Формула для вычисления периметра выглядит так:

$P = 2(a+b)$

Теперь вычислим периметр для каждого из заданных случаев.

а) Вычислим периметр при $a=2$ см и $b=3$ см:

$P = 2(2 + 3) = 2 \cdot 5 = 10$ см.

Ответ: 10 см.

б) Вычислим периметр при $a=7$ см и $b=9$ см:

$P = 2(7 + 9) = 2 \cdot 16 = 32$ см.

Ответ: 32 см.

в) Вычислим периметр при $a=1\frac{1}{5}$ см и $b=3\frac{4}{5}$ см:

Сначала сложим длины сторон:

$a+b = 1\frac{1}{5} + 3\frac{4}{5} = (1+3) + (\frac{1}{5} + \frac{4}{5}) = 4 + \frac{5}{5} = 4 + 1 = 5$ см.

Теперь подставим сумму в формулу периметра:

$P = 2 \cdot 5 = 10$ см.

Ответ: 10 см.

г) Вычислим периметр при $a=2\frac{1}{2}$ см и $b=3\frac{1}{4}$ см:

Сначала сложим длины сторон, приведя дроби к общему знаменателю 4:

$a+b = 2\frac{1}{2} + 3\frac{1}{4} = 2\frac{2}{4} + 3\frac{1}{4} = (2+3) + (\frac{2}{4} + \frac{1}{4}) = 5\frac{3}{4}$ см.

Теперь подставим сумму в формулу периметра. Для удобства вычислений представим смешанное число в виде неправильной дроби:

$P = 2 \cdot 5\frac{3}{4} = 2 \cdot \frac{5 \cdot 4 + 3}{4} = 2 \cdot \frac{23}{4} = \frac{46}{4} = \frac{23}{2} = 11\frac{1}{2}$ см.

Ответ: $11\frac{1}{2}$ см.

664. Стороны прямоугольника $a$ и $b$. Запишите формулу площади прямоугольника. Вычислите площадь при:

а) $a = 2$ см, $b = 7$ см;

б) $a = 4$ см, $b = 5$ см;

в) $a = 3\frac{1}{2}$ см, $b = 2\frac{2}{5}$ см;

г) $a = 3\frac{1}{5}$ см, $b = 1\frac{1}{4}$ см.

Формула для вычисления площади прямоугольника ($S$) со сторонами $a$ и $b$ выглядит так:

$S = a \cdot b$

Теперь вычислим площадь для каждого случая.

а) Дано: $a = 2$ см, $b = 7$ см.
Подставляем значения в формулу:
$S = 2 \text{ см} \cdot 7 \text{ см} = 14 \text{ см}^2$.
Ответ: $14 \text{ см}^2$.

б) Дано: $a = 4$ см, $b = 5$ см.
Подставляем значения в формулу:
$S = 4 \text{ см} \cdot 5 \text{ см} = 20 \text{ см}^2$.
Ответ: $20 \text{ см}^2$.

в) Дано: $a = 3\frac{1}{2}$ см, $b = 2\frac{2}{5}$ см.
Сначала переведем смешанные числа в неправильные дроби для удобства умножения:
$a = 3\frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{7}{2}$
$b = 2\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{12}{5}$
Теперь вычислим площадь:
$S = \frac{7}{2} \cdot \frac{12}{5} = \frac{7 \cdot 12}{2 \cdot 5} = \frac{84}{10} = \frac{42}{5} = 8\frac{2}{5} \text{ см}^2$.
Ответ: $8\frac{2}{5} \text{ см}^2$.

г) Дано: $a = 3\frac{1}{5}$ см, $b = 1\frac{1}{4}$ см.
Переведем смешанные числа в неправильные дроби:
$a = 3\frac{1}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{16}{5}$
$b = 1\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{5}{4}$
Вычислим площадь, выполнив сокращение дробей:
$S = \frac{16}{5} \cdot \frac{5}{4} = \frac{16 \cdot 5}{5 \cdot 4} = \frac{16}{4} = 4 \text{ см}^2$.
Ответ: $4 \text{ см}^2$.

665. Сторона квадрата $a$. Запишите формулы периметра и площади квадрата. Вычислите периметр и площадь квадрата при:

$P = 4a$

$S = a^2$

а) $a = 3$ см;

б) $a = 8$ см;

в) $a = 10$ см;

г) $a = \frac{1}{2}$ дм;

д) $a = 3\frac{1}{2}$ см;

е) $a = 2\frac{3}{4}$ см.

Пусть $a$ — сторона квадрата.

Формула для вычисления периметра ($P$) квадрата: $P = 4a$

Формула для вычисления площади ($S$) квадрата: $S = a^2$

а) При $a = 3$ см:
Периметр: $P = 4 \cdot 3 = 12$ см.
Площадь: $S = 3^2 = 9$ см².
Ответ: $P=12$ см, $S=9$ см².

б) При $a = 8$ см:
Периметр: $P = 4 \cdot 8 = 32$ см.
Площадь: $S = 8^2 = 64$ см².
Ответ: $P=32$ см, $S=64$ см².

в) При $a = 10$ см:
Периметр: $P = 4 \cdot 10 = 40$ см.
Площадь: $S = 10^2 = 100$ см².
Ответ: $P=40$ см, $S=100$ см².

г) При $a = \frac{1}{2}$ дм:
Периметр: $P = 4 \cdot \frac{1}{2} = \frac{4}{2} = 2$ дм.
Площадь: $S = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1^2}{2^2} = \frac{1}{4}$ дм².
Ответ: $P=2$ дм, $S=\frac{1}{4}$ дм².

д) При $a = 3\frac{1}{2}$ см:
Представим смешанное число в виде неправильной дроби: $a = 3\frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{7}{2}$ см.
Периметр: $P = 4 \cdot \frac{7}{2} = \frac{28}{2} = 14$ см.
Площадь: $S = \left(\frac{7}{2}\right)^2 = \frac{7^2}{2^2} = \frac{49}{4} = 12\frac{1}{4}$ см².
Ответ: $P=14$ см, $S=12\frac{1}{4}$ см².

е) При $a = 2\frac{3}{4}$ см:
Представим смешанное число в виде неправильной дроби: $a = 2\frac{3}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{11}{4}$ см.
Периметр: $P = 4 \cdot \frac{11}{4} = 11$ см.
Площадь: $S = \left(\frac{11}{4}\right)^2 = \frac{11^2}{4^2} = \frac{121}{16} = 7\frac{9}{16}$ см².
Ответ: $P=11$ см, $S=7\frac{9}{16}$ см².