Страница 148 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

752. Расположите дроби в порядке возрастания:

a) $0.8$; $1.17$; $0.789$; $1.7$;

б) $3.5$; $0.35$; $3.35$; $0.335$.

а) Чтобы расположить десятичные дроби в порядке возрастания, необходимо их сравнить. Сравнение начинается с целой части (цифры до запятой).

Даны дроби: 0,8; 1,17; 0,789; 1,7.

1. Сравним целые части:

• У дробей 0,8 и 0,789 целая часть равна 0.
• У дробей 1,17 и 1,7 целая часть равна 1.

Так как $0 < 1$, то дроби 0,8 и 0,789 меньше, чем дроби 1,17 и 1,7.

2. Теперь сравним дроби с одинаковыми целыми частями.

• Сравним 0,8 и 0,789. Чтобы их сравнить, уравняем количество знаков после запятой, дописав нули: 0,8 = 0,800. Теперь сравним дробные части 800 и 789. Поскольку $789 < 800$, то $0,789 < 0,8$.
• Сравним 1,17 и 1,7. Уравняем количество знаков после запятой: 1,7 = 1,70. Теперь сравним дробные части 17 и 70. Поскольку $17 < 70$, то $1,17 < 1,7$.

3. Собираем все дроби в порядке возрастания: сначала меньшая группа, затем большая. Внутри каждой группы также соблюдаем порядок возрастания. Получаем: $0,789 < 0,8 < 1,17 < 1,7$.

Ответ: 0,789; 0,8; 1,17; 1,7.

б) Расположим в порядке возрастания дроби 3,5; 0,35; 3,35; 0,335.

1. Сравним целые части:

• У дробей 0,35 и 0,335 целая часть равна 0.
• У дробей 3,5 и 3,35 целая часть равна 3.

Так как $0 < 3$, то дроби 0,35 и 0,335 меньше, чем дроби 3,5 и 3,35.

2. Теперь сравним дроби с одинаковыми целыми частями.

• Сравним 0,35 и 0,335. Уравняем количество знаков после запятой: 0,35 = 0,350. Сравниваем дробные части 350 и 335. Поскольку $335 < 350$, то $0,335 < 0,35$.
• Сравним 3,5 и 3,35. Уравняем количество знаков после запятой: 3,5 = 3,50. Сравниваем дробные части 50 и 35. Поскольку $35 < 50$, то $3,35 < 3,5$.

3. Собираем все дроби в порядке возрастания: $0,335 < 0,35 < 3,35 < 3,5$.

Ответ: 0,335; 0,35; 3,35; 3,5.

753. Расположите дроби в порядке убывания:

a) 7,4; 6,98; 7,199; 6,899;

б) 0,449; 0,49; 0,5; 0,499.

а) Чтобы расположить дроби в порядке убывания, необходимо сравнить их значения от наибольшего к наименьшему. Сначала сравним целые части чисел: 7,4; 6,98; 7,199; 6,899. Два числа имеют целую часть 7 (7,4 и 7,199), а два — 6 (6,98 и 6,899). Очевидно, что числа с целой частью 7 больше чисел с целой частью 6.

Сравним числа с целой частью 7: 7,4 и 7,199. Для этого уравняем количество знаков после запятой: 7,400 и 7,199. Так как $400 > 199$, то $7,4 > 7,199$.

Теперь сравним числа с целой частью 6: 6,98 и 6,899. Уравняем количество знаков после запятой: 6,980 и 6,899. Так как $980 > 899$, то $6,98 > 6,899$.

Таким образом, располагая все числа в порядке от наибольшего к наименьшему, получаем следующий ряд: 7,4; 7,199; 6,98; 6,899.

Ответ: 7,4; 7,199; 6,98; 6,899.

б) Рассмотрим дроби: 0,449; 0,49; 0,5; 0,499. У всех этих дробей целая часть равна 0. Поэтому для сравнения нам нужно смотреть на их дробные части. Чтобы упростить сравнение, приведем все дроби к одинаковому количеству знаков после запятой. Максимальное количество знаков — три, поэтому приведем все дроби к трем знакам после запятой:

• $0,449$
• $0,49 = 0,490$
• $0,5 = 0,500$
• $0,499$

Теперь сравним полученные дробные части как целые числа: 449, 490, 500 и 499. В порядке убывания они располагаются так: $500 > 499 > 490 > 449$.

Соответственно, исходные дроби в порядке убывания будут: 0,5; 0,499; 0,49; 0,449.

Ответ: 0,5; 0,499; 0,49; 0,449.

754. Изобразите на координатной прямой числа:

a) 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9; 1,0;

б) 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1,0; 1,2; 1,4; 1,6; 1,8; 2,0.

а) Чтобы изобразить данные числа на координатной прямой, начертим прямую, выберем на ней начало отсчета (точку, соответствующую числу 0), единичный отрезок и положительное направление (обозначается стрелкой). Для удобства возьмем единичный отрезок (расстояние от 0 до 1) достаточно большим, чтобы его можно было легко разделить на 10 равных частей. Каждая такая часть будет соответствовать шагу в $0,1$. Последовательно откладывая от точки 0 эти части, мы получим точки, соответствующие числам 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9; 1,0.

Ответ:

б) Аналогично предыдущему пункту, начертим координатную прямую с началом отсчета, единичным отрезком и направлением. В этом случае числа идут с шагом $0,2$. Это означает, что расстояние между соседними точками на прямой равно $0,2$ единичного отрезка. Удобно будет разделить единичный отрезок (например, от 0 до 1) на 5 равных частей, где каждая часть равна $0,2$, так как $1 : 5 = 0,2$. Отметим на прямой точки, соответствующие заданным числам от 0,2 до 2,0.

Ответ:

755. В каком порядке (слева направо) на координатной прямой расположены точки:

a) $A(1.2)$, $B(0.2)$, $C(1.13)$;

б) $M(7.48)$, $N(4.78)$, $K(7.8)$?

Чтобы расположить точки на координатной прямой в порядке слева направо, необходимо сравнить их координаты и расположить их в порядке возрастания.

а) Даны точки A(1,2), B(0,2), C(1,13).

Координаты точек:

• A: $1,2$
• B: $0,2$
• C: $1,13$

Сравним эти три десятичные дроби: $1,2$; $0,2$; $1,13$.

1. Начнем с сравнения целых частей. У числа $0,2$ целая часть равна $0$, а у чисел $1,2$ и $1,13$ целая часть равна $1$. Так как $0 < 1$, то $0,2$ является наименьшим числом. Следовательно, точка B будет самой левой на координатной прямой.

2. Теперь сравним числа $1,2$ и $1,13$. Их целые части одинаковы. Переходим к сравнению дробных частей, начиная с разряда десятых.В числе $1,2$ в разряде десятых стоит цифра $2$.В числе $1,13$ в разряде десятых стоит цифра $1$.Поскольку $1 < 2$, то $1,13 < 1,2$.

3. Таким образом, располагаем координаты в порядке возрастания: $0,2 < 1,13 < 1,2$.

Соответственно, точки на координатной прямой располагаются в следующем порядке: B, C, A.

Ответ: B, C, A.

б) Даны точки M(7,48), N(4,78), K(7,8).

Координаты точек:

• M: $7,48$
• N: $4,78$
• K: $7,8$

Сравним эти три десятичные дроби: $7,48$; $4,78$; $7,8$.

1. Сравним целые части чисел. У числа $4,78$ целая часть равна $4$, а у чисел $7,48$ и $7,8$ целая часть равна $7$. Так как $4 < 7$, то $4,78$ является наименьшим числом. Значит, точка N будет самой левой.

2. Теперь сравним числа $7,48$ и $7,8$. Их целые части равны. Сравним их дробные части по разрядам, начиная с десятых.В числе $7,48$ в разряде десятых стоит цифра $4$.В числе $7,8$ в разряде десятых стоит цифра $8$.Поскольку $4 < 8$, то $7,48 < 7,8$.

3. Таким образом, располагаем координаты в порядке возрастания: $4,78 < 7,48 < 7,8$.

Соответственно, точки на координатной прямой располагаются в следующем порядке: N, M, K.

Ответ: N, M, K.

756. Запишите величины с помощью десятичных дробей и сравните их:

а) $7 \text{ кг } 485 \text{ г}$ и $6 \text{ кг } 90 \text{ г}$;

б) $5 \text{ м } 48 \text{ см}$ и $5 \text{ м } 40 \text{ см}$;

в) $7 \text{ км } 740 \text{ м}$ и $7 \text{ км } 74 \text{ м}$;

г) $8 \text{ т } 5 \text{ кг}$ и $8 \text{ т } 500 \text{ кг}$.

а) 7 кг 485 г и 6 кг 90 г

Чтобы сравнить эти величины, сначала представим их в виде десятичных дробей в килограммах. В одном килограмме 1000 граммов, поэтому 1 грамм — это $0.001$ кг.

7 кг 485 г = $7 + \frac{485}{1000}$ кг = $7.485$ кг.

6 кг 90 г = $6 + \frac{90}{1000}$ кг = $6.090$ кг = $6.09$ кг.

Теперь сравним полученные десятичные дроби: $7.485$ и $6.09$. Поскольку целая часть первой дроби (7) больше целой части второй дроби (6), то $7.485 > 6.09$.

Ответ: 7 кг 485 г > 6 кг 90 г.

б) 5 м 48 см и 5 м 40 см

Представим величины в виде десятичных дробей в метрах. В одном метре 100 сантиметров, поэтому 1 сантиметр — это $0.01$ м.

5 м 48 см = $5 + \frac{48}{100}$ м = $5.48$ м.

5 м 40 см = $5 + \frac{40}{100}$ м = $5.40$ м = $5.4$ м.

Сравним дроби $5.48$ и $5.40$. Целые части и десятые доли у них одинаковы. Сравним сотые доли: $8 > 0$. Следовательно, $5.48 > 5.40$.

Ответ: 5 м 48 см > 5 м 40 см.

в) 7 км 740 м и 7 км 74 м

Представим величины в виде десятичных дробей в километрах. В одном километре 1000 метров, поэтому 1 метр — это $0.001$ км.

7 км 740 м = $7 + \frac{740}{1000}$ км = $7.740$ км = $7.74$ км.

7 км 74 м = $7 + \frac{74}{1000}$ км = $7.074$ км.

Сравним дроби $7.74$ и $7.074$. Целые части равны. Сравним десятые доли: $7 > 0$. Следовательно, $7.74 > 7.074$.

Ответ: 7 км 740 м > 7 км 74 м.

г) 8 т 5 кг и 8 т 500 кг

Представим величины в виде десятичных дробей в тоннах. В одной тонне 1000 килограммов, поэтому 1 килограмм — это $0.001$ т.

8 т 5 кг = $8 + \frac{5}{1000}$ т = $8.005$ т.

8 т 500 кг = $8 + \frac{500}{1000}$ т = $8.500$ т = $8.5$ т.

Сравним дроби $8.005$ и $8.5$. Целые части равны. Сравним десятые доли: $0 < 5$. Следовательно, $8.005 < 8.5$.

Ответ: 8 т 5 кг < 8 т 500 кг.

757. Запишите в метрах и сантиметрах:

а) 6,79 м; 12,48 м; 16,06 м;

б) 19,01 м; 7,40 м; 7,4 м; 8,1 м.

Для того чтобы записать величину, выраженную в метрах в виде десятичной дроби, в метрах и сантиметрах, необходимо помнить, что в одном метре $100$ сантиметров ($1 \text{ м} = 100 \text{ см}$). Целая часть десятичной дроби показывает количество метров, а дробная часть, умноженная на $100$, — количество сантиметров.

а)

• $6,79 \text{ м}$: целая часть равна $6$ (это $6$ м), дробная часть $0,79$. Чтобы найти сантиметры, умножаем дробную часть на $100$: $0,79 \cdot 100 = 79$ см. Таким образом, $6,79 \text{ м} = 6 \text{ м } 79 \text{ см}$.

• $12,48 \text{ м}$: целая часть равна $12$ (это $12$ м), дробная часть $0,48$. $0,48 \cdot 100 = 48$ см. Таким образом, $12,48 \text{ м} = 12 \text{ м } 48 \text{ см}$.

• $16,06 \text{ м}$: целая часть равна $16$ (это $16$ м), дробная часть $0,06$. $0,06 \cdot 100 = 6$ см. Таким образом, $16,06 \text{ м} = 16 \text{ м } 6 \text{ см}$.

Ответ: $6$ м $79$ см; $12$ м $48$ см; $16$ м $6$ см.

б)

• $19,01 \text{ м}$: целая часть равна $19$ (это $19$ м), дробная часть $0,01$. $0,01 \cdot 100 = 1$ см. Таким образом, $19,01 \text{ м} = 19 \text{ м } 1 \text{ см}$.

• $7,40 \text{ м}$: целая часть равна $7$ (это $7$ м), дробная часть $0,40$. $0,40 \cdot 100 = 40$ см. Таким образом, $7,40 \text{ м} = 7 \text{ м } 40 \text{ см}$.

• $7,4 \text{ м}$: запись $7,4$ эквивалентна $7,40$. Целая часть равна $7$ (это $7$ м), дробная часть $0,4$. $0,4 \cdot 100 = 40$ см. Таким образом, $7,4 \text{ м} = 7 \text{ м } 40 \text{ см}$.

• $8,1 \text{ м}$: запись $8,1$ эквивалентна $8,10$. Целая часть равна $8$ (это $8$ м), дробная часть $0,1$. $0,1 \cdot 100 = 10$ см. Таким образом, $8,1 \text{ м} = 8 \text{ м } 10 \text{ см}$.

Ответ: $19$ м $1$ см; $7$ м $40$ см; $7$ м $40$ см; $8$ м $10$ см.

758. Запишите в тоннах и килограммах:

a) $3,569 \text{ т}$; $6,760 \text{ т}$; $6,070 \text{ т}$;

б) $6,007 \text{ т}$; $4,480 \text{ т}$; $4,48 \text{ т}$; $9,4 \text{ т}$.

Для того чтобы записать величину, выраженную в тоннах в виде десятичной дроби, в тоннах и килограммах, необходимо использовать соотношение: $1 \text{ тонна} = 1000 \text{ килограммов}$.

Целая часть десятичной дроби показывает количество полных тонн. Дробная часть показывает долю тонны. Чтобы преобразовать эту долю в килограммы, нужно умножить дробную часть на 1000.

а)

$3,569 \text{ т}$: Целая часть равна 3, это 3 тонны. Дробная часть 0,569. Переводим в килограммы: $0,569 \times 1000 = 569 \text{ кг}$. Получаем 3 т 569 кг.
$6,760 \text{ т}$: Целая часть равна 6, это 6 тонн. Дробная часть 0,760. Переводим в килограммы: $0,760 \times 1000 = 760 \text{ кг}$. Получаем 6 т 760 кг.
$6,070 \text{ т}$: Целая часть равна 6, это 6 тонн. Дробная часть 0,070. Переводим в килограммы: $0,070 \times 1000 = 70 \text{ кг}$. Получаем 6 т 70 кг.
Ответ: 3 т 569 кг; 6 т 760 кг; 6 т 70 кг.

б)

$6,007 \text{ т}$: Целая часть равна 6, это 6 тонн. Дробная часть 0,007. Переводим в килограммы: $0,007 \times 1000 = 7 \text{ кг}$. Получаем 6 т 7 кг.
$4,480 \text{ т}$: Целая часть равна 4, это 4 тонны. Дробная часть 0,480. Переводим в килограммы: $0,480 \times 1000 = 480 \text{ кг}$. Получаем 4 т 480 кг.
$4,48 \text{ т}$: Это то же самое, что и 4,480 т. Целая часть равна 4, это 4 тонны. Дробная часть 0,48. Переводим в килограммы: $0,48 \times 1000 = 480 \text{ кг}$. Получаем 4 т 480 кг.
$9,4 \text{ т}$: Это то же самое, что и 9,400 т. Целая часть равна 9, это 9 тонн. Дробная часть 0,4. Переводим в килограммы: $0,4 \times 1000 = 400 \text{ кг}$. Получаем 9 т 400 кг.
Ответ: 6 т 7 кг; 4 т 480 кг; 4 т 480 кг; 9 т 400 кг.