Страница 136 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

686. Какие две фигуры называют симметричными относительно прямой $a$?

Две фигуры называют симметричными относительно прямой $a$, если каждая точка одной фигуры симметрична некоторой точке другой фигуры относительно прямой $a$, и наоборот. Это означает, что при преобразовании симметрии (зеркальном отражении) относительно прямой $a$ одна фигура полностью совпадает с другой. Прямая $a$ в таком случае называется осью симметрии.

Более строго, для двух фигур $F_1$ и $F_2$ это условие выполняется, если для любой точки $M$, принадлежащей фигуре $F_1$, симметричная ей точка $M'$ относительно прямой $a$ принадлежит фигуре $F_2$, и для любой точки $N$, принадлежащей фигуре $F_2$, симметричная ей точка $N'$ относительно прямой $a$ принадлежит фигуре $F_1$.

Напомним, что точка $M'$ называется симметричной точке $M$ относительно прямой $a$, если прямая $a$ является серединным перпендикуляром к отрезку $MM'$.

Ответ: Две фигуры называют симметричными относительно прямой $a$, если для каждой точки одной фигуры точка, симметричная ей относительно прямой $a$, принадлежит другой фигуре, и наоборот.

687. По рисунку 79 определите, какая точка симметрична относительно прямой $a$ точке:
а) $A$;
б) $B$;
в) $C$;
г) $D$;
д) $M$.

686.

Две фигуры называют симметричными относительно прямой $a$, если для каждой точки одной фигуры точка, симметричная ей относительно прямой $a$, принадлежит другой фигуре, и наоборот. Иными словами, если одну фигуру можно получить из другой преобразованием симметрии (зеркальным отражением) относительно прямой $a$. Интуитивно это можно представить так: если мысленно согнуть плоскость чертежа по прямой $a$, то симметричные фигуры полностью совпадут.

Ответ: Две фигуры называют симметричными относительно прямой, если они совмещаются при перегибании плоскости по этой прямой.

687.

Чтобы по рисунку найти точку, симметричную данной точке относительно прямой $a$, нужно определить расстояние от данной точки до прямой $a$ вдоль перпендикуляра к этой прямой, а затем отложить такое же расстояние по тому же перпендикуляру, но в другую сторону от прямой $a$. Если точка лежит на самой прямой $a$, то она симметрична самой себе.

а) Точка $A$ находится слева от прямой $a$ на расстоянии двух клеток. Чтобы найти симметричную ей точку, нужно отсчитать две клетки вправо от прямой $a$ по той же горизонтальной линии. В этой позиции находится точка $D$.

Ответ: Точка $D$.

б) Точка $B$ находится слева от прямой $a$ на расстоянии двух клеток. Симметричная ей точка должна находиться справа от прямой $a$ на том же расстоянии. Отсчитав две клетки вправо от прямой $a$ по той же горизонтали, мы находим точку $C$.

Ответ: Точка $C$.

в) Точка $C$ находится справа от прямой $a$ на расстоянии двух клеток. Симметричная ей точка будет находиться слева от прямой $a$ на том же расстоянии. Это точка $B$.

Ответ: Точка $B$.

г) Точка $D$ находится справа от прямой $a$ на расстоянии двух клеток. Симметричная ей точка будет находиться слева от прямой $a$ на том же расстоянии. Это точка $A$.

Ответ: Точка $A$.

д) Точка $M$ лежит на прямой $a$. Любая точка, принадлежащая оси симметрии, симметрична самой себе.

Ответ: Точка $M$.

688. По рисунку 79 определите, какой отрезок симметричен относительно прямой $a$ отрезку:

Рис. 79

а) $AB$;

б) $BM$;

в) $BC$;

г) $CD$;

д) $AN$;

е) $ND$;

ж) $AD$.

Для решения этой задачи необходимо применить понятие осевой симметрии. Отрезок, симметричный другому отрезку относительно некоторой прямой (оси симметрии), является отрезком, концы которого симметричны концам исходного отрезка относительно той же прямой.

На рисунке 79 изображена фигура, обладающая симметрией относительно прямой a. Судя по обозначениям, это, скорее всего, равнобедренная трапеция ABCD, где прямая a является её осью симметрии. Это означает, что при отражении относительно прямой a фигура отображается сама на себя. Точки M и N лежат на оси симметрии a.

Исходя из свойств симметрии для данной фигуры:

• Точка A симметрична точке D ($A \leftrightarrow D$).
• Точка B симметрична точке C ($B \leftrightarrow C$).
• Точки M и N, как лежащие на оси симметрии, симметричны сами себе ($M \leftrightarrow M$, $N \leftrightarrow N$).

Используя эти соответствия, определим симметричные отрезки.

а) Для отрезка AB: конец A симметричен точке D, а конец B симметричен точке C. Следовательно, отрезок, симметричный отрезку AB, — это отрезок DC.
Ответ: DC.

б) Для отрезка BM: конец B симметричен точке C, а точка M (лежащая на оси симметрии) симметрична сама себе. Следовательно, отрезок, симметричный отрезку BM, — это отрезок CM.
Ответ: CM.

в) Для отрезка BC: конец B симметричен точке C, а конец C симметричен точке B. Следовательно, отрезок, симметричный отрезку BC, — это отрезок CB (отрезок отображается на себя).
Ответ: CB.

г) Для отрезка CD: конец C симметричен точке B, а конец D симметричен точке A. Следовательно, отрезок, симметричный отрезку CD, — это отрезок BA.
Ответ: BA.

д) Для отрезка AN: конец A симметричен точке D, а точка N (лежащая на оси симметрии) симметрична сама себе. Следовательно, отрезок, симметричный отрезку AN, — это отрезок DN.
Ответ: DN.

е) Для отрезка ND: точка N симметрична сама себе, а конец D симметричен точке A. Следовательно, отрезок, симметричный отрезку ND, — это отрезок NA.
Ответ: NA.

ж) Для отрезка AD: конец A симметричен точке D, а конец D симметричен точке A. Следовательно, отрезок, симметричный отрезку AD, — это отрезок DA (отрезок отображается на себя).
Ответ: DA.

689. Какой фигуре симметричен относительно прямой $a$ (рис. 79) прямоугольник:

а) $ABMN$;

б) $MCDN$;

в) $ABCD$.

Рис. 79

а) ABMN

Чтобы найти фигуру, симметричную прямоугольнику $ABMN$ относительно прямой $a$, нужно найти симметричные точки для каждой из его вершин.

1. Точки $M$ и $N$ лежат на прямой $a$, поэтому при симметрии они отображаются сами в себя.

2. Точка $A$ находится на расстоянии двух клеток слева от прямой $a$. Симметричная ей точка будет находиться на расстоянии двух клеток справа от прямой $a$ на той же горизонтали, это точка $D$.

3. Точка $B$ находится на расстоянии двух клеток слева от прямой $a$. Симметричная ей точка будет находиться на расстоянии двух клеток справа от прямой $a$ на той же горизонтали, это точка $C$.

Таким образом, прямоугольник $ABMN$ симметричен прямоугольнику, образованному вершинами $D, C, M, N$. Это прямоугольник $MCDN$.

Ответ: Прямоугольник $MCDN$.

б) MCDN

Чтобы найти фигуру, симметричную прямоугольнику $MCDN$ относительно прямой $a$, найдем симметричные точки для его вершин.

1. Точки $M$ и $N$ лежат на прямой $a$ и симметричны сами себе.

2. Точка $C$ находится на расстоянии двух клеток справа от прямой $a$. Симметричная ей точка — $B$, находящаяся на том же расстоянии слева.

3. Точка $D$ находится на расстоянии двух клеток справа от прямой $a$. Симметричная ей точка — $A$, находящаяся на том же расстоянии слева.

Следовательно, прямоугольник $MCDN$ симметричен прямоугольнику, образованному вершинами $B, A, M, N$. Это прямоугольник $ABMN$.

Ответ: Прямоугольник $ABMN$.

в) ABCD

Прямая $a$ является осью симметрии для прямоугольника $ABCD$. Это означает, что при отражении относительно этой прямой фигура совпадает сама с собой.

Проверим это, отразив вершины относительно прямой $a$: вершина $A$ симметрична вершине $D$ ($A \leftrightarrow D$), а вершина $B$ симметрична вершине $C$ ($B \leftrightarrow C$).

Таким образом, при отражении относительно прямой $a$ левая половина прямоугольника ($ABMN$) переходит в правую ($MCDN$), а правая — в левую. В результате весь прямоугольник $ABCD$ переходит сам в себя.

Ответ: Прямоугольник $ABCD$.

691. Какую фигуру называют симметричной относительно прямой $a$?

Фигуру называют симметричной относительно прямой $a$, если для каждой точки этой фигуры точка, симметричная ей относительно прямой $a$, также принадлежит этой фигуре. Прямая $a$ в этом случае называется осью симметрии фигуры.

Для полного понимания этого определения необходимо уточнить, какие точки считаются симметричными относительно прямой.

Две точки $A$ и $A_1$ называются симметричными относительно прямой $a$, если эта прямая является серединным перпендикуляром отрезка $AA_1$. Это означает, что:

1. Отрезок $AA_1$ перпендикулярен прямой $a$.
2. Точка пересечения отрезка $AA_1$ и прямой $a$ является серединой этого отрезка.

Если точка $B$ принадлежит самой прямой $a$, то она считается симметричной самой себе.

Таким образом, фигура обладает осевой симметрией относительно прямой $a$, если при "отражении" фигуры относительно этой прямой она совпадает сама с собой.

Примеры:

• Равнобедренный треугольник симметричен относительно прямой, содержащей высоту, проведенную к его основанию.
• Окружность симметрична относительно любой прямой, проходящей через ее центр. У нее бесконечно много осей симметрии.
• Прямоугольник имеет две оси симметрии — прямые, проходящие через середины его противоположных сторон.

Ответ: Фигуру называют симметричной относительно прямой $a$, если для каждой точки, принадлежащей этой фигуре, точка, симметричная ей относительно прямой $a$, также принадлежит этой фигуре.

691. Постройте на клетчатой бумаге прямоугольник $4 \times 6$ и все его оси симметрии. Сколько осей симметрии имеет прямоугольник?

Для построения прямоугольника размером $4 \times 6$ на клетчатой бумаге необходимо отложить по горизонтали 6 клеток, а по вертикали — 4 клетки, и соединить вершины. Ось симметрии — это прямая, которая делит фигуру на две зеркально-симметричные части. При сгибании по этой оси две половины фигуры должны полностью совпасть.

У прямоугольника $4 \times 6$ можно провести две оси симметрии:

• Первая ось симметрии — это прямая, проходящая через середины сторон длиной 6 клеток. Она параллельна сторонам длиной 4 клетки.
• Вторая ось симметрии — это прямая, проходящая через середины сторон длиной 4 клетки. Она параллельна сторонам длиной 6 клеток.

Диагонали данного прямоугольника не являются его осями симметрии, так как его стороны не равны ($4 \neq 6$), и он не является квадратом. При сгибании по диагонали его половины не совпадут.

Таким образом, любой прямоугольник, не являющийся квадратом, имеет ровно две оси симметрии.

Ответ: Прямоугольник имеет 2 оси симметрии.

692 Постройте на клетчатой бумаге квадрат $6 \times 6$ и все его оси симметрии. Сколько осей симметрии имеет квадрат?

Постройте на клетчатой бумаге квадрат 6×6 и все его оси симметрии.

Сначала начертим на клетчатой бумаге квадрат со стороной 6 клеток. Ось симметрии — это прямая, которая делит фигуру на две равные части так, что одна часть является зеркальным отражением другой. У квадрата есть 4 оси симметрии:

• Две оси, которые проходят через середины противоположных сторон квадрата. Одна из них — вертикальная, другая — горизонтальная.
• Две оси, которые проходят через противоположные вершины квадрата. Эти оси совпадают с его диагоналями.

На изображении ниже показан квадрат 6×6, на котором красными пунктирными линиями обозначены все его оси симметрии.

Ответ: построение квадрата и его осей симметрии представлено на рисунке.

Сколько осей симметрии имеет квадрат?

Как видно из построения, у квадрата можно провести четыре оси симметрии. Это общее свойство для любого квадрата, независимо от его размера.

Ответ: 4.

693. Постройте окружность с центром $O$ и три её оси симметрии.

Сколько осей симметрии имеет окружность?

Постройте окружность с центром O и три её оси симметрии.
Осью симметрии окружности является любая прямая, проходящая через её центр. Чтобы построить окружность и три её оси симметрии, нужно выполнить следующие шаги:
1. Поставить на плоскости точку и обозначить её $O$. Это будет центр окружности.
2. С помощью циркуля построить окружность с центром в точке $O$.
3. Используя линейку, провести через центр $O$ три произвольные различные прямые. Каждая из этих прямых является диаметром окружности и её осью симметрии.
Таким образом, мы построили окружность и три её оси симметрии.
Ответ: Три оси симметрии окружности – это три любые прямые, проходящие через её центр $O$.

Сколько осей симметрии имеет окружность?
Любая прямая, которая проходит через центр окружности, делит её на две симметричные части. Следовательно, любая такая прямая является осью симметрии. Поскольку через одну точку (центр окружности) можно провести бесконечное множество прямых, то и осей симметрии у окружности бесконечно много.
Ответ: Окружность имеет бесконечное множество осей симметрии.

694. Перерисуйте в тетрадь те буквы алфавита, у которых есть ось симметрии. Для каждой из них укажите число осей симметрии.

АБВГДЕЁЖЗИКЛМНОП
РСТУФХЦЧШЩЪЫЬЭЮЯ

Ось симметрии — это прямая, при зеркальном отражении относительно которой фигура переходит сама в себя. Проанализируем буквы русского алфавита, представленные в задании, на наличие у них осей симметрии, исходя из их стандартного печатного начертания.

• А — имеет одну вертикальную ось симметрии, которая проходит через вершину буквы и середину её горизонтальной перекладины.

  Ответ: 1 ось симметрии.

• В — имеет одну горизонтальную ось симметрии, которая делит букву на две равные части.

  Ответ: 1 ось симметрии.

• Д — имеет одну вертикальную ось симметрии, проходящую через центр "домика".

  Ответ: 1 ось симметрии.

• Е — имеет одну горизонтальную ось симметрии, которая проходит через среднюю горизонтальную черту.

  Ответ: 1 ось симметрии.

• Ё — так же, как и буква 'Е', имеет одну горизонтальную ось симметрии. Две точки над буквой расположены симметрично относительно этой оси.

  Ответ: 1 ось симметрии.

• Ж — имеет две оси симметрии: одну вертикальную и одну горизонтальную, проходящие через центр буквы.

  Ответ: 2 оси симметрии.

• З — имеет одну горизонтальную ось симметрии, которая делит букву на две зеркально отраженные части.

  Ответ: 1 ось симметрии.

• К — имеет одну горизонтальную ось симметрии, проходящую через узел, где соединяются все три линии.

  Ответ: 1 ось симметрии.

• Л — в начертании, похожем на перевернутую латинскую 'V', имеет одну вертикальную ось симметрии.

  Ответ: 1 ось симметрии.

• М — имеет одну вертикальную ось симметрии, проходящую ровно посередине буквы.

  Ответ: 1 ось симметрии.

• Н — имеет две оси симметрии: вертикальную и горизонтальную, проходящие через центр горизонтальной перемычки.

  Ответ: 2 оси симметрии.

• О — в стандартном начертании (овал) имеет две оси симметрии: вертикальную и горизонтальную. Если бы буква была идеальным кругом, у неё было бы бесконечное множество осей.

  Ответ: 2 оси симметрии.

• П — имеет одну вертикальную ось симметрии, проходящую через середину верхней перекладины.

  Ответ: 1 ось симметрии.

• С — имеет одну горизонтальную ось симметрии, которая делит букву пополам.

  Ответ: 1 ось симметрии.

• Т — имеет одну вертикальную ось симметрии, проходящую через середину горизонтальной черты.

  Ответ: 1 ось симметрии.

• Ф — имеет две оси симметрии: вертикальную и горизонтальную, проходящие через центр буквы.

  Ответ: 2 оси симметрии.

• Х — имеет четыре оси симметрии: одну вертикальную, одну горизонтальную и две диагональные, которые проходят через точку пересечения линий.

  Ответ: 4 оси симметрии.

• Ш — имеет одну вертикальную ось симметрии, проходящую через среднюю вертикальную линию.

  Ответ: 1 ось симметрии.

• Э — имеет одну горизонтальную ось симметрии, делящую букву на две зеркальные части.

  Ответ: 1 ось симметрии.

• Ю — имеет одну горизонтальную ось симметрии, проходящую через центр "кольца" и перемычки.

  Ответ: 1 ось симметрии.

Буквы Б, Г, И, Р, У, Ц, Ч, Щ, Ъ, Ы, Ь, Я не имеют осей симметрии.

695. Нарисуйте в тетради фигуру, имеющую:

а) одну ось симметрии;

б) две оси симметрии.

а) одну ось симметрии

Ось симметрии — это воображаемая линия, которая делит геометрическую фигуру на две равные, зеркально отраженные части. При сгибании фигуры по этой линии одна половина точно наложится на другую.

Примером фигуры с одной осью симметрии может служить равнобедренный треугольник (у которого равны две стороны). Его единственная ось симметрии проходит через вершину, лежащую между равными сторонами, и середину основания.

Другие примеры: равнобокая трапеция, воздушный змей (дельтоид), полукруг.

Ответ: Равнобедренный треугольник.

б) две оси симметрии

Фигура имеет две оси симметрии, если существуют две различные прямые, каждая из которых делит фигуру на две зеркально-симметричные части.

Примером такой фигуры является прямоугольник (не являющийся квадратом). Его оси симметрии проходят через середины противоположных сторон. Эти оси взаимно перпендикулярны.

Другие примеры: ромб (не являющийся квадратом), эллипс.

Ответ: Прямоугольник.

696. Перегните лист бумаги пополам, вырежите ножницами какую-нибудь фигуру, имеющую ось симметрии.

Это задание основано на свойстве осевой симметрии. Ось симметрии — это воображаемая прямая, которая делит геометрическую фигуру на две зеркально равные части. В данном случае, если сложить лист бумаги пополам, то линия сгиба и станет осью симметрии для фигуры, которую мы вырежем. Любой разрез, сделанный на сложенном вдвое листе, будет зеркально повторён на второй его половине.

Чтобы выполнить задание, следуйте этим шагам:
1. Возьмите обычный лист бумаги (например, формата А4).
2. Сложите его ровно пополам, совмещая противоположные края. Тщательно прогладьте линию сгиба. Эта линия будет осью симметрии будущей фигуры.
3. На одной из половин сложенного листа нарисуйте контур половины желаемой фигуры. Например, если вы хотите вырезать сердце, нарисуйте его половину так, чтобы линия симметрии сердца совпадала с линией сгиба бумаги.
4. Не разворачивая лист, аккуратно вырежьте ножницами по нарисованному контуру.
5. Разверните вырезанную часть.

В результате вы получите целую фигуру (например, сердце), которая будет идеально симметричной относительно линии сгиба. Каждая точка на одной половине фигуры будет находиться на таком же расстоянии от линии сгиба, как и соответствующая ей точка на другой половине.

Таким способом можно создать множество фигур, имеющих хотя бы одну ось симметрии: бабочку, ёлку, вазу, кленовый лист, звезду. Если сложить лист не один, а несколько раз (например, для создания снежинки), то у получившейся фигуры будет несколько осей симметрии.

Ответ: Чтобы вырезать фигуру с осью симметрии, необходимо сложить лист бумаги пополам, нарисовать на одной из сторон половину желаемого объекта так, чтобы его центральная часть прилегала к сгибу, и вырезать по этому контуру. После разворачивания получится целая симметричная фигура, осью симметрии которой будет являться линия сгиба.

697. Перегните лист бумаги, как показано на рисунке 80. Из полученного треугольника вырежите выделенные цветом части. Сколько осей симметрии имеет полученная «снежинка»?

Рис. 80

Проанализируем процесс изготовления «снежинки», показанный на рисунке. Он включает в себя три последовательных сгибания листа бумаги и вырезание узора из сложенной заготовки.

Каждая линия, по которой сгибалась бумага, при разворачивании становится осью симметрии для итоговой фигуры. Это происходит потому, что операция разворачивания эквивалентна зеркальному отражению вырезанного узора относительно линии сгиба.

Давайте определим, какие линии становятся осями симметрии в данном случае, предполагая, что исходный лист был квадратным:

1. Первый сгиб: Бумага сгибается пополам по вертикальной центральной линии. Эта линия станет первой осью симметрии.

2. Второй сгиб: Полученный прямоугольник сгибается пополам по горизонтальной центральной линии. Эта линия станет второй осью симметрии.

3. Третий сгиб: Образовавшийся маленький квадрат сгибается по диагонали. Эта диагональ исходного квадрата станет третьей осью симметрии.

Таким образом, у полученной «снежинки» точно есть три оси симметрии: вертикальная, горизонтальная и одна диагональная. Наличие этих трёх осей симметрии автоматически предполагает наличие и четвёртой. Если фигура симметрична относительно двух перпендикулярных осей (в нашем случае — вертикальной и горизонтальной) и одной из биссектрис углов между ними (диагонали), то она будет симметрична и относительно второй биссектрисы (второй диагонали). Совокупность этих преобразований образует группу симметрий квадрата.

Следовательно, у полученной «снежинки» будет 4 оси симметрии, как и у квадрата: две, проходящие через середины противоположных сторон, и две диагонали.

Ответ: 4