Страница 141 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

722. Имея полный бак топлива, рыбак может проплыть на моторной лодке 20 км против течения или 30 км по течению реки. На какое наибольшее расстояние он может отплыть по реке при условии, что топлива должно хватить и на обратный путь? Движение с выключенным мотором не рассматривается.

Решение:

Обозначим полный бак топлива как 1 условную единицу. Из условия задачи следует, что на 1 км пути против течения лодка расходует $\frac{1}{20}$ часть бака. А на 1 км пути по течению лодка расходует $\frac{1}{30}$ часть бака.

Пусть $x$ км — это наибольшее расстояние, на которое рыбак может отплыть, чтобы топлива хватило и на обратный путь. Путь туда и обратно составит $x$ км в одну сторону и $x$ км в другую. Один из этих путей будет по течению, а другой — против течения. Суммарный расход топлива на весь путь (туда и обратно) не должен превышать объем полного бака, то есть 1.

Составим уравнение, где сложим расход топлива на путь по течению и на путь против течения.

Расход топлива на $x$ км по течению: $x \cdot \frac{1}{30} = \frac{x}{30}$ бака.
Расход топлива на $x$ км против течения: $x \cdot \frac{1}{20} = \frac{x}{20}$ бака.

Суммарный расход: $\frac{x}{30} + \frac{x}{20} = 1$

Приведем дроби к общему знаменателю 60: $\frac{2x}{60} + \frac{3x}{60} = 1$

$\frac{5x}{60} = 1$

Упростим дробь: $\frac{x}{12} = 1$

Отсюда находим $x$: $x = 12$ км.

Таким образом, наибольшее расстояние, на которое может отплыть рыбак, составляет 12 км.

Ответ: 12 км.

723. Остап купил 4 новых колеса для своего автомобиля. Он знает, что передние колёса автомобиля изнашиваются через 12 тыс. км пробега, а задние — через 8 тыс. км пробега. Какой наибольший путь может проехать автомобиль, если Остап догадается вовремя поменять задние колёса с передними?

Для решения задачи определим скорость износа колес. Будем считать, что ресурс нового колеса равен 1. Когда колесо полностью изнашивается, его ресурс становится равен 0.

За 1 км пробега на передней оси колесо теряет $\frac{1}{12000}$ своего ресурса.
За 1 км пробега на задней оси колесо теряет $\frac{1}{8000}$ своего ресурса.

У Остапа есть 4 новых колеса, их общий ресурс составляет $4 \times 1 = 4$ единицы. Чтобы проехать максимально возможный путь, необходимо, чтобы к концу пути все 4 колеса износились одновременно, то есть чтобы их суммарный ресурс был полностью исчерпан.

Пусть $S$ — искомый максимальный путь в километрах. На протяжении всего этого пути на автомобиле всегда установлены 2 колеса на передней оси и 2 колеса на задней.

Суммарный износ, который "создает" передняя ось за весь пробег $S$, равен:
$2 \text{ (колеса)} \times S \text{ (км)} \times \frac{1}{12000 \text{ (км)}} = \frac{2S}{12000} = \frac{S}{6000}$ единиц ресурса.

Суммарный износ, который "создает" задняя ось за весь пробег $S$, равен:
$2 \text{ (колеса)} \times S \text{ (км)} \times \frac{1}{8000 \text{ (км)}} = \frac{2S}{8000} = \frac{S}{4000}$ единиц ресурса.

Общий износ, который должны "впитать" в себя все 4 колеса, является суммой износа от передней и задней осей. Этот общий износ должен быть равен общему ресурсу четырех колес, то есть 4.
Составим уравнение:
$\frac{S}{6000} + \frac{S}{4000} = 4$

Для решения уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 6000 и 4000 — это 12000.
$\frac{2S}{12000} + \frac{3S}{12000} = 4$
$\frac{5S}{12000} = 4$

Теперь найдем $S$:
$5S = 4 \times 12000$
$5S = 48000$
$S = \frac{48000}{5} = 9600$

Таким образом, максимальный путь, который может проехать автомобиль, составляет 9600 км. Это достигается при своевременной перестановке колес, которая позволяет равномерно распределить общий износ между всеми четырьмя колесами.

Ответ: 9600 км.