Номер 679, страница 132 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 3. Рациональные числа. Дополнения к главе 3. Буквенные выражения - номер 679, страница 132.

Условие.

679. В старину для решения задач пользовались такими правилами: чтобы по сумме и разности двух чисел найти большее число, надо к полусумме двух чисел прибавить их полуразность; чтобы найти меньшее число, надо из полусуммы двух чисел вычесть их полуразность. Докажите равенства:

а) $ \frac{a+b}{2} + \frac{a-b}{2} = a; $

б) $ \frac{a+b}{2} - \frac{a-b}{2} = b. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

а) Докажем равенство $ \frac{a+b}{2} + \frac{a-b}{2} = a $. Для этого преобразуем левую часть выражения. Так как дроби имеют общий знаменатель, сложим их числители:

$ \frac{a+b}{2} + \frac{a-b}{2} = \frac{(a+b) + (a-b)}{2} $

Теперь раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$ \frac{a+b+a-b}{2} = \frac{2a}{2} $

Сократив дробь на 2, получаем:

$ \frac{2a}{2} = a $

Левая часть равенства равна правой ($a=a$), что и требовалось доказать.

Ответ: равенство доказано.

б) Докажем равенство $ \frac{a+b}{2} - \frac{a-b}{2} = b $. Преобразуем левую часть выражения. Так как дроби имеют общий знаменатель, выполним вычитание числителей:

$ \frac{a+b}{2} - \frac{a-b}{2} = \frac{(a+b) - (a-b)}{2} $

Раскроем скобки в числителе. Важно учесть, что знак минус перед второй скобкой меняет знаки слагаемых внутри неё на противоположные:

$ \frac{a+b-a+b}{2} = \frac{2b}{2} $

Сократив дробь на 2, получаем:

$ \frac{2b}{2} = b $

Левая часть равенства равна правой ($b=b$), что и требовалось доказать.

Ответ: равенство доказано.