Номер 720, страница 140 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 3. Рациональные числа. Дополнения к главе 3. Занимательные задачи - номер 720, страница 140.

Условие.

720. Первый мастер шьёт шубу за 5 дней, а второй — за 3 дня. Как распределить между ними заказ на пошив 9 шуб, чтобы каждый сшил целое число шуб и заказ был выполнен в кратчайший срок?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Для решения этой задачи необходимо найти такое распределение 9 шуб между двумя мастерами, при котором время, затраченное на выполнение своей части заказа последним из мастеров, будет минимальным. Оба мастера начинают работать одновременно.

Пусть $n_1$ — количество шуб, которые сошьёт первый мастер, а $n_2$ — количество шуб, которые сошьёт второй мастер. По условию, оба числа должны быть целыми, и в сумме они должны давать 9:

$n_1 + n_2 = 9$

Время, которое потребуется первому мастеру для пошива $n_1$ шуб, составляет:

$T_1 = 5 \cdot n_1$ дней

Время, которое потребуется второму мастеру для пошива $n_2$ шуб, составляет:

$T_2 = 3 \cdot n_2$ дней

Так как они работают параллельно, общее время выполнения заказа $T$ будет равно максимальному из времён $T_1$ и $T_2$:

$T = \max(T_1, T_2) = \max(5n_1, 3n_2)$

Наша цель — найти такие целые неотрицательные $n_1$ и $n_2$, что $n_1 + n_2 = 9$, а величина $T$ минимальна.

Чтобы минимизировать максимальное из двух значений, нужно, чтобы эти значения были как можно ближе друг к другу. То есть, $5n_1 \approx 3n_2$. Учитывая, что $n_2 = 9 - n_1$, получаем:

$5n_1 \approx 3(9 - n_1)$

$5n_1 \approx 27 - 3n_1$

$8n_1 \approx 27$

$n_1 \approx \frac{27}{8} = 3.375$

Поскольку $n_1$ должно быть целым числом, проверим ближайшие к $3.375$ целые значения: $n_1=3$ и $n_1=4$.

Переберём все возможные варианты распределения заказа и вычислим время выполнения для каждого:

• Если первый мастер шьёт 0 шуб ($n_1=0$), то второй шьёт 9 ($n_2=9$). Время: $T = \max(5 \cdot 0, 3 \cdot 9) = \max(0, 27) = 27$ дней.
• Если $n_1=1$, то $n_2=8$. Время: $T = \max(5 \cdot 1, 3 \cdot 8) = \max(5, 24) = 24$ дня.
• Если $n_1=2$, то $n_2=7$. Время: $T = \max(5 \cdot 2, 3 \cdot 7) = \max(10, 21) = 21$ день.
• Если $n_1=3$, то $n_2=6$. Время: $T = \max(5 \cdot 3, 3 \cdot 6) = \max(15, 18) = 18$ дней.
• Если $n_1=4$, то $n_2=5$. Время: $T = \max(5 \cdot 4, 3 \cdot 5) = \max(20, 15) = 20$ дней.
• Если $n_1=5$, то $n_2=4$. Время: $T = \max(5 \cdot 5, 3 \cdot 4) = \max(25, 12) = 25$ дней.
• Если $n_1=6$, то $n_2=3$. Время: $T = \max(5 \cdot 6, 3 \cdot 3) = \max(30, 9) = 30$ дней.
• Если $n_1=7$, то $n_2=2$. Время: $T = \max(5 \cdot 7, 3 \cdot 2) = \max(35, 6) = 35$ дней.
• Если $n_1=8$, то $n_2=1$. Время: $T = \max(5 \cdot 8, 3 \cdot 1) = \max(40, 3) = 40$ дней.
• Если $n_1=9$, то $n_2=0$. Время: $T = \max(5 \cdot 9, 3 \cdot 0) = \max(45, 0) = 45$ дней.

Сравнивая полученные результаты, видим, что минимальное время выполнения заказа составляет 18 дней. Это достигается, когда первый мастер шьёт 3 шубы (затратив $5 \cdot 3 = 15$ дней), а второй — 6 шуб (затратив $3 \cdot 6 = 18$ дней). Заказ будет выполнен через 18 дней, когда второй, более медленный в данном распределении, мастер закончит свою работу.

Ответ: первому мастеру нужно поручить сшить 3 шубы, а второму — 6 шуб. Заказ будет выполнен за 18 дней.