Номер 674, страница 131 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 3. Рациональные числа. Дополнения к главе 3. Буквенные выражения - номер 674, страница 131.

Условие.

674. Через одну трубу можно наполнить бассейн за $a$ мин, а через другую — за $b$ мин. Через сколько минут наполнится бассейн, если открыть обе трубы? Составьте буквенное выражение для получения ответа, найдите его значение при:

а) $a = 30$, $b = 20$;

б) $a = 70$, $b = 30$;

в) $a = 60$, $b = 90$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Для решения задачи примем весь объем бассейна за 1. Тогда производительность (скорость наполнения) первой трубы составит $\frac{1}{a}$ часть бассейна в минуту, а производительность второй трубы — $\frac{1}{b}$ часть бассейна в минуту.

Когда обе трубы открыты, их производительности складываются. Общая производительность двух труб будет равна:

$P_{общ} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю $ab$:

$P_{общ} = \frac{b}{ab} + \frac{a}{ab} = \frac{a+b}{ab}$

Это общая часть бассейна, которая наполняется за одну минуту при работе двух труб вместе.

Чтобы найти общее время $t$, за которое наполнится весь бассейн (т.е. 1), нужно разделить объем на общую производительность:

$t = \frac{1}{P_{общ}} = \frac{1}{\frac{a+b}{ab}} = \frac{ab}{a+b}$

Это и есть буквенное выражение для получения ответа. Теперь подставим в него заданные значения.

а) при $a = 30$, $b = 20$

Время наполнения бассейна равно:

$t = \frac{30 \cdot 20}{30 + 20} = \frac{600}{50} = 12$ (мин)

Ответ: 12 минут.

б) при $a = 70$, $b = 30$

Время наполнения бассейна равно:

$t = \frac{70 \cdot 30}{70 + 30} = \frac{2100}{100} = 21$ (мин)

Ответ: 21 минута.

в) при $a = 60$, $b = 90$

Время наполнения бассейна равно:

$t = \frac{60 \cdot 90}{60 + 90} = \frac{5400}{150} = \frac{540}{15} = 36$ (мин)

Ответ: 36 минут.