Страница 139 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

709. Среди математиков каждый седьмой — философ, а среди философов каждый девятый — математик. Кого больше: философов или математиков?

Для решения этой задачи введем обозначения. Пусть $M$ — это общее количество математиков, а $F$ — это общее количество философов. Количество людей, которые являются одновременно и математиками, и философами, обозначим как $X$.

Согласно первому условию, среди математиков каждый седьмой — философ. Это означает, что число людей, обладающих обеими специальностями, составляет одну седьмую от общего числа математиков. Мы можем записать это в виде формулы: $X = \frac{1}{7}M$

Согласно второму условию, среди философов каждый девятый — математик. Это означает, что то же самое число людей (обладающих обеими специальностями) составляет одну девятую от общего числа философов. Запишем это в виде формулы: $X = \frac{1}{9}F$

Так как левые части обоих уравнений равны ($X$), мы можем приравнять и правые части: $\frac{1}{7}M = \frac{1}{9}F$

Теперь нам нужно сравнить величины $M$ и $F$. Для этого можно выразить одну переменную через другую. Умножим обе части уравнения на 63 (наименьшее общее кратное чисел 7 и 9), чтобы избавиться от дробей: $63 \cdot \frac{1}{7}M = 63 \cdot \frac{1}{9}F$ $9M = 7F$

Из этого равенства выразим, например, $F$ через $M$: $F = \frac{9}{7}M$

Поскольку дробь $\frac{9}{7}$ больше единицы, мы видим, что число философов $F$ больше числа математиков $M$.

Ответ: философов больше, чем математиков.

710. Восемь подружек решили обменяться фотографиями так, чтобы у каждой из них оказались фотографии остальных подруг. Сколько фотографий для этого потребуется?

В задаче говорится о восьми подругах. Каждая из них должна обменяться фотографиями со всеми остальными. Это означает, что каждая подруга должна дать свою фотографию каждой из своих подруг.

Рассмотрим одну из подруг. У нее есть 7 других подруг, так как всего их 8, и саму себя она не считает. Чтобы каждая из этих 7 подруг получила ее фотографию, она должна подготовить 7 своих фотографий.

Поскольку всего подруг 8, и каждая из них должна приготовить по 7 фотографий для обмена, общее количество требуемых фотографий можно найти, умножив количество подруг на количество фотографий, которое готовит каждая.

Математически это можно записать так: $8 \times (8 - 1) = 8 \times 7 = 56$.

Следовательно, для того чтобы все подруги обменялись фотографиями, потребуется 56 штук.

Ответ: 56.

711. В нашем классе каждая девочка дружит ровно с тремя мальчиками, а каждый мальчик дружит ровно с двумя девочками. Сколько учащихся в нашем классе, если мальчиков на 5 больше, чем девочек?

Для решения задачи введем переменные, обозначающие количество девочек и мальчиков в классе.

Пусть $Д$ — это количество девочек в классе.

Пусть $М$ — это количество мальчиков в классе.

Согласно условию, мальчиков в классе на 5 больше, чем девочек. Это можно выразить уравнением:

$М = Д + 5$

Далее, рассмотрим общее количество "дружеских связей" между девочками и мальчиками. Это количество можно вычислить двумя способами.

1. С точки зрения девочек: каждая из $Д$ девочек дружит ровно с тремя мальчиками. Следовательно, общее количество дружеских связей равно $3 \times Д$.

2. С точки зрения мальчиков: каждый из $М$ мальчиков дружит ровно с двумя девочками. Следовательно, общее количество дружеских связей равно $2 \times М$.

Поскольку оба выражения описывают одно и то же общее количество связей, мы можем их приравнять:

$3 \times Д = 2 \times М$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

1) $М = Д + 5$

2) $3Д = 2М$

Подставим выражение для $М$ из первого уравнения во второе, чтобы найти количество девочек $Д$:

$3Д = 2 \times (Д + 5)$

Раскроем скобки:

$3Д = 2Д + 10$

Перенесем слагаемые с $Д$ в одну сторону:

$3Д - 2Д = 10$

$Д = 10$

Таким образом, в классе 10 девочек.

Теперь найдем количество мальчиков $М$, используя первое уравнение:

$М = 10 + 5$

$М = 15$

В классе 15 мальчиков.

Чтобы найти общее количество учащихся в классе, сложим количество девочек и мальчиков:

Всего учащихся = $Д + М = 10 + 15 = 25$

Ответ: 25 учащихся.

712. В первенстве по футболу принимают участие 8 команд. Каждая команда играет с каждой по одному разу. За выигрыш команда получает 2 очка, за ничью — 1 очко, за проигрыш — 0 очков. Какая наибольшая и какая наименьшая разница очков может быть между первым и последним местом, если известно, что первое место заняла одна команда и последнее место заняла одна команда?

Всего в первенстве участвует 8 команд. Каждая команда играет с 7 другими командами по одному разу.

Очки начисляются следующим образом:

• Победа: 2 очка
• Ничья: 1 очко
• Поражение: 0 очков

В каждом матче разыгрывается ровно 2 очка (либо 2+0, либо 1+1). Общее количество матчей в турнире равно числу сочетаний из 8 по 2: $C_8^2 = \frac{8 \times 7}{2} = 28$.
Следовательно, общая сумма очков всех команд в конце первенства всегда будет постоянной и равна $28 \times 2 = 56$ очков.

Какая наибольшая разница очков может быть между первым и последним местом

Чтобы разница была наибольшей, команда, занявшая первое место, должна набрать максимальное количество очков, а команда, занявшая последнее место, — минимальное.

1. Максимальное количество очков для победителя.
Команда-победитель играет 7 матчей. Максимальное число очков она получит, если выиграет все свои матчи. В этом случае ее результат будет $7 \times 2 = 14$ очков. Поскольку все остальные команды проиграют ей хотя бы один матч, ни одна из них не сможет набрать 14 очков. Таким образом, условие, что первое место заняла одна команда, выполняется.

2. Минимальное количество очков для аутсайдера.
Команда, занявшая последнее место, играет 7 матчей. Минимальное число очков она получит, если проиграет все свои матчи. В этом случае ее результат будет $7 \times 0 = 0$ очков. Поскольку все остальные команды выиграют у нее хотя бы один матч, каждая из них наберет как минимум 2 очка. Таким образом, условие, что последнее место заняла одна команда, выполняется.

Такой сценарий возможен: команда-лидер выигрывает у всех, а команда-аутсайдер проигрывает всем. Результаты матчей между остальными 6 командами не влияют на очки лидера и аутсайдера. Наибольшая разница очков будет равна разнице между максимальным и минимальным возможными результатами.

Наибольшая разница: $14 - 0 = 14$ очков.

Ответ: 14

Какая наименьшая разница очков может быть между первым и последним местом

Чтобы разница была наименьшей, очки всех команд должны быть как можно ближе друг к другу. Обозначим очки команд, отсортированные по убыванию, как $S_1, S_2, \ldots, S_8$. По условию, у нас есть единоличный победитель и единоличный аутсайдер, что означает:

$S_1 > S_2 \ge S_3 \ge S_4 \ge S_5 \ge S_6 \ge S_7 > S_8$

Так как очки — целые числа, это эквивалентно $S_1 \ge S_2 + 1$ и $S_7 \ge S_8 + 1$.

Рассмотрим, может ли разница $S_1 - S_8$ быть равной 1.
Если $S_1 - S_8 = 1$, то $S_1 = S_8 + 1$. Для любой другой команды с очками $S_i$ (где $i$ от 2 до 7) должно выполняться неравенство $S_8 < S_i < S_1$. Подставив $S_1$, получаем $S_8 < S_i < S_8 + 1$. Так как $S_i$ и $S_8$ — целые числа, между $S_8$ и $S_8 + 1$ не может быть других целых чисел. Следовательно, такой ситуации быть не может, и разница не может быть равна 1.

Рассмотрим, может ли разница $S_1 - S_8$ быть равной 2.
Это возможно, если, например, $S_1 = S_8 + 2$. В этом случае для остальных команд $S_i$ должно выполняться $S_8 < S_i < S_8+2$, что означает $S_i$ может быть равно $S_8 + 1$.
Давайте попробуем составить такой набор очков, чтобы их сумма была равна 56. Пусть очки распределились так:

• $S_1$ (первое место)
• $S_2 = S_3 = S_4 = S_5 = S_6 = S_7$ (промежуточные места)
• $S_8$ (последнее место)

Пусть $S_8 = x$. Тогда $S_2 = \ldots = S_7 = x+1$, а $S_1 = x+2$.
Сумма очков: $S_{total} = S_1 + 6 \times S_2 + S_8 = (x+2) + 6 \times (x+1) + x = 56$.
$x + 2 + 6x + 6 + x = 56$
$8x + 8 = 56$
$8x = 48$
$x = 6$
Таким образом, мы получили возможное распределение очков: $S_1 = 8$, $S_2=\ldots=S_7=7$, $S_8=6$. Оно удовлетворяет условиям единоличного первого и последнего места.

Осталось показать, что такое распределение очков в принципе возможно. Рассмотрим следующую схему игр:

1. Команды $K_2, \ldots, K_7$ (6 команд) играют между собой все матчи вничью. Каждая из них играет 5 таких матчей и получает 5 очков.
2. Команда $K_1$ (лидер) выигрывает у $K_8$ (аутсайдера). $K_1$ получает 2 очка, $K_8$ — 0.
3. Все команды $K_2, \ldots, K_7$ выигрывают у $K_8$ и проигрывают $K_1$. В играх с $K_1$ и $K_8$ каждая из команд $K_2, \ldots, K_7$ получает $2+0=2$ очка. Суммарный результат для каждой из них: $5+2=7$ очков.
4. Остальные матчи (между $K_1$ и $K_2, \ldots, K_7$, а также между $K_8$ и $K_2, \ldots, K_7$) мы уже определили. Давайте посчитаем очки для $K_1$ и $K_8$. $K_1$: выигрывает у 6 команд ($K_2, \ldots, K_7$), но это дает 12 очков, что не 8. Схема неверна.

Построим другой пример. Пусть команды играют по круговой схеме: $K_1$ побеждает $K_2$, $K_2$ побеждает $K_3, \ldots, K_7$ побеждает $K_8$, а $K_8$ побеждает $K_1$. Все остальные матчи (не по этой цепочке) заканчиваются вничью. В такой схеме у каждой команды 1 победа, 1 поражение и 5 ничьих, что дает $1 \times 2 + 1 \times 0 + 5 \times 1 = 7$ очков. Все команды набрали бы по 7 очков.
Теперь изменим результат одного матча, который в этой схеме был ничьей. Например, пусть в матче $K_1 - K_3$ (который был ничьей) теперь побеждает $K_1$.

• Очки $K_1$ изменятся с 7 на $7 - 1 (очко за ничью) + 2 (очка за победу) = 8$ очков.
• Очки $K_3$ изменятся с 7 на $7 - 1 (очко за ничью) + 0 (очков за поражение) = 6$ очков.
• Очки всех остальных команд останутся равными 7.

В итоге мы получаем распределение очков: одна команда с 8 очками, одна с 6 очками, и шесть команд с 7 очками. Это полностью удовлетворяет условиям задачи: есть единоличный лидер и единоличный аутсайдер.
Минимальная разница составляет $8 - 6 = 2$.

Ответ: 2

713. Большая коробка конфет в 2 раза дороже маленькой. Хотят купить 3 большие коробки и 2 маленькие, но если купить 2 большие коробки и 3 маленькие, то покупка будет дешевле на 15 р. Сколько стоит каждая коробка конфет?

Для решения задачи введем переменные, чтобы составить систему уравнений.

Пусть $x$ — стоимость маленькой коробки конфет в рублях.

Пусть $y$ — стоимость большой коробки конфет в рублях.

Из условия задачи известно, что большая коробка конфет в 2 раза дороже маленькой. На основе этого составим первое уравнение:

$y = 2x$

Далее в задаче описаны два варианта покупки.

Стоимость первого варианта покупки (3 большие коробки и 2 маленькие) можно выразить как:

$3y + 2x$

Стоимость второго варианта покупки (2 большие коробки и 3 маленькие) можно выразить как:

$2y + 3x$

По условию, второй вариант покупки дешевле первого на 15 рублей. Это означает, что если из стоимости первой покупки вычесть стоимость второй, разница составит 15 рублей. Составим второе уравнение:

$(3y + 2x) - (2y + 3x) = 15$

Упростим полученное уравнение, раскрыв скобки:

$3y + 2x - 2y - 3x = 15$

Приведем подобные слагаемые:

$y - x = 15$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} y = 2x \\ y - x = 15 \end{cases}$

Для решения системы используем метод подстановки. Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:

$2x - x = 15$

$x = 15$

Таким образом, мы нашли стоимость маленькой коробки конфет — она составляет 15 рублей.

Теперь найдем стоимость большой коробки, подставив найденное значение $x$ в первое уравнение:

$y = 2 \cdot 15$

$y = 30$

Стоимость большой коробки конфет составляет 30 рублей.

Выполним проверку:

Стоимость первой покупки: $3 \cdot 30 + 2 \cdot 15 = 90 + 30 = 120$ рублей.

Стоимость второй покупки: $2 \cdot 30 + 3 \cdot 15 = 60 + 45 = 105$ рублей.

Разница в стоимости: $120 - 105 = 15$ рублей. Условия задачи выполнены верно.

Ответ: маленькая коробка конфет стоит 15 рублей, а большая коробка конфет стоит 30 рублей.

714. Один экскаватор может вырыть траншею за 30 ч, другой — за 20 ч. Первый проработал 9 ч, потом второй закончил работу. За сколько часов была выполнена работа?

Примем весь объем работы по выкапыванию траншеи за 1 (единицу).

1. Найдем производительность (скорость работы) каждого экскаватора.

• Первый экскаватор выполняет всю работу за 30 часов, значит, его производительность $P_1$ составляет $ \frac{1}{30} $ часть работы в час.
• Второй экскаватор выполняет всю работу за 20 часов, его производительность $P_2$ составляет $ \frac{1}{20} $ часть работы в час.

2. Рассчитаем, какую часть работы выполнил первый экскаватор за 9 часов. Для этого умножим его производительность на время работы:
$ W_1 = P_1 \times t_1 = \frac{1}{30} \times 9 = \frac{9}{30} = \frac{3}{10} $
Таким образом, первый экскаватор выполнил $ \frac{3}{10} $ всей работы.

3. Определим, какая часть работы осталась невыполненной. Для этого вычтем из всей работы (1) часть, выполненную первым экскаватором:
$ W_{ост} = 1 - W_1 = 1 - \frac{3}{10} = \frac{7}{10} $
Осталось выполнить $ \frac{7}{10} $ всей работы.

4. Эту оставшуюся часть работы выполнил второй экскаватор. Найдем, сколько времени ему на это потребовалось. Для этого разделим объем оставшейся работы на производительность второго экскаватора:
$ t_2 = \frac{W_{ост}}{P_2} = \frac{7/10}{1/20} = \frac{7}{10} \times 20 = \frac{140}{10} = 14 $ часов.

5. Теперь найдем общее время, за которое была выполнена вся работа. Оно равно сумме времени работы первого экскаватора (9 часов) и времени работы второго экскаватора (14 часов):
$ T_{общ} = t_1 + t_2 = 9 + 14 = 23 $ часа.

Ответ: 23 часа.

715. (Индия, XI в.)

Есть кадамба цветок,
На один лепесток
Пчёлок пятая часть опустилась. ($x/5$)

Рядом тут же росла
Вся в цвету сименгда,
И на ней третья часть поместилась. ($x/3$)

Разность их ты найди, ($(x/3 - x/5)$)
Её трижды сложи ($3(x/3 - x/5)$)
И тех пчёл на Кутай посади.

Лишь одна не нашла себе места нигде.
Всё летала то взад, то вперёд и везде
Ароматом цветов наслаждалась.

Назови теперь мне,
Подсчитавши в уме,
Сколько пчёлок всего здесь собралось.

Для решения этой старинной индийской задачи, представленной в стихотворной форме, необходимо составить и решить уравнение. Обозначим общее количество пчёл переменной $x$.

Следуя условиям задачи, распределим пчёл по группам:

1. Пятая часть пчёл опустилась на цветок кадамба: $\frac{1}{5}x$.

2. Третья часть пчёл поместилась на цветке сименгда: $\frac{1}{3}x$.

3. На цветок кутай села группа пчёл, численность которой равна утроенной разности между второй и первой группами. Разность составляет $(\frac{1}{3}x - \frac{1}{5}x)$, а утроенная разность — $3 \cdot (\frac{1}{3}x - \frac{1}{5}x)$.

4. Одна пчела летала отдельно и не садилась на цветы: $1$.

Сумма всех этих групп равна общему количеству пчёл $x$. Составим уравнение:

$\frac{1}{5}x + \frac{1}{3}x + 3 \cdot (\frac{1}{3}x - \frac{1}{5}x) + 1 = x$

Теперь решим это уравнение шаг за шагом:

Сначала вычислим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю 15:

$\frac{1}{3}x - \frac{1}{5}x = \frac{5}{15}x - \frac{3}{15}x = \frac{2}{15}x$

Подставим результат обратно в уравнение:

$\frac{1}{5}x + \frac{1}{3}x + 3 \cdot \frac{2}{15}x + 1 = x$

Упростим третье слагаемое:

$3 \cdot \frac{2}{15}x = \frac{6}{15}x = \frac{2}{5}x$

Теперь уравнение выглядит так:

$\frac{1}{5}x + \frac{1}{3}x + \frac{2}{5}x + 1 = x$

Сложим все слагаемые с $x$ в левой части, приведя их к общему знаменателю 15:

$\frac{3}{15}x + \frac{5}{15}x + \frac{6}{15}x + 1 = x$

$\frac{3+5+6}{15}x + 1 = x$

$\frac{14}{15}x + 1 = x$

Перенесём слагаемое с $x$ в правую часть уравнения:

$1 = x - \frac{14}{15}x$

$1 = \frac{15}{15}x - \frac{14}{15}x$

$1 = \frac{1}{15}x$

Отсюда находим $x$:

$x = 15$

Таким образом, общее количество пчёл, которое собралось, равно 15.

Ответ: 15 пчёл.